【数学】2020届一轮复习北师大版圆锥曲线的综合应用作业

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2020届一轮复习北师大版圆锥曲线的综合应用作业

解答题(本题共4小题,每小题12分,共48分)‎ ‎1.(2018·浙江)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.‎ ‎(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;‎ ‎(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.‎ 解析 (1)设P(x0,y0),A,B.‎ 因为PA,PB的中点在抛物线上,‎ 所以y1,y2为方程=4·.‎ 即y2-2y0y+8x0-y=0的两个不同的实根.所以y1+y2=2y0.‎ 因此,PM垂直于y轴.‎ ‎(2)由(1)可知 所以|PM|=(y+y)-x0=y-3x0,‎ ‎|y1-y2|=2.‎ 因此,△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(y-4x0).‎ 因为x+=1(x0<0),‎ 所以y-4x0=-4x-4x0+4∈[4,5],‎ 因此,△PAB面积的取值范围是.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).‎ ‎(1)证明:k<-;‎ ‎(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.‎ 解析 (1)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则+=1,+=1.‎ 两式相减,并由=k得+·k=0.‎ 由题设知=1,=m,于是k=-.①‎ 由题设得00,解得k<0或0b>0)的离心率为,直线4x+3y-5=0与以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆相切.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.‎ ‎①求证:直线MN恒过定点,并求出该定点的坐标;‎ ‎②若O为坐标原点,求·的取值范围.‎ 解析 (1)由题意可得离心率e==,‎ 又直线4x+3y-5=0与圆x2+y2=b2相切,‎ 所以b==1,结合a2-b2=c2,解得a=,‎ 所以椭圆C的标准方程为+x2=1.‎ ‎(2)①设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 由题意知A(0,-),又直线AM与AN的斜率之积为1,所以·=1,‎ 即有x1x2=y1y2+(y1+y2)+3,‎ 由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,‎ 设直线MN:y=kx+t(k≠0),‎ 代入椭圆方程,消去y可得(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,‎ 所以x1x2=,x1+x2=-,‎ y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t-=,‎ y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2·+kt+t2=,‎ 所以=++3,‎ 化简得t2+3t+6=0,解得t=-2(-舍去),‎ 则直线MN的方程为y=kx-2,‎ 即直线MN恒过定点,该定点的坐标为(0,-2).‎ ‎②由①可得·=x1x2+y1y2=+==,‎ 由(3+k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得Δ=4k2t2-4(t2-3)(3+k2)=48k2-36(3+k2)>0,解得k2>9.‎ 令3+k2=m,则m>12,且k2=m-3,‎ 所以==-3,‎ 由m>12,可得-3<-3<.‎ 则·的取值范围是.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档