【数学】2019届一轮复习北师大版二项式定理学案

【数学】2019届一轮复习北师大版二项式定理学案

‎ 10.3　二项式定理 最新考纲 考情考向分析 ‎1.能用计数原理证明二项式定理．‎ ‎2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.‎ 以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.‎ ‎1．二项式定理 二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)‎ 二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(r∈{0,1,2，…，n})‎ ‎2.二项式系数的性质 ‎(1)C＝1，C＝1.‎ C＝C＋C.‎ ‎(2)C＝C.‎ ‎(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．‎ ‎(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ 知识拓展 二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n＋1.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.‎ ‎(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)Can－rbr是二项展开式的第r项．(　×　)‎ ‎(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　)‎ ‎(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)‎ ‎(4)(a－b)n的展开式第r＋1项的系数为Can－rbr.(　×　)‎ ‎(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)‎ A．80 B．40‎ C．20 D．10‎ 答案　B 解析　Tr＋1＝C(2x)r＝C2rxr，当r＝2时，x2的系数为C·22＝40.‎ ‎3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．120‎ 答案　B 解析　二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tr＋1＝C·x6－r·r＝Cx6－2r，当6－2r＝0，即当r＝3时为常数项，T4＝C＝20.‎ ‎4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ 答案　B 解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.‎ 题组三　易错自纠 ‎5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)‎ A．C B．C C．C D．(－1)m－1C 答案　D 解析　(x－y)n二项展开式第m项的通项公式为 Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，‎ 所以系数为C(－1)m－1.‎ ‎6．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，a (1≤ ≤11， ∈N＋)是一个递增数列，则 的最大值是(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ 答案　B 解析　由二项式定理知，an＝C(n＝1,2,3，…，11)．‎ 又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，‎ 所以a6＝C，则 的最大值为6.‎ ‎7．(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________．‎ 答案　6‎ 解析　二项展开式的通项是Tr＋1＝C(x)4－r·(－y)r＝(－1)rC，令4－＝2＋＝3，解得r＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6.‎ 题型一　二项展开式 命题点1　求二项展开式中的特定项或指定项的系数 典例 (1)(2017·全国Ⅰ)(1＋x)6的展开式中x2项的系数为(　　)‎ A．15 B．20 C．30 D．35‎ 答案　C 解析　因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.‎ 因为C＋C＝2C＝2×＝30，‎ 所以(1＋x)6的展开式中x2项的系数为30.‎ 故选C.‎ ‎(2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ 答案　C 解析　方法一　利用二项展开式的通项公式求解．‎ ‎(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，‎ 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.‎ 所以x5y2项的系数为CC＝30.故选C.‎ 方法二　利用组合知识求解．‎ ‎(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.‎ 命题点2　已知二项展开式某项的系数求参数 典例(1)(2018届海口调研)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 答案　D 解析　由题意得10的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x10－r·r＝Cx10－2r，10的展开式中含x4(当r＝3时)，x6(当r＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.‎ ‎(2)(2016·山东)若5项的展开式中x5项的系数为－80，则实数a＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　∵Tr＋1＝C(ax2)5－rr＝a5－rC，‎ ‎∴10－r＝5，解得r＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2.‎ 思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．‎ 跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)‎ A．－80 B．－40 C．40 D．80‎ 答案　C 解析　因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40，‎ x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80.‎ 所以x3y3的系数为80－40＝40.‎ 故选C.‎ ‎(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)‎ 答案　 解析　设通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，‎ ‎∴r＝3，∴x7项的系数为Ca3＝15，‎ ‎∴a3＝，∴a＝.‎ 题型二　二项式系数的和与各项的系数和问题 典例 (1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.‎ 答案　3‎ 解析　设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，‎ 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①‎ 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②‎ ‎①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，‎ 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.‎ ‎(2)(2018·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．‎ 答案　1或－3‎ 解析　令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，‎ 令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，‎ 又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2‎ ‎＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，‎ ‎∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，‎ ‎∴m＝－3或m＝1.‎ ‎(3)若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．‎ 答案　255‎ 解析　n展开式的第r＋1项为 Tr＋1＝C(x2)n－r·r ‎＝C(－1)rx2n－3r，‎ 当r＝5时，2n－3r＝1，∴n＝8.‎ 对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，‎ 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.‎ 又当x＝0时，a0＝1，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋a8＝255.‎ 思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．‎ ‎(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ 跟踪训练 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)‎ A．－27C B．27C C．－9C D．9C 答案　B 解析　令x＝1，得2n＝512，所以n＝9，故9的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x2)9－rr＝(－1)rC·39－rx18－3r，令18－3r＝0，得r＝6.‎ 所以常数项为T7＝(－1)6C·33＝27C.‎ ‎(2)(2017·绵阳模拟)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|等于(　　)‎ A．1 024 B．243‎ C．32 D．24‎ 答案　A 解析　令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.‎ 题型三　二项式定理的应用 典例(1)设a∈ 且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a等于(　　)‎ A．0 B．1 C．11 D．12‎ 答案　D 解析　512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a，‎ ‎∵C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a能被13整除，‎ ‎∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.‎ ‎(2)(2017·安徽江南名校联考)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017等于(　　)‎ A．i B．－i C．－1＋i D．－1－i 答案　C 解析　x＝＝＝－1＋i，‎ Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017‎ ‎＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.‎ 思维升华 (1)逆用二项式定理的关键 根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．‎ ‎(2)利用二项式定理解决整除问题的思路 ‎①观察除式与被除式间的关系；‎ ‎②将被除式拆成二项式；‎ ‎③结合二项式定理得出结论．‎ 跟踪训练 (1)(2018·泉州模拟)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)r90rC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．－87 D．87‎ 答案　B 解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)r90rC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，‎ ‎∵前10项均能被88整除，∴余数是1.‎ ‎(2)若(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，则＋＋…＋＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.‎ 当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋＋…＋，‎ ‎∴0＝1＋＋＋…＋，‎ 即＋＋…＋＝－1.‎ 二项展开式的系数与二项式系数 典例(1)若n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x项的系数为______．‎ ‎(2)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4项的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________.‎ 错解展示：‎ ‎(1)n展开式中，‎ 令x＝1可得4n＝1 024，∴n＝5，‎ ‎∴n展开式的通项Tr＋1＝(－3)r·C·，‎ 令＝1，得r＝1.‎ 故展开式中含x项的系数为C＝5.‎ ‎(2)a1＋a2＋…＋a7＝C＋C＋…＋C＝27－1.‎ 错误答案　(1)5　(2)27－1‎ 现场纠错 解析　(1)在n的展开式中，令x＝1，‎ 可得n展开式的各项系数绝对值之和为4n＝22n＝1 024＝210，∴n＝5.‎ 故5展开式的通项为 Tr＋1＝(－3)r·C·，‎ 令＝1，得r＝1，‎ 故展开式中含x项的系数为－15.‎ ‎(2)∵(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，‎ 令x＝0，∴a0＝(－m)7.‎ 又∵展开式中x4项的系数是－35，‎ ‎∴C·(－m)3＝－35，‎ ‎∴m＝1，∴a0＝(－m)7＝－1.‎ 在(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，‎ 令x＝1，得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7，‎ 即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1.‎ 答案　(1)－15　(2)1‎ 纠错心得　和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和．‎ ‎1．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)‎ A．29 B．210 C．211 D．212‎ 答案　A 解析　由题意，C＝C，解得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选A.‎ ‎2．在x2(1＋x)6的展开式中，含x4项的系数为(　　)‎ A．30 B．20 C．15 D．10‎ 答案　C 解析　因为(1＋x)6的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cxr，所以x2(1＋x)6的展开式中含x4的项为Cx4＝15x4，所以系数为15.‎ ‎3．(2017·广州测试)使n(n∈N＋)展开式中含有常数项的n的最小值是(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 答案　C 解析　Tr＋1＝C(x2)n－rr＝Cx2n－5r，‎ 令2n－5r＝0，得n＝r，又n∈N＋，‎ 所以n的最小值是5.‎ ‎4．(2017·邵阳模拟)(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为(　　)‎ A．21 B．35‎ C．45 D．28‎ 答案　B 解析　∵Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr，由已知得35C＝36C，即C＝3C，∴n＝7，因此，x4的二项式系数为C＝35，故选B.‎ ‎5．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)‎ A．－20 B．－15‎ C．15 D．20‎ 答案　C 解析　设展开式中的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝C·(4x)6－r·(－2－x)r＝C·(－1)r·212x－2rx·2－rx＝C·(－1)r·212x－3rx，‎ ‎∵12x－3rx＝0恒成立，∴r＝4，‎ ‎∴T5＝C·(－1)4＝15.‎ ‎6．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为(　　)‎ A．－4 B. C．4 D. 答案　C 解析　∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4项的系数为4a－1＝15，∴a＝4.‎ ‎7．(2018·漯河质检)若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan等于(　　)‎ A.(3n－1) B.(3n－2)‎ C.(3n－2) D.(3n－1)‎ 答案　D 解析　在展开式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ‎＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，‎ 即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝ ‎＝(3n－1)．‎ ‎8.6展开式中不含x的项的系数为________．(用数字作答)‎ 答案　－20‎ 解析　6展开式中不含x的项为C(xy)3·3＝－20y3，故不含x的项的系数为－20.‎ ‎9．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.(用数字作答)‎ 答案　10‎ 解析　f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，‎ 它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，‎ T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.‎ ‎10．(2017·广州五校联考)若6的展开式中x3项的系数为20，则log2a＋log2b＝________.‎ 答案　0‎ 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，则r＝3，∴6的展开式中x3项的系数为Ca3b3＝20，∴ab＝1，‎ ‎∴log2a＋log2b＝log2(ab)＝log21＝0.‎ ‎11．(2017·抚顺一中月考)在6(a>0)的展开式中，常数项的系数是60，则ʃsin xdx的值为________．‎ 答案　1－cos 2‎ 解析　由二项展开式的通项公式可知，‎ Tr＋1＝C()6－r·r＝arC，‎ 令3－r＝0，得r＝2，则T3＝a2C＝60，‎ 所以a＝2，所以ʃsin xdx＝－cos x|＝1－cos 2.‎ ‎12．(2018·河南南阳模拟)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.(用数字作答)‎ 答案　364‎ 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，‎ 令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a12＝1，‎ ‎∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.‎ 令x＝0，得a0＝1，‎ ‎∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.‎ ‎13．若5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为(　　)‎ A．－40 B．－20C．20 D．40‎ 答案　D 解析　令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.‎ ‎∴5的通项为Tr＋1＝C·(2x)5－r·r＝(－1)r·25－r·C·x5－2r.‎ 令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3.‎ ‎∴展开式的常数项为(－1)2×23·C＋(－1)3·22·C＝80－40＝40.‎ ‎14.9的展开式中，不含x的各项系数之和为________．‎ 答案　－1‎ 解析　9的展开式中不含x的项为 C(2x)09＝9，‎ 令y＝1，得各项系数之和为(3－4)9＝－1.‎ ‎15．(2018·珠海模拟)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于(　　)‎ A．45 B．60C．120D．210‎ 答案　C 解析　因为f(m，n)＝CC，‎ 所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)‎ ‎＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.‎ ‎16．若n展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x的有理项；‎ ‎(2)展开式中系数最大的项．‎ 解　易求得展开式前三项的系数为1，C，C.‎ 由题意得2×C＝1＋C，可得n＝8.‎ ‎(1)设展开式中的有理项为Tr＋1，‎ 由Tr＋1＝C()8－rr＝rC，‎ ‎∴r为4的倍数，又0≤r≤8，∴r＝0,4,8.‎ 故有理项为T1＝0C＝x4，‎ T5＝4C＝x，‎ T9＝8C＝.‎ ‎(2)设展开式中Tr＋1项的系数最大，则 rC≥r＋1C且rC≥r－1C，可得r＝2或r＝3.‎ 故展开式中系数最大的项为 T3＝2C＝，‎ T4＝3C＝.‎