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文档介绍
人教新课标A版高二数学上学期12月月考试题理A卷
莆田六中 2016—2017 年度上学期 12 月份月考 高二年段理科数学试卷(A) (时间 120 分钟,满分 150 分) 第Ⅰ卷(满分 60 分) 一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每题只有一个正确答案,把答案填在答题 卷相应的题号上. 1.函数 xxxf 1)( 的导数是( ) (A) xx 11 2 (B) xx 2 11 2 (C) xx 2 11 2 (D) xx 2 11 2 2.若函数 2)( 3 axxxf 在区间 ),1( 内是增函数,则实数 a 的取值范围是( ) A. ),3( B. ),3( C. ),3[ D. )3,( 3.函数 )2,0(,sin1)( xxxxf ,则函数 )(xf ( ) A.在 )2,0( 内是增函数 B.在 )2,0( 内是减函数 C.在 ),0( 内是增函数,在 )2,( 内是减函数 D.在 ),0( 内是减函数,在 )2,( 内是增函数 4.若函数 4 2( )f x ax bx c 满足 (1) 2f ,则 ( 1)f ( ) A.-1 B.-2 C.2 D.0 5.由直线 2 , 1y x y x ,及 x 轴围成平面图形的面积为( ) A. 1 0 1 2 yy dy B. 2 3 0 1 2 yy dy C. 1 3 0 1 2x x dx D. 1 0 2 1x x dx 6.若 cba ,, 均为空间单位向量,则 )3 2,3 3,3 2(a 是 )2,3,2( cba 的( )条件. A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设 )(),( xgxf 是定义在 R 上的恒大于零的可导函数,且满足 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x ,则当 O x y A B F1 F2 bxa 时有( ) A. )()()()( bgbfxgxf B. )()()()( xgafagxf C. )()()()( xgbfbgxf D. )()()()( agafxgxf 8.已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax = b 的充要条件是 ( ) (A) 2 2 0 0 1 1, 2 2x R ax bx ax bx (B) 2 2 0 0 1 1, 2 2x R ax bx ax bx (C) 2 2 0 0 1 1, 2 2x R ax bx ax bx (D) 2 2 0 0 1 1, 2 2x R ax bx ax bx 9.在四棱锥 ABCDP 中, AD 面 PAB, BC 面 PAB,底面 ABCD 为梯形,AD=4,BC=8,AB=6, CPBAPD ,满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.不完整的圆 C.抛物线 D.抛物线的一部分 10.设函数 ( )f x 在 R 上可导,其导函数为 ( )f x ,且函 数 )(')1( xfxy 的图像如图所示,则下列结论中 一定成立的是( ) A.函数 ( )f x 有极大值 (2)f 和极小值 (1)f B.函数 ( )f x 有极大值 ( 2)f 和极小值 (1)f C.函数 ( )f x 有极大值 (2)f 和极小值 ( 2)f D.函数 ( )f x 有极大值 ( 2)f 和极小值 (2)f 11.如图, 21, FF 是椭圆 14: 2 2 1 yxC 与双曲线 2C 的公共焦点, BA, 分别是 1C , 2C 在第二、四象限的公共点.若四边形 21BFAF 为 矩形,则 2C 的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 6 12.在直三棱柱 1 1 1A B C ABC 中, 2BAC , 1 1AB AC AA . 已知G与E分别为 1 1A B 和 1CC 的中点,D与F分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点). 若GD EF ,则线段 DF 的 长度的取值范围为 ( ) A. 1 , 1 5 B. 1 , 25 C. 1, 2 D. 1 , 2 5 第Ⅱ卷(满分 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分. 把答案填在答题卷相应的题号上. 13 . 已 知 曲 线 lny x x 在 点 (1,1) 处 的 切 线 与 曲 线 2 ( 2) 1y ax a x 相 切 , 则 a . 14.设 F1,F2 分别为双曲线x2 a2-y2 b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2| =3b,|PF1|·|PF2|=9 4 ab,则该双曲线的离心率为 . 15.设函数 ' ( )f x 是奇函数 ( )( )f x x R 的导函数, ( 1) 0,f 当 0x 时, ' ( ) ( ) 0xf x f x ,则使得 ( ) 0f x 成立的 x 的取值范围是 . 16.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=2,E、F 分别为 AB、CD 的中点,沿 EF 把 BCFE 折起后与 ADFE 垂直,P 为矩形 ADFE 内一动点,P 到平面 BCFE 的距离与它到点 A 的距离相等,设动点 P 的轨迹是曲线 L,则曲 线 L 把矩形 ADFE 分成的两部分的面积比(小比大)为_____ . 三、解答题:本大题共有 5 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 把解答 写在答案卷相应的题号的方框内. 17.(本小题满分 12 分)实数 m 分别取什么数值时?复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i (1)与复数 2-12i 相等; (2)与复数 12+16i 互为共轭; (3)对应的点在 x 轴上方. 18.(本小题满分 14 分)请你设计一个包装盒,如图所示, ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片, 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于右 图中的上底面中心点 P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E 、F 在 AB 上是被切去的等 腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE BF x cm.若广告商要求包装盒容积V (cm 3 )最大, 试 问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 19.(本小题满分 14 分)如图 4, ABCD 是平行四边形,已知 2 4, 2 3AB BC BD ,BE CE , 平面 BCE 平面 ABCD .(Ⅰ)证明: BD CE (Ⅱ)若 10BE CE ,求平面 ADE 与平面 BCE 所成二面角的平面角的余弦值. 20.(本小题满分 15 分)已知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆C 上任一点到两焦点的距离的和为 4,且椭圆的离心率为 6 3 ,单位圆O 的切线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点. (Ⅰ)求证:OA OB ;(Ⅱ)求 OAB 面积的最大值 21.(本小题满分 15 分)设函数 2( ) (1 ) 2ln(1 )f x x x , 2( ) 1g x x ax , D 是满足方程 2 ( 2)x k x 2 1 0k 的两实数根分别在区间 (0,1),(1,2) 内的实数 k 的取值范围. (1)求 ( )f x 的极值; (2)当 a D 时,求函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x 在区间[0 3], 上的最小值. 莆田六中 2016—2017 年度上学期 12 月月考 高二年理科数学试卷(A)答案 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确(每小题 5 分,共 60 分). 1-- 5.DCABB 6-- 10.ABCBD 11--12.D A 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.8 14.5 3 15. ( , 1) (0,1) 16.1:2 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤) 17.解:(1)根据复数相等的充要条件得 m2+5m+6=2, m2-2m-15=-12. 解之得 m=-1. (2)根据共轭复数的定义得 m2+5m+6=12, m2-2m-15=-16. 解之得 m=1. (3)根据复数 z 对应点在 x 轴上方可得 m2-2m-15>0,解之得 m<-3 或 m>5. 18. 解:根据题意有 2 22( 2 ) (60 2 ) 2 2 (30 )(0 30)2V x x x x x , 所以, ' 6 2 (20 ),V x x 当 0 20,x 时, 0, 20 30V V x V 递增;当 时,V <0, 递减 , 所以,当 20x 时,V 取极大值也是最大值. 此时,包装盒的高与底面边长的比值为 2 x 12 2x (60-2 ) 2 . 即 20x 包装盒容积V (cm 3 )最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为 1 2 19.解析:(Ⅰ)∵ ABCD 是平行四边形,且 2 4, 2 3CD AB BC BD ∴ 2 2 2CD BD BC ,故 90oCBD ,即 BD BC ( 2 分) 取 BC 的中点 F,连结 EF,∵ BE CE ,∴ EF BC ( 3 分) 又∵平面 BCE 平面 ABCD ,∴ EF 平面 ABCD ( 4 分) ∵ BD 平面 ABCD ,∴ EF BD ( 5 分) ∵ , ,EF BC F EF BC 平面 BCE ,∴ BD 平面 BCE , (6 分) ∵ EC 平面 BCE ,∴ BD CE (7 分) (Ⅱ)∵ 10BE CE ,由(Ⅰ)得 2 2 10 1 3EF BE BF ( 8 分) 以 B 为 坐 标 原 点 , ,BC BD 所 在 直 线 分 别 为 ,x y 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ( 如 图 ) , 则 (2, 2 3,0), (0, 2 3,0), ( 1,0,3)A D E ∴ ( 3,2 3,3), ( 1,2 3,3)AE DE ( 9 分) 设 平 面 ADE 的 法 向 量 为 ( , , )x y za , 则 0 0 AE DE a a , 即 3 2 3 3 0 2 3 3 0 x y z x y z 得平面 ADE 的一个法向量为 (0, 3, 2) a ( 11 分) 由(Ⅰ)知 BD 平面 BCE ,所以可设平面 BCE 的法向量为 (0,1,0)b ( 12 分) 设平面 ADE 与平面 BCE 所成二面角的平面角为 , 则 0 3 1 0 21cos 77 1 a b a b 即平面 ADE 与平面 BCE 所成二面角的平面角的余弦值为 21 7 .( 14 分) 20.(本小题满分 15 分)解析:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为 2 2 2 2 1,( 0)x y a ba b 由题意可知 2 4a , 6 3 ce a 解得 2 62, 3a c 所以 2 2 2 4 3b a c .所以椭圆C 的方程为 2 2 144 3 x y . (2分 ) (1)若单位圆 :O 2 2 1x y 的切线l 的斜率不存在,则 : 1l x . 在 2 2 144 3 x y 中令 1x 得 1y . 不妨设 (1,1), (1, 1)A B ,则 1 1 0OA OB .所以OA OB . 同理,当 : 1l x 时,也有OA OB . (4 分 ) (2)若单位圆 :O 2 2 1x y 的切线l 的斜率存在,设 :l y kx m , 依题意 2 1 1 m k ,即 2 21k m . 由 2 23 4 y kx m x y ,得 2 2 2(3 1) 6 3 4 0k x kmx m .显然 0 . 所以方程的根为 1,2 2 6 2(3 1) kmx k 设 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y ,则 1 2 2 6 3 1 kmx x k , 2 1 2 2 3 4 3 1 mx x k . 所以 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x m . 所以 1 2 1 2OA OB x x y y 2 2 1 2 1 2( 1) ( )k x x km x x m 2 2 2 2 2 3 4 6( 1) 3 1 3 1 m kmk km mk k 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)(3 4) 6 (3 1) 3 1 k m k m k m k 2 2 2 4 4 4 3 1 m k k 2 2 2 4( 1) 4 4 03 1 k k k . 所以OA OB .综上所述,总有OA OB 成立. (7 分 ) (Ⅱ)因为直线 AB 与圆 O相切,则圆O半径即为 OAB 的高, (1)当l 的斜率不存在时,由(Ⅰ)可知 2AB .则 1OABS . (8 分 ) (2)当l 的斜率存在时,由(Ⅰ)可知, 2 2 1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]AB k x x x x 2 2 2 2 2 6 3 41 ( ) 43 1 3 1 km mk k k 2 2 2 2 2 2 2 1 9 (3 4)(3 1)3 1 k k m m kk 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 112 3 4 12 3( 1) 43 1 3 1 k kk m k kk k 2 2 2 2 1 9 13 1 k kk . 所以 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4(1 )(9 1) 4(9 10 1) 44(1 )(3 1) 9 6 1 9 6 1 k k k k kAB k k k k k 2 4 2 2 2 16 4 164 16 4 419 6 1 3 39 6 k k k k k (当且仅当 3 3k 时,等号 成立).所以 4 3 3AB .此时, max 2 3(S ) 3OAB . 综上所述,当且仅当 3 3k 时, OAB 面积的最大值为 2 3 3 . (15 分 ) 21.(本小题满分 15 分)解:(1) ∵ 2( ) (1 ) 2ln(1 )f x x x ∴函数 ( )y f x 定义域为 ( 1, ) . (1 分) 1 2 ( 2)( ) 2(1 ) 1 1 x xf x x x x . 令 ( ) 0f x ,则 2 ( 2) 01 x x x ,解得 2x (舍去), 0x . (2 分) 当 1 0x 时, ( ) 0f x ,函数单调递减, 当 0x 时, ( ) 0f x ,函数单调递增, ∴ ( )f x 在 0x 处取得极小值 1. (5 分) (2)如下图所示,函数 2 1( ) ( 2) 2 1f x x k x k 的图象开口向上,零点 1 2(0,1), (1,2)x x . 由 0,)2(f 0,)1(f 0,)0(f 即 012k)2k(24 012k)2k(1 012k 解得 4 1k 3 2k2 1 3 2k 2 1k ,即 1 2,2 3D (8 分) 又∵ ( ) ( ) ( )F x f x g x (2 ) 2ln(1 )a x x ( 1x ). 2 (2 )( ) (2 ) 1 1 a x aF x a x x . 因为 a D ,所以 2 0a , 02 a a . 令 ( ) 0F x 可得 2 ax a . 所以函数 ( )F x 在 (0, )2 a a 上为减函数,在 ( , )2 a a 上为增函数. (10 分) ①当 0 32 a a ,即 30 2a 时, 在区间[0 3], 上, ( )F x 在 (0, )2 a a 上为减函数,在 ( ,3)2 a a 上为增函数. 所以 min 2( ) ( ) 2ln2 2 aF x F aa a . (12 分) ②当 32 a a ,即 3 22 a 时, ( )F x 在区间 (0 3), 上为减函数. 所以 min( ) (3) 6 3 2ln 4F x F a . 综上所述,当 30 2a 时, min 2( ) 2ln 2F x a a ; 当 3 22 a 时, min( ) 6 3 2ln 4F x a . (15 分) .查看更多