黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高二下学期期末“线上教学”质量监测数学（理）试题

黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高二下学期期末“线上教学”质量监测数学（理）试题

‎2019-2020 学年度下学期高二期末“线上教学”质量检测 数学试卷(理科)‎ 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.‎ 全卷共 150 分,考试时间 120 分钟.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答 题无效.考试结束后，将答题卡上传.‎ 注意事项 ‎1.选择题要求：按照学校要求，使用平台答题的考生，直接在平台勾选；其他考生， 直接在答题卡上填写选项字母。‎ ‎2.非选择题要求：字体工整，笔迹清楚，严格按照题号在相应答题区域内作答。‎ ‎3.按照学校要求，如需逐题拍照上传答案，注意拍全答案。‎ 第 I 卷 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎1.已知 i 为虚数单位，则 ‎‎ ‎2 i = ‎1 + i 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ A.1 - i ‎‎ B. i C. 1 + i ‎‎ D. - i 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎2.已知函数 f ( x) = x ln x 的导函数为 f ¢( x) ，且 e 为自然对数的底数，则 f ¢(e) = A. 2 B.1 C. 0 D. e ‎3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 f ( x) ，如果 f ¢( x0 ) = 0 ，那么 x = x0 是 函数 f ( x) 的极值点. 因为函数 f ( x) = x3 在 x = 0 处的导数值为 f ¢(0) = 0 ，所以 x = 0 是 函数 f ( x) = x3 的极值点. 以上推理中 A.小前提错误 B.大前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎4. (2 x - 1 )6‎ x ‎‎ 展开式的第 5 项的系数为 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ A.15 B. - 60‎ ‎C.60 D. - 15‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎5.下列说法错误的是 A.在回归分析中，回归直线始终过样本点 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，…, ( xn , yn ) 的中心 ( x, y)‎ B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的值越接近于 0‎ C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D.在线性回归模型中，相关指数 R 2 越接近于 1，说明回归的效果越好 ‎6. 公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究. 他们借助几何图形（或格 点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带. 如图所示，数列 1，6，15，28，‎ ‎45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数 列的第 11 项对应的六边形数为 A.153 B.190 C.231 D.276‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎7. 函数 f ( x) = ‎1‎ x - ln( x + 1)‎ ‎‎ 的图象大致为 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ y y y y 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎-1 O ‎x -1 O ‎x -1 O x ‎‎ ‎-1 O x 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ A B C D 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎8. 曲线 y = x 2 和直线 y = x 所围成的封闭几何图形的面积为 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎1 1‎ A. B.‎ ‎12 8‎ ‎1 1‎ C. D.‎ ‎10 6‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎9. 2020 年 6 月 23 日，我国第 55 颗北斗导航卫星发射成功. 为提升卫星健康运转的管理水 平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行卫星监测技能竞赛，成绩分为“优秀”、“良 好”、“待提高”三个等级. 现有甲、乙、丙、丁四人参赛，已知这四人获得“优秀”的概 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎1 1 2‎ 率分别为 、 、‎ ‎2 4 3‎ ‎2‎ ‎、 ，且四人是否获得“优秀”相互独立，则至少有 1 人获得“优 ‎3‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ 秀”的概率为 ‎23 1 7 2‎ A. B. C. D.‎ ‎24 18 9 9‎ ‎3 p 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎10. 已知 a = ‎‎ ln 3‎ ‎， b = ‎‎ lnp ‎， c = e （ e 为自然对数的底数）则 a 、 b 、 c 的大小关系是 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ A. a > b > c ‎B. c > a > b ‎C. c > b > a ‎D. b > a > c 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎11. 2020 年 4 月 30 日，我国的 5G 信号首次覆盖了海拔 8000 米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登 山路线，为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播，现从海拔 5300 米、5800 米和 ‎6500 米的三个大本营中抽出了 4 名技术人员，派往北坡登山路线中的 3 个崎岖路段进行 信号检测，每个路段至少安排 1 名技术人员，则不同的安排方法共有 A.72 B.36 C.48 D.54‎ ‎12. 若不等式 e x - ax 2 - 3 ax > 0 对于任意的 x Î R 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ‎2‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ A. (- 2 ,0]‎ e ‎2 3‎ B. [0, e 2 )‎ ‎9‎ ‎C. (0, 1)‎ e ‎2 3‎ D. (-¥, e 2 )‎ ‎9‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ 第 II 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把正确答案写在答题卡相应题的横 线上.‎ ‎13.已知 5 5 4 3 2‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎(kx - 1)‎ ‎= a5 x ‎+ a4 x ‎+ a3 x ‎+ a2 x ‎+ a1 x + a0 ，且 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =244 ，则 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ 实数 k 的值为 .‎ ‎14.某种疾病的患病率为 0.50，患该种疾病且血检呈阳性的概率为 0.49，则已知在患该种疾 病的条件下血检呈阳性的概率为 .‎ ‎15.为贯彻“科学防疫”，某复课学校实行“佩戴口罩，不相邻而坐”，现针对一排 8 个座位， 安排 4 名同学就坐，那么不同的安排方法共有 种.（用数字作答）‎ ‎16.已知函数 f ( x) = (e x -1 + x)( x - ae x -1 ) - e 2( x -1) ，若 a = -1 ，则函数 f ( x) 有 个零点； 若函数 f ( x) 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是 .‎ ‎（注：第一空 2 分；第二空 3 分）‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.‎ ‎17.（12 分）为了做好中央提出的“六稳”工作，落实“六保”任务，努力实现全年经济社 会发展目标，某省采取了“云”上谈生意助力经济加速发展的稳外贸措施，通过电商平 台，为外贸企业“在线洽谈、直播营销”提供服务和支持. 已知该省某电商平台为某外贸 工厂的产品开设直播带货专场，为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销， 得到如下数据：‎ 单价 x(元/件)‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量 y(万件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎（1）根据以上数据，求 y 关于 x 的线性回归方程；‎ ‎（2）现已知该产品成本是 4 元/件，假设该产品全部卖出，请预测把单价定为多少时，此外 贸工厂可获得的利润最大？‎ n ‎ å ( xi - x)( yi - y) ‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ n ‎ ‎（参考公式：回归方程 yˆ = bˆx + aˆ ，其中 bˆ= i =1‎ ‎, aˆ = y -bˆx ）‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ å i =1‎ ‎( xi ‎- x)2‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎18．（12分）2020年3月，由于受新冠肺炎疫情的影响，我市的全体学生只能在网上在线学 习，为了研究学生在线学习情况，市教研院数学学科随机从市区各高中学校抽取120名学 生对线上教学情况进行调查（男生与女生的人数之比为11:13），结果发现：男生中有30 人对线上教学满意，女生中有15人对线上教学不满意.‎ ‎（1）请完成以下 2 ´ 2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教学是否满意与性 别有关”；‎ 态度 性 别 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 ‎120‎ ‎（2）采用分层抽样的方法，从被调查的“对线上教学满意”的学生中，抽取 8 名学生，再 从这 8 名学生中抽取 3 名学生，作线上学习的经验介绍，设其中抽取男生的个数为x ， 求x的分布列及数学期望.‎ ‎2‎ 参考公式： k 2 = n(ad - bc) (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )‎ K 2 > k ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10．828‎ ‎19.（12 分）已知 f ( x) = a ln x + 2x 2 (a Î R) .‎ ‎（1）当 a = -4 时，求 f ( x) 的单调区间；‎ f ( x) - 2 x 2 + 1‎ ‎（2）令 g ( x) = ，若 g ( x) 在区间[e2 , e4 ] 上单调递减，求实数 a 的取值范围.‎ x 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎20. （12 分）2020 年 4 月，受新型冠状病毒疫情的影响，某校初三年级 500 名学生参加了 市里组织的线上联考，这 500 名学生的数学成绩（满分 120 分）的频率分布直方图如图 所示（用样本的频率作为概率）.‎ ‎（1）由频率分布直方图，可以认为学生成绩 z 服从正态分布 N (m,s2 ) ，其中 m,s2 分别取 考生的平均成绩 x（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）和考生成绩的方差 s 2 ， 请估计该校 500 名学生的成绩不低于 99.31 分的人数（结果四舍五入取整数）.‎ ‎（2）现从该市参加线上联考的学生中随机抽取 20 名，设其中有 k 名学生的数学成绩在 ‎[100,120]内的概率为 P( X = k ) （ k = 0,1,2,L 20 ），则当 P( X = k ) 最大时，求 k 的值.‎ 频率 组距 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ 附：① s 2 = 28.2,‎ ‎‎ ‎28.2 » 5.31；‎ ‎‎ ‎0.030‎ ‎0.025‎ ‎0.020‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎②若 z ~ N (m,s2 ) ，‎ ‎‎ ‎60 70 80 90 100 110 120 成绩/分 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ 则 P(m-s < z < m+s) » 0.6827, P(m- 2s < z < m+ 2s) » 0.9545 ，‎ P(m- 3s < z < m+ 3s) » 0.9973 .‎ ‎21.（12 分）已知函数 f ( x) = ln x + x + a (a Î R)‎ x ‎（1）若函数 f ( x) 在 x = 1 处的切线与直线 y = a 2 x + 1平行，求 a 的值；‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（2）若函数 g ( x) = xf ( x) - (a + 1) x 2 - x 有两个不同的极值点 x , x ‎，且 x2‎ ‎> x1‎ ‎> 0 ，‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎2‎ x æ e ö 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ 求证：‎ ‎1 > ç ‎÷ （ e 为自然对数的底数）.‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ e è x2 ø 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ ‎22.（10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 ‎‎ ì 2‎ ï x = - t ï 2‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ 在直角坐标系 xoy 中，直线 C1 的参数方程为 í ï y = 2 + î ‎(其中 t 为参数). 以坐标原点 ‎2 t ‎2‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎ O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 r= 2 sinq.‎ ‎（1）写出直线 C1 的极坐标方程；‎ ON ‎（2）设动直线 l : y = kx(k > 0) 与 C1、C2 分别交于点 M , N ，求 OM 的最大值。‎ ‎23.（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f ( x ) = 2 x - 1 - x + 1 的最小值为 m .‎ ‎（1）求 m 的值；‎ ‎（2）若 a + b + c + m = 0 ，求证： a2 + b2 + c2 - 2b + 4c + 2 ³ 0 .‎ 高二数学试卷（理科）‎ 第 8 页 （共 8 页）‎