安徽省六安市舒城中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

安徽省六安市舒城中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

舒城中学2018-2019学年度第二学期期末考试 高二文数 一．选择题。‎ ‎1.已知集合，，则 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过定义求出集合A，再利用交集运算即可得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以，故，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，难度很小.‎ ‎2.已知复数满足(为虚数单位)，则 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出，再利用共轭复数及概念计算出.‎ ‎【详解】由于，因此，因此，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的相关概念，难度不大.‎ ‎3.平面向量与的夹角为，，，则等于 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过题意可求得,从而,即可得到答案.‎ ‎【详解】由于,所以,因此,因此,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，模的相关运算，难度不大.‎ ‎4.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，三棱锥表面上的点在俯视图上的对应点为，三棱锥表面上的点在左视图上的对应点为，则线段的长度的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出几何体的直观图，判断的位置，然后结合直观图可求线段的长度的最大值．‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该三棱锥的底面是直角三角形，‎ 一条侧棱与底面垂直（平面），‎ 为几何体的直观图如图，在上，重合，‎ 当与重合时，‎ 线段的长度的最大值为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎5.若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则其离心率的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先找出双曲线的渐近线方程为，利用倾斜角和斜率的关系即可得到，从而求得离心率.‎ ‎【详解】由于双曲线的渐近线为，而倾斜角为，故，因此，即，则，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考察双曲线离心率，渐近线的相关计算，难度不大.‎ ‎6.函数的图象大致为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过代入特殊点判断正负即可得到答案.‎ ‎【详解】由于，排除C选项，，排除B选项，，不选A,故选D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图像，此类题通过判断奇偶性，特殊值，极值点一般就可得到答案.‎ ‎7.执行如图的程序框图，则输出的值是 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当 时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．‎ ‎【详解】解：模拟执行程序框图，可得 ‎.‎ 满足条件，执行循环体，；‎ 满足条件，执行循环体， ；‎ 满足条件，执行循环体，；‎ 满足条件，执行循环体， ；‎ ‎…‎ 观察规律可知，x的取值周期为3，由于，可得：‎ 满足条件，执行循环体，‎ 当 ,不满足条件，退出循环，输出x的值为2．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x的值是解题的关键．‎ ‎8.设变量满足约束条件则目标函数的取值范围为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 作出可行域，理解目标函数的几何意义为斜率式，再通过数形结合法可求得目标函数的取值范围.‎ ‎【详解】作出不等式组表示的可行域如图所示中阴影部分，表示可行域内的点与点连线的斜率，易求得临界位置的斜率为-1,1，由图易知的取值范围为，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划问题，目标函数一般有三类：截距式，斜率式，距离式，解决此类题目的关键在于作出正确的可行域.‎ ‎9.已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以为周期的周期函数；②函数是以为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数 为偶函数，则其中真命题的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．‎ ‎【详解】解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，‎ 即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），‎ 即为f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），‎ 可得f（x）的最小正周期为4，故①错误；②正确；‎ 由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），‎ 又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）为奇函数，故③正确；‎ 由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）为偶函数，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），‎ 可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．‎ ‎10.已知角满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用诱导公式可求，‎ ‎，再由二倍角公式化简，即可得结果．‎ ‎【详解】，‎ ‎ ‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎11.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与另一段的比例中项，即满足．后人把这个数称为黄金分割数，把点称为线段的黄金分割点.在中，若点为线段的两个黄金分割点，在内任取一点，则点落在内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型概率求解.测度为面积.‎ ‎【详解】由题意得所求概率为几何概型概率，测度为面积.‎ 即所求概率为 选B.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎12.己知，是椭圆的左，右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，，且，则△与△的面积之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设，运用椭圆的定义可得，结合勾股定理和三角形的面积公式，计算可得所求比值.‎ ‎【详解】‎ 设，由椭圆的定义可得，，由，即，即有，解得，则△与△的面积之比为：‎ ‎,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义，勾股定理，面积公式等，较综合，意在考查学生的计算能力，分析能力，难度较大.‎ 二、填空题(把答案填在题中横线上)‎ ‎13.“”是“两直线和平行”的____条件．‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过直线平行的条件可计算出的值，从而利于充分必要条件的定义即可得到答案.‎ ‎【详解】当时，两直线分别为：和，显然平行；若两直线和平行，则，且，解得或，则“”是“两直线和平行”的充分不必要条件.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线平行的条件，充分必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力，分析能力和计算能力.‎ ‎14.已知函数的图像关于直线对称，当时，，则曲线在点处的切线方程是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过判断函数为偶函数即可得到在的解析式，从而求导求出直线的斜率，再求出切线方程.‎ ‎【详解】由于函数的图像关于直线对称，故为偶函数，令，则 ‎，从而，因此，，则切线斜率为，因此切线方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的对称性，奇偶性，利用奇偶性求函数解析式，导数的几何意义，综合性强；意在考查学生的转化能力及逻辑分析能力.‎ ‎15.在中，角所对的边分别边，若，，则的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先根据余弦定理求C,再根据正弦定理化为角的函数关系式，最后根据正弦函数性质求结果.‎ 详解】，，‎ ‎，‎ ‎ ，，又，‎ ‎，‎ 因此 ‎， ，‎ ‎ ，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎16.已知函数，点，，是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，且，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过三个相邻点的相关性质确定函数的周期，从而确定，然后设出，，从而解得，于是得到答案.‎ ‎【详解】由于，因此，则,即，即，因为，设，则，则 ‎，即，‎ 即，解得，‎ 所以，由于，所以，因此.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，解决本题的关键在于确定函数的周期，意在考查学生的转化能力，计算能力以及逻辑推理能力，难度中等.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17.已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，，成等比数列，‎ 求数列的通项公式；‎ 若数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）依题意，可由求得其首项与公差，继而可求得数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，用裂项法可求得，从而可求的范围，即可证明结果．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）由已知，，‎ 又成等比数列，‎ 由且可 解得，‎ ‎，‎ 故数列{}的通项公式为；‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），‎ ‎，‎ 显然，．‎ 考点：1．等差数列；2．等比数列性质；3．数列求和．‎ ‎18.如图，四棱锥中，，，，为中点，，．‎ 证明：平面平面；‎ 若，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据计算可得，再根据线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结果，（2）取中点，利用面面垂直性质定理得平面，再根据锥体体积公式求结果.‎ ‎【详解】（1）证明：由，，，，‎ 可得，，．‎ 从而是等边三角形，，平分．‎ 为中点，，，‎ 又，，平面．‎ 平面，平面平面；‎ ‎（2）解：由（1）知，平面，则平面平面，‎ 取中点，连接，则．‎ 平面平面，平面平面，‎ 平面．‎ ‎，，‎ 又．‎ ‎ ．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定与性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.‎ ‎19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：‎ 间隔时间x（分钟）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 等候人数y（人）‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎29‎ ‎28‎ ‎31‎ 调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若差值的绝对值不超过，则称所求方程是“恰当回归方程”．‎ 从这组数据中随机选取组数据后，求剩下的组数据的间隔时间不相邻的概率；‎ 若选取的是后面组数据，求关于的线性回归方程，并判断程是否是“恰当回归方程”；‎ 附：对于一组数据，，，，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，．‎ ‎【答案】(1) (2) ；求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)找出“从这组数据中随机选取组数据后，剩下的组数据不相邻”的所有可能，利用对立事件剩下的组数据相邻求得概率.‎ ‎（2）利用线性回归方程相关公式求得线性回归方程，再利用“恰当回归方程”相关定义直接判断即可.‎ ‎【详解】设“从这组数据中随机选取组数据后，剩下的组数据不相邻”为事件，‎ 记这六组数据分别为 剩下的两组数据的基本事件有，共种，‎ 其中相邻的有，共种，‎ 所以．‎ 后面组数据是：‎ 间隔时间（x分钟）‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 等候人数（y人）‎ ‎26‎ ‎29‎ ‎28‎ ‎31‎ 因为,‎ ‎，‎ 所以，，‎ 所以．‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型，线性回归方程的相关计算；意在考查学生的数据处理能力，分析能力及计算能力，难度不大.‎ ‎20.设抛物线，直线与交于，两点．‎ 若，求直线的方程；‎ 点为的中点，过点作直线与轴垂直，垂足为．求证：以为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．‎ ‎【答案】(1) 或，(2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)联立直线与抛物线消去x得到关于y的一元二次方程，利用弦长公式即可得到答案.‎ ‎(2)设的坐标为，由于为直径的圆经过点，可利用找出一关系式，从而求出定点.‎ ‎【详解】由，消去并整理可得，‎ 显然，‎ 设，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 直线方程为或，‎ 证明：设的中点的坐标为，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由题意可得，‎ 设为直径的圆经过点，‎ ‎，，‎ 由题意可得，‎ 即，‎ ‎ 由题意可得解得，‎ 定点即为所求 ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，圆的相关性质，定点问题，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.‎ ‎21.已知函数（为实常数）.‎ 若，求曲线在处的切线方程；‎ 若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）若时，，求导数值可得切线斜率，求函数值可得定点，可得直线方程；‎ ‎（2）先讨论函数在的单调性，分类讨论分别求和以及时a的范围，综合可得.‎ 解析：（1）时，，，所求切线方程为.‎ ‎（2），.‎ 当即时，，，此时，在上单调增；所以的最小值为，所以 当即时，时，，在上单调减；‎ 时，，在上单调增；所以的最小值为 ‎.因为所以，.‎ 时，，在上单调增；所以的最小值为 ‎.因为，所以，.‎ 所以，所以.‎ 当即时，，，此时，在上单调减；所以的最小值为，因为所以，所以，‎ 综上，.‎ 点睛：由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ‎(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；‎ ‎(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；‎ ‎(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，将椭圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ 写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ 已知点，且直线与曲线交于、两点，求的值．‎ ‎【答案】(1) 曲线的普通方程为； 直线的直角坐标方程 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半即可得到曲线C的方程，通过即可得到直线的直角坐标方程.‎ ‎(2)写出直线的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，根据的几何意义可得：即可得到结果.‎ ‎【详解】将椭圆 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线．‎ 得到圆的图象，‎ 故曲线的普通方程为；‎ 直线的极坐标方程为．‎ 故直线的直角坐标方程为，即；‎ 直线过点且倾斜角为，‎ 故直线的参数方程为：(为参数）．‎ 代入方程．‎ 化为：，‎ ‎．‎ 根据的几何意义可得：．‎ ‎【点睛】本题主要考查直角坐标，参数方程，极坐标之间的互化，直线参数方程t的几何意义，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度不大.‎ ‎23.已知函数.‎ 当时，求不等式的解集； ‎ 若存在，使不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过对,,讨论脱离绝对值分别解不等式可得答案；‎ ‎（2）等价于，从而可得的取值范围.‎ ‎【详解】(1)当时，‎ 当时，由，解得；‎ 当时，由，解得，所以；‎ 当时，由，解得，所以.‎ 综上可得，原不等式的解集为.‎ ‎(2)因为，所以等价于，‎ 即等价于，所以由题设得上恒成立，‎ 又由，可知，所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式，意在考查学生的转化能力，分类讨论能力，去绝对值是解决此类题型的关键，难度中等.‎ ‎ ‎