2018-2019学年福建省三明市高二下学期期末质量检测数学(文)试题(解析版)

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2018-2019学年福建省三明市高二下学期期末质量检测数学(文)试题(解析版)

‎2018-2019学年福建省三明市高二下学期期末质量检测数学(文)试题 一、单选题 ‎1.已知为虚数单位,则复数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据复数的运算法则,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,复数,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算,其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键,着重考查了计算能力,属于容易题.‎ ‎2.用反证法证明命题“若,则”时,正确的反设为(  )‎ A.x≤﹣1 B.x≥﹣1 C.x2﹣2x﹣3≤0 D.x2﹣2x﹣3≥0‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据反证法的要求,反设时条件不变,结论设为相反,从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 命题“若,则”,‎ 要用反证法证明,则其反设需满足条件不变,结论设为相反,‎ 所以正确的反设为,‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用反证法证明时,反设应如何写,属于简单题.‎ ‎3.“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】求得方程的根,根据充分条件、必要条件的判定方法,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意,方程,解得或,‎ 所以“”是“”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了充分不必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:经过伸缩变换后得到线C2,则曲线C2的方程为(  )‎ A.4x2+y2=1 B.x2+4y2=1 C.1 D.x21‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据条件所给的伸缩变换,反解出和的表达式,然后代入到中,从而得到曲线.‎ ‎【详解】‎ 因为圆,经过伸缩变换 所以可得,代入圆 得到 整理得,即 故选C项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查通过坐标伸缩变换求曲线方程,属于简单题.‎ ‎5.不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据绝对值的定义,得到等价不等式组,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,不等式,‎ 根据绝对值的定义,可得,解得,即,‎ 所以不等式的解集为,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了绝对值不等式的求解,其中解答中熟记绝对值的定义,得出等价不等式组是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎6.执行如下图的程序框图,如果输入的的值是7,那么输出的的值是( )‎ A.3 B.15 C.105 D.945‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知中的程序框图,得到该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量的变化情况,可得答案.‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行,可得:,‎ 满足条件,执行循环体,;‎ 满足条件,执行循环体,;‎ 满足条件,执行循环体,;‎ 此时,不满足条件,推出循环,输出的值为,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图的应用问题,解答中应模拟程序框图的运行过程,逐次计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎7.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与离好阅读是否有关,随机询问120名高中生是否喜好阅读,利用2×2列联表,由计算可得K2=4.236‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参照附表,可得正确的结论是(  )‎ A.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”‎ B.有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”‎ C.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”‎ D.有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意知观测值,对照临界值得出结论.‎ ‎【详解】‎ 利用独立性检验的方法求得,‎ 对照临界值得出:有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”.‎ 故选A项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立性检验的应用问题,是基础题.‎ ‎8.已知,实数满足,则下列不等式一定成立的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据指数函数的单调性,得到,再利用不等式的性质,以及特殊值法,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据指数函数的单调性,由且,可得,‎ 对于A中,由,此时不能确定符号,所以不正确;‎ 对于B中,当时,,此时 ‎,所以不正确;‎ 对于C中,例如:当时,此时,所以不正确;‎ 对于D中,由,所以,所以是正确的.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的单调性,以及不等式的性质的应用,其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎9.函数y的图象大致为(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过函数的单调性和特殊点的函数值,排除法得到正确答案.‎ ‎【详解】‎ 因为,其定义域为 所以,‎ 所以为奇函数,其图像关于原点对称,故排除A、C项,‎ 当时,,所以D项错误,‎ 故答案为B项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性和特殊点的函数值来判断函数的图像,属于简单题.‎ ‎10.在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为。若射线与曲线和曲线分别交于两点(除极点外),则等于( )‎ A. B. C.1 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】把分别代入和,求得的极经,进而求得,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,把代入,可得,‎ 把代入,可得,‎ 结合图象,可得,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的极坐标方程的应用,以及数形结合法的解题思想方法,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎11.若|x﹣1|≤x|x+1|,则(  )‎ A.x1 B.x≤1 C.x1 D.x ‎【答案】A ‎【解析】对按照,,进行分类讨论,分别解不等式,然后取并集,得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①当时,,即,‎ 解得 所以 ‎②当时,,即 解得或 所以 ‎③当时,,即 解得 所以 综上所述,‎ 故选A项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分类讨论解不含参的绝对值不等式,属于简单题.‎ ‎12.已知,则不等式的解集为 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:由函数奇偶性的定义,确定函数为偶函数,进而将不等式,转化为不等式,可得或,解不等式求并集,即可得到所求解集.‎ 详解:当时,,,‎ ‎ 又有当时,,‎ ‎ ,即函数为偶函数.‎ 不等式转化为不等式,‎ 可得或,‎ 解得或,‎ 不等式的解集为.‎ 故选C.‎ 点睛:本题考查分段函数与解不等式综合,考查运用函数的基本性质转化不等式并求解的方法,属于中档题.‎ ‎13.在某次诗词大会决赛前,甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军,三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:猜测冠军是乙或丁;猜测冠军一定不是丙和丁;猜测冠军是甲或乙。比赛结束后发现,三个人中只有一个人的猜测是正确的,则冠军是( )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎【答案】D ‎【解析】分别假设甲、乙、丙和丁是冠军,推出矛盾和正确的结果,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,选项A中,若甲是冠军,则B和C猜测正确,A猜测错误,不满足题意;‎ 选项B中,若乙是冠军,则A、B、C猜测都正确,不满足题意;‎ 选项C中,若丙是冠军,则A、B、C猜测都不正确,不满足题意;‎ 选项D中,若丁是冠军,则A猜测正确,B和C猜测错误,满足题意,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了合情推理与演绎推理的应用,其中解答中分别假设甲、乙、丙和丁是冠军,推出矛盾和正确的结果是解答的关键,着重考查了推理能力,属于基础题.‎ ‎14.设函数定义域为,其导函数为,若,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】令,利用导数求得在上为单调增,把不等式转化为,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意,令函数,则,‎ 因为,则,所以函数是上的单调递增函数,‎ 又由,则 又由,得,即,所以,‎ 即不等式的解集为,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究的函数的单调性,以及函数的单调性的应用,其中解答中根据不等式,构造新函数,利用导数得到新函数的单调性是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎15.已知函数,则_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由分段函数的解析式,化简则,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,函数,‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的求值问题,其中解答中熟练应用分段函数的解析式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎16.不等式的解集为.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析:由于,因此不等式的解集为.‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法 ‎17.已知,设,则的大小关系为(用“<”号连接)______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用对数函数、指数函数的图象与性质,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,因为,则,‎ 根据对数函数的单调性,可得,‎ 根据指数函数的图象与性质,可得,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三个数的比较大小,同时考查了对数函数、指数函数的图象与性质的应用,着重考查了运算、求解能力,属于基础题.‎ ‎18.我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的面积无限接近圆的面积,进而来求得较为精确的圆周率。如果用圆的内接正边形逼近圆,算得圆周率的近似值记为,那么_______。‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由三角函数的倍角公式及三角形的面积公式,得到,即可求得和的值,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,可得,所以,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形的面积公式、圆的面积公式,以及三角函数公式的应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎19.已知复数,复数,其中是虚数单位,为实数.‎ ‎(1)若,为纯虚数,求的值;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎【答案】(1) (2)m=0,n=-1‎ ‎【解析】(1)利用复数的运算法则,结合纯虚数的概念,根据模的计算公式即可得出;(2)利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为为纯虚数,所以.‎ 又,所以,,从而. ‎ 因此. ‎ ‎(2)因为,所以,‎ 即.又,为实数, ‎ 所以 ‎ 解得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎20.已知函数的图象在点处的切线与直线平行。‎ ‎(1)求切线的方程;‎ ‎(2)若函数有3个零点,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】(1)由导数的几何意义,求得,得到,进而求得切线的切点坐标,求得切线的方程;‎ ‎(2)由(1)函数,求得函数的单调性与极值,由有3个零点,转化为与的图象有3个交点,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,函数,则,‎ 又的图象在点处的切线与直线平行,‎ 所以,解得,即,‎ 所以,所以切点的坐标为,‎ 则切线方程为,即;‎ ‎(2)由(1)可知,令,则,‎ 列表如下:‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 所以当时,有极大值;‎ 当时,有极小值,‎ 且当时,;当时,,‎ 因为有3个零点,所以有3个实数根,‎ 即与的图象有3个交点,所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义,以及利用导数求解函数的单调性与极值的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎21.菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防止害虫的危害,但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药,食用时需要用清水清洗干净。假设1千克该蔬菜用清水千克清洗后,蔬菜上残留的农药为微克,通过样本数据得到关于的散点图。由数据分析可用函数拟合与的关系.‎ ‎(1)求与的回归方程(精确到0.1);‎ ‎(2)已知对于残留在蔬菜上的农药,当它的残留量不超过20微克时对人体无害。为了放心食用该蔬菜,请估计至少需要用多少克的清水清洗1千克蔬菜?(答案精确到0.1)‎ 附:①参考数据:,,(其中),。‎ ‎②参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 4.5千克 ‎【解析】(1)根据散点图,求得,,再由公式求出和的值,即可求得回归直线的方程;‎ ‎(2)当时,代入回归方程,求得,即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,可得,,‎ 所以,‎ 所以,‎ ‎∴关于的线性回归方程为,‎ ‎∴关于的回归方程为.‎ ‎(2)当时,即,解得,‎ ‎∴为了放心食用该蔬菜,估计至少需要用4.5千克的消水清洗1千克蔬菜.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归方程的求解,以及回归直线方程的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎22.已知为虚数单位,观察下列各等式:‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎。‎ 记。‎ ‎(1)根据以上规律,试猜想成立的等式,并加以证明;‎ ‎(2)计算。‎ ‎【答案】(1) 猜想,证明见解析;(2)-1‎ ‎【解析】(1)将和之间的关系进行验证,总结出规律,即为猜想,作出证明即可;‎ ‎(2)利用(1)推出的结论,代入求解,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)猜想,‎ 证明:‎ ‎;‎ ‎(2)因为,‎ 所以,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了归纳推理的应用,其中根据题设中各式子的结构,合理归纳是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.‎ ‎23.已知函数。‎ ‎(1)若函数的一个极值点为,求的单调区间;‎ ‎(2)若,且关于的不等式恒成立,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1) 的单调递增区间为,的单调递减区间为。(2) ‎ ‎【解析】(1)根据函数的极值点,求得的值,得到函数解析式,利用导数的符号,即可求得函数的单调区间;‎ ‎(2)当时,符合题意,‎ 当时, ,该方程有一正一负根,即存在,使得在上单调递减,在上单调递增,结合,求得的取值范围,即可求得的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)依题可知函数的定义域为,且,‎ 因为 函数的一个极值点为,所以,即,得,‎ 经检验,符合题意,所以,‎ 所以,‎ 令,即,解得,‎ 令即,解得,‎ 所以的单调递增区间为,的单调递减区间为.‎ ‎(2)当时,符合题意,‎ 当时,,令,‎ 因为,所以,则该方程有两不同实根,且一正一负,‎ 即存在,使得,‎ 可知时,,时,,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以,‎ 所以,即,‎ 因为在上单调递增,且时,,所以,‎ 由,得,‎ 设,则,故在上单调递减,‎ 所以,即为的范围,‎ 综上所述,实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎24.在平面直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2(1+sin2θ)=2,点M的极坐标为(,).‎ ‎(1)求点M的直角坐标和C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知直线C1与曲线C2相交于A,B两点,设线段AB的中点为N,求|MN|的值.‎ ‎【答案】(1)M的极坐标为(0,),C2的直角坐标方程为x2+2y2=2(2)‎ ‎【解析】(1)根据极坐标与直角坐标的转化公式,得到M的直角坐标,利用,得到曲线的直角坐标方程;(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,得到,而所求的,从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 由点M的极坐标为(,),‎ 可得点M的直角坐标为(0,),‎ 由ρ2(1+sin2θ)=2,得ρ2+ρ2sin2θ=2,‎ ‎∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,‎ ‎∴C2的直角坐标方程为x2+2y2=2;‎ ‎(2)把(t为参数)代入x2+2y2=2,‎ 得7t2+24t+16=0.‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则,‎ 又N点对应的参数为,‎ ‎∴|MN|.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程与极坐标方程化直角坐标方程,直线参数方程的几何意义,属于中档题.‎ ‎25.已知函数,且不等式的解集为。‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)对任意实数,有成立,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】(1)由不等式,解得,得出方程组,即可求解;‎ ‎(2)由由,得,即为,‎ 分类讨论求得函数的最小值,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,不等式,得,‎ 解得,所以,解得.‎ ‎(2)由(1)得,‎ 由,得,‎ 所以由题意知,‎ 设 当时,是减函数,;当时,;‎ 当时,是增函数,,‎ 所以,‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含绝对值不等式的解法,以及含绝对值的不等式的恒成立问题,其中解答中熟记含绝对值不等式的解法,以及分类讨论去掉绝对值号是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.‎
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