山东省威海市文登区2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

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文档介绍

山东省威海市文登区2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.时间120分钟,共150分. ‎ 第Ⅰ卷 选择题(共60分)‎ 注意事项:‎ 每小题选出答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.‎ ‎1.已知复数是纯虚数,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据纯虚数定义,可求得的值;代入后可得复数,再根据复数的除法运算即可求得的值.‎ ‎【详解】复数是纯虚数,‎ 则,解得,‎ 所以,‎ 则,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的概念,复数的除法运算,属于基础题.‎ ‎2.已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求得函数的解析式,再根据导数的除法运算法则即可求解.‎ ‎【详解】函数,‎ 令,则,‎ 所以,‎ 则,‎ 由导数除法运算法则可得,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了换元法求函数解析式,导数除法法则的简单计算,属于基础题.‎ ‎3.某单位为了解用电量(度)与气温(℃)之间的关系,随机统计了某天的用电量与当天气温,并制作了统计表:由表中数据得到线性回归方程,那么表中的值为( )‎ 气温(℃)‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎-1‎ 用电量(度)‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎64‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表中数据计算可得样本中心点,根据回归方程经过样本中心点,代入即可求得的值.‎ ‎【详解】由表格可知,‎ ‎,‎ 根据回归直线经过样本中心点,‎ 代入回归方程可得,‎ 解得,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的简单应用,由回归方程求数据中的参数,属于基础题.‎ ‎4.给出下列四个命题:①若,则;②若,且,则;③若复数满足,则;④若,则在复平面内对应的点位于第一象限.其中正确的命题个数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘方运算,结合特殊值即可判断①;由复数性质,不能比较大小可判断②;根据复数的除法运算及模的求法,可判断③;由复数的乘法运算及复数的几何意义可判断④.‎ ‎【详解】对于①,若,则错误,如当时 ,所以①错误;‎ 对于②,虚数不能比较大小,所以②错误;‎ 对于③,复数满足,即,所以,即③正确;‎ 对于④,若,则,所以,在复平面内对应点的坐标为,所以④正确;‎ 综上可知,正确的为③④,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的几何意义与运算的综合应用,属于基础题.‎ ‎5.已知函数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式,结合指数幂与对数的运算,即可化简求解.‎ ‎【详解】函数 ‎ 则,‎ 所以,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的求值,指数幂与对数式的运算应用,属于基础题.‎ ‎6.若展开式中只有第四项的系数最大,则展开式中有理项的项数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据最大项系数可得的值,结合二项定理展开式的通项,即可得有理项及有理项的个数.‎ ‎【详解】展开式中只有第四项的系数最大,‎ 所以,‎ 则展开式通项为,‎ 因为,所以当时为有理项,‎ 所以有理项共有4项,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了二项定理展开式系数的性质,二项定理展开式通项的应用,有理项的求法,属于基础题.‎ ‎7.如图所示,圆为正三角形的内切圆,为切点,将一颗豆子随机地扔到该正三角形内,在已知豆子落在圆内的条件下,豆子落在(阴影部分)内的概率为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正三角形的边长为,内切圆半径为,求得内切圆半径,即可得阴影部分的面积;再求得三角形的面积,结合几何概型的求法即可得解.‎ ‎【详解】设正三角形的边长为,内切圆半径为,‎ 则由三角形面积公式可得,‎ 解得,‎ 则,‎ 所以由几何概型概率可得落在阴影部分的概率为,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了等边三角形内切圆的性质应用,几何概型概率求法,属于基础题.‎ ‎8.在的展开式中,记项的系数为,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,表示出展开式的项对应次数,由二项式定理展开式的性质即可求得各项对应的系数,即可求解.‎ ‎【详解】由题意记项的系数为,可知对应的项为;对应的项为;对应的项为;对应的项为;‎ 而展开式中项的系数为;‎ 对应的项的系数为;‎ 对应的项的系数为;‎ 对应的项的系数为;‎ 所以 ‎,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理展开式及性质的简单应用,属于基础题.‎ ‎9.已知定义在上的函数与函数有相同的奇偶性和单调性,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断的奇偶性及单调性,即可由为奇函数性质及单调性解不等式,结合定义域即可求解.‎ ‎【详解】函数,定义域为;‎ 则,即为奇函数,‎ ‎,‎ 函数在内单调递减,由复合函数的单调性可知在内单调递减,‎ 由题意可得函数为在内单调递减的奇函数,‎ 所以不等式变形可得,‎ 即,‎ 则,解不等式组可得,即,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断,对数型复合函数单调性性质应用,由奇偶性及单调性解抽象不等式,注意定义域的要求,属于中档题.‎ ‎10.要将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则甲被分到班的概率为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,先将四人分成三组,再分别分给三个班级即可求得总安排方法;若甲被安排到A班,则分甲单独一人安排到A班和甲与另外一人一起安排到A班两种情况讨论,即可确定甲被安排到A班的所有情况,即可求解.‎ ‎【详解】将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中,要求每个班级至少分到一人,‎ 则将甲、乙、丙、丁名同学分成三组,人数分别为1,1,2;则共有种方法,分配给三个班级的所有方法有种;‎ 甲被分到A班,有两种情况:一,甲单独一人分到A班,则剩余两个班级分别为1人和2人,共有种;二,甲和另外一人分到A班,则剩余两个班级各1人,共有种;‎ 综上可知,甲被分到班的概率为,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用,分组时注意重复情况的出现,属于中档题.‎ ‎11.已知奇函数在上是单调函数,函数是其导函数,当时,,则使成立的的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式变形,并构造函数,利用导函数可判断在时的取值情况;根据奇函数性质,即可判断当时的符号,进而得解.‎ ‎【详解】当时,,即;‎ 令,‎ 则,‎ 由题意可知,即在时单调递减,且,‎ 所以当时,,由于此时,则不合题意;‎ 当时,,由于此时,则不合题意;‎ 由以上可知时,‎ 而是上的奇函数,‎ 则当时,恒成立,‎ 所以使成立的的取值范围为,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系,利用构造函数法分析函数单调性,奇函数性质解不等式,属于中档题.‎ ‎12.已知函数的定义域为,若对于,分别为某三角形的三边长,则称为“三角形函数”.给出下列四个函数:‎ ‎①②③④.其中为“三角形函数”的个数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据构成三角形条件,可知函数需满足,由四个函数解析式,分别求得其值域,即可判断是否满足不等式成立.‎ ‎【详解】根据题意,对于,分别为某三角形的三边长,由三角形性质可知需满足:‎ 对于①,,如当时不能构成三角形,所以①不是“三角形函数”;‎ 对于②,,则,满足,所以②是“三角形函数”;‎ 对于③,,则,当时不能构成三角形,所以③不是“三角形函数”;‎ 对于④,,由指数函数性质可得,满足 ‎,所以④是“三角形函数”;‎ 综上可知,为“三角形函数”的有②④,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用,函数值域的求法,三角形构成的条件应用,属于中档题.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 注意事项:‎ 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置.在试题卷上答题无效.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知,则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排列数计算公式可求得,结合组合数的性质即可化简求值.‎ ‎【详解】根据排列数计算公式可得,,‎ 所以,‎ 化简可解得,‎ 则由组合数性质可得 ‎,‎ 故答案为:462.‎ ‎【点睛】本题考查了排列数公式的简单应用,组合数性质的综合应用,属于基础题.‎ ‎14.已知复数满足方程,则的最小值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆;再根据点和圆的位置关系,及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值,即为的最小值.‎ ‎【详解】复数满足方程,‎ 设(),‎ 则,在复平面内轨迹是以为圆心,以2为半径的圆;‎ ‎,意义为圆上的点到的距离,‎ 由点与圆的几何性质可知,的最小值为,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了复数几何意义的综合应用,点和圆的位置关系及距离最值的求法,属于中档题.‎ ‎15.有一个容器,下部分是高为的圆柱体,上部分是与圆柱共底面且母线长为的圆锥,现不考虑该容器内壁的厚度,则该容器的最大容积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆柱底面圆的半径为,分别表示出圆柱和圆锥的体积,利用导数求得极值点,并判断在极值点左右两侧的单调性,即可求得函数的最大值,即为容器的最大容积.‎ ‎【详解】设圆柱底面圆的半径为,‎ 圆柱体的高为,则圆柱的体积为;‎ 圆锥的高为,则圆锥的体积,‎ 所以该容器的容积为 则 ‎,‎ 令,即,‎ 化简可得,解得,‎ 当时,,函数单调递增,‎ 当时,,函数单调递减,‎ 所以当时,取得最大值;‎ 代入可得,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了导数在体积最值问题中的综合应用,圆柱与圆锥的体积公式应用,属于中档题.‎ ‎16.已知函数为偶函数,对任意满足,当时,.若函数至少有个零点,则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数性质及解析式满足的条件,可知的对称轴和周期,并由时的解析式,画出函数图像;根据导数的几何意义,求得时的解析式,即可求得的临界值,进而确定的取值范围.‎ ‎【详解】函数至少有个零点,由 可得函数为偶函数,对任意满足,则函数图像关于对称,‎ 函数为周期的周期函数,当时,,‎ 则的函数图像如下图所示:‎ 由图像可知,‎ 根据函数关于轴对称可知,若在时至少有两个零点,则满足至少有个零点,即在时至少有两个交点;‎ 当与相切时,满足有两个交点;‎ 则,设切点为,‎ 则,解方程可得,‎ 由导数的几何意义可知,‎ 所以满足条件的的取值范围为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点的应用,方程与函数的综合应用,根据导数求函数的交点情况,数形结合法求参数的取值范围,属于难题.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知二次函数的值域为,且,. ‎ ‎(Ⅰ)求的解析式;‎ ‎(Ⅱ)若函数在上是减函数,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)设二次函数的解析式为,根据题意可得关于的方程组,解方程组即可求得的解析式;‎ ‎(Ⅱ)将的解析式代入,并构造函数,根据复合函数单调性的性质,即可得知在上为单调递增函数.根据二次函数的对称性及对数函数定义域要求即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】(Ⅰ)设,由题意知.‎ 则,解得, ‎ 所以的解析式为. ‎ ‎(Ⅱ)由题意知,‎ 令,则为单调递减函数,所以在上是单调递增函数. ‎ 对称轴为,所以,解得. ‎ 因为,即,解得. ‎ 综上:实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的性质及解析式的求法,对数型复合函数单调性的性质应用,注意对数函数定义域的要求,属于基础题.‎ ‎18.第届冬季奥林匹克运动会,将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣,随机从某中学学生中抽取 人进行了问卷调查,其中男、女生各人,将问卷得分情况制成茎叶图如右图:‎ ‎(Ⅰ)将得分不低于分的称为“A类”调查对象,某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息,从“A类”调查对象中抽取人,设被抽到的女生人数为,求的分布列及数学期望;‎ ‎(Ⅱ)通过问卷调查,得到如下列联表.完成列联表,并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关?‎ 不是“A类”调查对象 是“A类”调查对象 总计 男 女 总计 附参考公式与数据:,其中.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析,(Ⅱ)见解析,没有 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由茎叶图可知得分不低于分的人数及男女分别各几人,可知的可能取值为,结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列,并根据分布列求得其数学期望.‎ ‎(Ⅱ)根据数据完成列联表,结合公式即可求得观测值,与临界值作比较即可进行判断.‎ ‎【详解】(Ⅰ)人中得分不低于分的一共有人,其中男性人,女性人. ‎ 所以的可能取值为. ‎ 则,,‎ ‎,. ‎ 所以的分布列为 所以. ‎ ‎(Ⅱ)‎ 不是“A类”调查对象 是“A类”调查对象 合计 男 女 合计 所以, ‎ 因为,所以没有的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法,超几何分布的综合应用,完善列联表并根据公式计算的观测值,对独立性事件进行判断和检验,属于基础题.‎ ‎19.设函数.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)设,若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)8(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据二项定理展开式展开,即可确定对应项的系数,即可求解.‎ ‎(Ⅱ)代入值后可求得的解析式,经过检验可知点不在曲线上,即可设切点坐标为,代入曲线方程并求得,由导数的几何意义及两点间斜率公式,可得方程,且由题意可知该方程有三个不同的实数根;分离参数并构造函数,进而求得,令求得极值点和极值,由直线截此图象有三个交点即可确定的取值范围.‎ ‎【详解】(Ⅰ)根据二项式定理展开式的应用,展开可得 所以 ‎(Ⅱ)由题意 ‎ 因为点不在曲线上,所以可设切点为.‎ 则.因为,所以切线斜率为. ‎ 则,即. ‎ 因为过点可作曲线的三条切线,‎ 所以方程有三个不同的实数解. ‎ 分离参数, ‎ 设函数,‎ 所以,‎ 令,可得,‎ 令,解得或,‎ 所以在单调递增,在单调递减.‎ 所以极大值为,极小值为. ‎ 用直线截此图象,‎ 当两图象有三个交点,‎ 即时,即可作曲线的三条切线.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理展开式的简单应用,两点间斜率公式及导数的几何意义应用,分离参数及构造函数研究三次函数性质的综合应用,属于中档题.‎ ‎20.《山东省高考改革试点方案》规定:从年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;年开始,高考总成绩由语数外门统考科目成绩和物理、化学等六门选考科目成绩构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为.选考科目成绩计入考生总成绩时,将至等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中化学考试原始成绩基本服从正态分布.‎ ‎(Ⅰ)求化学原始分在区间的人数;‎ ‎(Ⅱ)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取人,求这人中至少有人成绩在的概率;‎ ‎(III)若小明同学选择物理、化学和地理为选考科目,其中物理、化学成绩获得等的概率都是,地理成绩获得等的概率是,且三个科目考试的成绩相互独立.记表示小明选考的三个科目中成绩获得等的科目数,求的分布列. ‎ ‎(附:若随机变量,则,, )‎ ‎【答案】(Ⅰ)1227人(Ⅱ)(III)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据正态分布的区间及对称性质,利用原则及数据即可得化学原始分在区间的概率,进而求得改区间内的人数;‎ ‎(Ⅱ)先求得再区间内学生所占比例,即可得随机抽取1人成绩在该区间的概率,由独立重复试验的概率公式,即可求得人中至少有人成绩在改区间的概率;‎ ‎(III)根据题意可知随机变量的可能取值为. 根据所给各科目获得等的概率,由独立事件的乘法公式可得各可能取值对应的概率,即可得分布列.‎ ‎【详解】(Ⅰ)因为化学考试原始分基本服从正态分布,即,‎ 所以 ‎,所以化学原始分在区间的人数为人. ‎ ‎(Ⅱ)由题意得,位于区间内所占比例为,‎ 所以随机抽取人,其成绩在内概率为, ‎ 所以随机抽取人,相当于进行次独立重复试验. 设这人中至少有人成绩在 为事件,则. ‎ ‎(III)随机变量的可能取值为. ‎ 则,‎ ‎, ,‎ ‎. ‎ 所以的分布列为 ‎【点睛】本题考查了正态分布曲线的性质及综合应用,独立重复试验概率的求法,独立事件概率乘法公式的应用,离散型随机变量分布列的求法,属于中档题.‎ ‎21.设函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当时,对任意恒成立,求整数的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)当时,在内单调递增;当时,在上单调递增;在上单调递减.(Ⅱ)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据解析式求得导函数,讨论与两种情况,结合一元二次方程的根即可由导函数符号判断函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)将代入解析式,并代入不等式分离参数,构造函数,求得,在令,由即可证明在单调递增,再根据零点存在定理可知存在唯一的,使得,进而由单调性求得 ‎,整理化简后可得,即可得整数的最大值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)函数的定义域为,‎ ‎, ‎ 当时,恒成立,所以在内单调递增. ‎ 当时,由得,‎ ‎,,且 在区间内,在区间内. ‎ 综上可得,当时,在内单调递增;‎ 当时,在上单调递增;在上单调递减.‎ ‎(Ⅱ)将代入函数解析式,可求得,‎ 代入不等式可得,即对任意恒成立,‎ 令,只需. ‎ ‎,‎ 令,,所以在单调递增,‎ 显然有,,所以存在唯一的,使得 ‎.‎ 在,,,单调递减;‎ 在,,,单调递增.‎ 所以,‎ 此时,可得,‎ 所以,‎ 因为,所以, ‎ 所以整数的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了由导数判断含参数的函数单调性,分类讨论思想的综合应用,分离参数并构造函数分析函数的单调性与最值,零点存在定理的应用,综合性强,化简过程较为繁琐,属于难题.‎ ‎22.已知函数(其中).‎ ‎(Ⅰ)当时,证明:当时,;‎ ‎(Ⅱ)若有两个极值点.‎ ‎(i)求实数的取值范围;‎ ‎(ii)证明:.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(i)(ii)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)将代入解析式,并求得导函数及,由求得极值点并判断出单调性,并根据单调性可求得的最小值,由即可证明在上单调递增,从而由即可证明不等式成立;‎ ‎(Ⅱ)(i)由极值点意义可知有两个不等式实数根,分离参数可得,构造函数,并求得,分类讨论的符号及单调情况,即可确定的最小值,进而由函数图像的交点情况确定的取值范围;‎ ‎(ii)由(i)中的两个交点可得,代入解析式并求得且令 ‎,分离参数可得并代入中,求得,从而证明在上单调递增,即可由单调性证明不等式成立.‎ ‎【详解】(Ⅰ)当时,,‎ ‎,‎ 由解得 . ‎ 当时,当时 ‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎,‎ 恒成立, ‎ 所以在上单调递增,‎ 所以,‎ 原不等式得证. ‎ ‎(Ⅱ)(i)若有两个极值点,则有两个根,又显然不是方程的根,所以方程有两个根. ‎ 令,‎ ‎,‎ 当时,,且,单调递减;‎ 当时,,单调递减;当时,,单调递增; ‎ ‎,且,,‎ 用直线截此图象,所以当,‎ 即时满足题意. ‎ ‎(ii)证明:由(i)知,, ‎ ‎∴,则,‎ ‎,所以在上单调递增,‎ 所以,‎ 即.‎ 原题得证.‎ ‎【点睛】本题考查了由导数证明不等式成立,导数与函数单调性、极值点和最值的综合应用,分离参数法与构造函数法的综合应用,函数极值点与零点、函数图像交点的关系,综合性强,属于难题.‎
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