山东省威海市文登区2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

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高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时间120分钟，共150分． ‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 注意事项：‎ 每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎1.已知复数是纯虚数，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据纯虚数定义，可求得的值；代入后可得复数，再根据复数的除法运算即可求得的值.‎ ‎【详解】复数是纯虚数，‎ 则，解得，‎ 所以，‎ 则，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎2.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求得函数的解析式，再根据导数的除法运算法则即可求解.‎ ‎【详解】函数，‎ 令，则，‎ 所以，‎ 则，‎ 由导数除法运算法则可得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了换元法求函数解析式，导数除法法则的简单计算，属于基础题.‎ ‎3.某单位为了解用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了统计表：由表中数据得到线性回归方程，那么表中的值为（ ）‎ 气温（℃）‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎-1‎ 用电量（度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎64‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表中数据计算可得样本中心点，根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得的值.‎ ‎【详解】由表格可知，‎ ‎，‎ 根据回归直线经过样本中心点，‎ 代入回归方程可得，‎ 解得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的简单应用，由回归方程求数据中的参数，属于基础题.‎ ‎4.给出下列四个命题：①若，则；②若，且，则；③若复数满足，则；④若，则在复平面内对应的点位于第一象限.其中正确的命题个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘方运算，结合特殊值即可判断①；由复数性质，不能比较大小可判断②；根据复数的除法运算及模的求法，可判断③；由复数的乘法运算及复数的几何意义可判断④.‎ ‎【详解】对于①，若，则错误，如当时 ，所以①错误；‎ 对于②，虚数不能比较大小，所以②错误；‎ 对于③，复数满足，即，所以，即③正确；‎ 对于④，若，则，所以，在复平面内对应点的坐标为，所以④正确；‎ 综上可知，正确的为③④，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的几何意义与运算的综合应用，属于基础题.‎ ‎5.已知函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式，结合指数幂与对数的运算，即可化简求解.‎ ‎【详解】函数 ‎ 则，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的求值，指数幂与对数式的运算应用，属于基础题.‎ ‎6.若展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据最大项系数可得的值，结合二项定理展开式的通项，即可得有理项及有理项的个数.‎ ‎【详解】展开式中只有第四项的系数最大，‎ 所以，‎ 则展开式通项为，‎ 因为，所以当时为有理项，‎ 所以有理项共有4项，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了二项定理展开式系数的性质，二项定理展开式通项的应用，有理项的求法，属于基础题.‎ ‎7.如图所示，圆为正三角形的内切圆，为切点，将一颗豆子随机地扔到该正三角形内，在已知豆子落在圆内的条件下，豆子落在（阴影部分）内的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正三角形的边长为，内切圆半径为，求得内切圆半径，即可得阴影部分的面积；再求得三角形的面积，结合几何概型的求法即可得解.‎ ‎【详解】设正三角形的边长为，内切圆半径为，‎ 则由三角形面积公式可得，‎ 解得，‎ 则，‎ 所以由几何概型概率可得落在阴影部分的概率为,‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了等边三角形内切圆的性质应用，几何概型概率求法，属于基础题.‎ ‎8.在的展开式中，记项的系数为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，表示出展开式的项对应次数，由二项式定理展开式的性质即可求得各项对应的系数，即可求解.‎ ‎【详解】由题意记项的系数为，可知对应的项为；对应的项为；对应的项为；对应的项为；‎ 而展开式中项的系数为；‎ 对应的项的系数为；‎ 对应的项的系数为;‎ 对应的项的系数为;‎ 所以 ‎，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理展开式及性质的简单应用，属于基础题.‎ ‎9.已知定义在上的函数与函数有相同的奇偶性和单调性，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断的奇偶性及单调性，即可由为奇函数性质及单调性解不等式，结合定义域即可求解.‎ ‎【详解】函数，定义域为；‎ 则，即为奇函数，‎ ‎，‎ 函数在内单调递减，由复合函数的单调性可知在内单调递减，‎ 由题意可得函数为在内单调递减的奇函数，‎ 所以不等式变形可得，‎ 即，‎ 则，解不等式组可得，即，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，对数型复合函数单调性性质应用，由奇偶性及单调性解抽象不等式，注意定义域的要求，属于中档题.‎ ‎10.要将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先将四人分成三组，再分别分给三个班级即可求得总安排方法；若甲被安排到A班，则分甲单独一人安排到A班和甲与另外一人一起安排到A班两种情况讨论，即可确定甲被安排到A班的所有情况，即可求解.‎ ‎【详解】将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中，要求每个班级至少分到一人，‎ 则将甲、乙、丙、丁名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有种方法，分配给三个班级的所有方法有种；‎ 甲被分到A班，有两种情况：一，甲单独一人分到A班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有种；二，甲和另外一人分到A班，则剩余两个班级各1人，共有种；‎ 综上可知，甲被分到班的概率为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分组时注意重复情况的出现，属于中档题.‎ ‎11.已知奇函数在上是单调函数，函数是其导函数，当时，，则使成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式变形，并构造函数，利用导函数可判断在时的取值情况；根据奇函数性质，即可判断当时的符号，进而得解.‎ ‎【详解】当时，，即；‎ 令，‎ 则，‎ 由题意可知，即在时单调递减，且，‎ 所以当时，，由于此时，则不合题意；‎ 当时，，由于此时，则不合题意；‎ 由以上可知时，‎ 而是上的奇函数，‎ 则当时，恒成立，‎ 所以使成立的的取值范围为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，利用构造函数法分析函数单调性，奇函数性质解不等式，属于中档题.‎ ‎12.已知函数的定义域为，若对于，分别为某三角形的三边长，则称为“三角形函数”.给出下列四个函数：‎ ‎①②③④.其中为“三角形函数”的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据构成三角形条件，可知函数需满足，由四个函数解析式，分别求得其值域，即可判断是否满足不等式成立.‎ ‎【详解】根据题意，对于，分别为某三角形的三边长，由三角形性质可知需满足：‎ 对于①，，如当时不能构成三角形，所以①不是“三角形函数”；‎ 对于②，，则，满足，所以②是“三角形函数”；‎ 对于③，，则，当时不能构成三角形，所以③不是“三角形函数”；‎ 对于④，，由指数函数性质可得，满足 ‎，所以④是“三角形函数”；‎ 综上可知，为“三角形函数”的有②④，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，函数值域的求法，三角形构成的条件应用，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 注意事项：‎ 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．在试题卷上答题无效．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排列数计算公式可求得，结合组合数的性质即可化简求值.‎ ‎【详解】根据排列数计算公式可得，，‎ 所以，‎ 化简可解得，‎ 则由组合数性质可得 ‎，‎ 故答案为：462.‎ ‎【点睛】本题考查了排列数公式的简单应用，组合数性质的综合应用，属于基础题.‎ ‎14.已知复数满足方程，则的最小值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为的最小值.‎ ‎【详解】复数满足方程，‎ 设（），‎ 则，在复平面内轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；‎ ‎，意义为圆上的点到的距离，‎ 由点与圆的几何性质可知，的最小值为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题.‎ ‎15.有一个容器，下部分是高为的圆柱体，上部分是与圆柱共底面且母线长为的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆柱底面圆的半径为，分别表示出圆柱和圆锥的体积，利用导数求得极值点，并判断在极值点左右两侧的单调性，即可求得函数的最大值，即为容器的最大容积.‎ ‎【详解】设圆柱底面圆的半径为，‎ 圆柱体的高为，则圆柱的体积为；‎ 圆锥的高为，则圆锥的体积，‎ 所以该容器的容积为 则 ‎，‎ 令，即，‎ 化简可得，解得，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以当时，取得最大值；‎ 代入可得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了导数在体积最值问题中的综合应用，圆柱与圆锥的体积公式应用，属于中档题.‎ ‎16.已知函数为偶函数，对任意满足，当时，.若函数至少有个零点，则实数的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数性质及解析式满足的条件，可知的对称轴和周期，并由时的解析式，画出函数图像；根据导数的几何意义，求得时的解析式，即可求得的临界值，进而确定的取值范围.‎ ‎【详解】函数至少有个零点，由 可得函数为偶函数，对任意满足，则函数图像关于对称，‎ 函数为周期的周期函数，当时，，‎ 则的函数图像如下图所示：‎ 由图像可知，‎ 根据函数关于轴对称可知，若在时至少有两个零点，则满足至少有个零点，即在时至少有两个交点；‎ 当与相切时，满足有两个交点；‎ 则，设切点为，‎ 则，解方程可得，‎ 由导数的几何意义可知，‎ 所以满足条件的的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点的应用，方程与函数的综合应用，根据导数求函数的交点情况，数形结合法求参数的取值范围，属于难题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知二次函数的值域为，且，. ‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设二次函数的解析式为，根据题意可得关于的方程组，解方程组即可求得的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将的解析式代入，并构造函数，根据复合函数单调性的性质，即可得知在上为单调递增函数.根据二次函数的对称性及对数函数定义域要求即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设，由题意知.‎ 则，解得， ‎ 所以的解析式为. ‎ ‎（Ⅱ）由题意知，‎ 令，则为单调递减函数，所以在上是单调递增函数. ‎ 对称轴为，所以，解得. ‎ 因为，即，解得. ‎ 综上：实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的性质及解析式的求法，对数型复合函数单调性的性质应用，注意对数函数定义域的要求，属于基础题.‎ ‎18.第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取 人进行了问卷调查，其中男、女生各人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：‎ ‎（Ⅰ）将得分不低于分的称为“A类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，从“A类”调查对象中抽取人，设被抽到的女生人数为，求的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下列联表.完成列联表，并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关？‎ 不是“A类”调查对象 是“A类”调查对象 总计 男 女 总计 附参考公式与数据：，其中.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析，没有 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由茎叶图可知得分不低于分的人数及男女分别各几人，可知的可能取值为，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.‎ ‎（Ⅱ）根据数据完成列联表，结合公式即可求得观测值，与临界值作比较即可进行判断.‎ ‎【详解】（Ⅰ）人中得分不低于分的一共有人，其中男性人，女性人. ‎ 所以的可能取值为. ‎ 则，，‎ ‎，. ‎ 所以的分布列为 所以. ‎ ‎（Ⅱ）‎ 不是“A类”调查对象 是“A类”调查对象 合计 男 女 合计 所以， ‎ 因为，所以没有的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.‎ ‎19.设函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）8（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据二项定理展开式展开，即可确定对应项的系数，即可求解.‎ ‎（Ⅱ）代入值后可求得的解析式，经过检验可知点不在曲线上，即可设切点坐标为，代入曲线方程并求得，由导数的几何意义及两点间斜率公式，可得方程，且由题意可知该方程有三个不同的实数根；分离参数并构造函数，进而求得，令求得极值点和极值，由直线截此图象有三个交点即可确定的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）根据二项式定理展开式的应用，展开可得 所以 ‎（Ⅱ）由题意 ‎ 因为点不在曲线上，所以可设切点为．‎ 则．因为，所以切线斜率为． ‎ 则，即． ‎ 因为过点可作曲线的三条切线，‎ 所以方程有三个不同的实数解． ‎ 分离参数， ‎ 设函数，‎ 所以，‎ 令，可得，‎ 令，解得或，‎ 所以在单调递增，在单调递减．‎ 所以极大值为，极小值为. ‎ 用直线截此图象，‎ 当两图象有三个交点，‎ 即时，即可作曲线的三条切线.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理展开式的简单应用，两点间斜率公式及导数的几何意义应用，分离参数及构造函数研究三次函数性质的综合应用，属于中档题.‎ ‎20.《山东省高考改革试点方案》规定：从年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；年开始，高考总成绩由语数外门统考科目成绩和物理、化学等六门选考科目成绩构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布．‎ ‎（Ⅰ）求化学原始分在区间的人数；‎ ‎（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取人，求这人中至少有人成绩在的概率；‎ ‎（III）若小明同学选择物理、化学和地理为选考科目，其中物理、化学成绩获得等的概率都是，地理成绩获得等的概率是，且三个科目考试的成绩相互独立.记表示小明选考的三个科目中成绩获得等的科目数，求的分布列. ‎ ‎（附：若随机变量，则，， ）‎ ‎【答案】（Ⅰ）1227人（Ⅱ）（III）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据正态分布的区间及对称性质，利用原则及数据即可得化学原始分在区间的概率，进而求得改区间内的人数；‎ ‎（Ⅱ）先求得再区间内学生所占比例，即可得随机抽取1人成绩在该区间的概率，由独立重复试验的概率公式，即可求得人中至少有人成绩在改区间的概率；‎ ‎（III）根据题意可知随机变量的可能取值为. 根据所给各科目获得等的概率，由独立事件的乘法公式可得各可能取值对应的概率，即可得分布列.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为化学考试原始分基本服从正态分布，即，‎ 所以 ‎，所以化学原始分在区间的人数为人. ‎ ‎（Ⅱ）由题意得，位于区间内所占比例为，‎ 所以随机抽取人，其成绩在内概率为， ‎ 所以随机抽取人，相当于进行次独立重复试验. 设这人中至少有人成绩在 为事件，则. ‎ ‎（III）随机变量的可能取值为. ‎ 则，‎ ‎， ，‎ ‎. ‎ 所以的分布列为 ‎【点睛】本题考查了正态分布曲线的性质及综合应用，独立重复试验概率的求法，独立事件概率乘法公式的应用，离散型随机变量分布列的求法，属于中档题.‎ ‎21.设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，对任意恒成立，求整数的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，在内单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.（Ⅱ）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据解析式求得导函数，讨论与两种情况，结合一元二次方程的根即可由导函数符号判断函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）将代入解析式，并代入不等式分离参数，构造函数，求得，在令，由即可证明在单调递增，再根据零点存在定理可知存在唯一的，使得，进而由单调性求得 ‎，整理化简后可得，即可得整数的最大值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎， ‎ 当时，恒成立，所以在内单调递增. ‎ 当时，由得，‎ ‎，，且 在区间内，在区间内. ‎ 综上可得，当时，在内单调递增；‎ 当时，在上单调递增；在上单调递减.‎ ‎（Ⅱ）将代入函数解析式，可求得，‎ 代入不等式可得，即对任意恒成立，‎ 令，只需. ‎ ‎，‎ 令，，所以在单调递增，‎ 显然有，，所以存在唯一的，使得 ‎.‎ 在，，，单调递减；‎ 在，，，单调递增.‎ 所以，‎ 此时，可得，‎ 所以，‎ 因为，所以， ‎ 所以整数的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了由导数判断含参数的函数单调性，分类讨论思想的综合应用，分离参数并构造函数分析函数的单调性与最值，零点存在定理的应用，综合性强，化简过程较为繁琐，属于难题.‎ ‎22.已知函数（其中）．‎ ‎（Ⅰ）当时，证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）若有两个极值点.‎ ‎（i）求实数的取值范围；‎ ‎（ii）证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（i）（ii）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将代入解析式，并求得导函数及，由求得极值点并判断出单调性，并根据单调性可求得的最小值，由即可证明在上单调递增，从而由即可证明不等式成立；‎ ‎（Ⅱ）（i）由极值点意义可知有两个不等式实数根，分离参数可得，构造函数，并求得，分类讨论的符号及单调情况，即可确定的最小值，进而由函数图像的交点情况确定的取值范围；‎ ‎（ii）由（i）中的两个交点可得，代入解析式并求得且令 ‎，分离参数可得并代入中，求得，从而证明在上单调递增，即可由单调性证明不等式成立.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，，‎ ‎，‎ 由解得 . ‎ 当时，当时 ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 恒成立， ‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，‎ 原不等式得证. ‎ ‎（Ⅱ）（i）若有两个极值点，则有两个根，又显然不是方程的根，所以方程有两个根. ‎ 令，‎ ‎，‎ 当时，，且，单调递减；‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ‎ ‎，且，，‎ 用直线截此图象，所以当，‎ 即时满足题意. ‎ ‎（ii）证明：由（i）知，， ‎ ‎∴，则，‎ ‎，所以在上单调递增，‎ 所以，‎ 即.‎ 原题得证.‎ ‎【点睛】本题考查了由导数证明不等式成立，导数与函数单调性、极值点和最值的综合应用，分离参数法与构造函数法的综合应用，函数极值点与零点、函数图像交点的关系，综合性强，属于难题.‎