2020高中数学 课时分层作业10 等差数列的性质 新人教A版必修5

2020高中数学 课时分层作业10 等差数列的性质 新人教A版必修5

- 1 - 课时分层作业(十) 等差数列的性质 (建议用时：40 分钟) [学业达标练] 一、选择题 1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5 的值为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 A [由等差数列的性质，得 a1＋a9＝2a5， 又∵a1＋a9＝10，即 2a5＝10， ∴a5＝5.] 2．数列{an}满足 3＋an＝an＋1 且 a2＋a4＋a6＝9，则 log6(a5＋a7＋a9)的值是( ) 【导学号：91432156】 A．－2 B．－1 2 C．2 D.1 2 C [∵an＋1－an＝3， ∴{an}为等差数列，且 d＝3. a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3， a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36， ∴log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.] 3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则 a7＝( ) A．5 B．8 C．10 D．14 B [由等差数列的性质可得 a1＋a7＝a3＋a5＝10，又 a1＝2，所以 a7＝8.] 4．已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0)，且 a3＋a6＋a10＋a13＝32，若 am＝8，则 m 等于( ) 【导学号：91432157】 A．8 B．4 C．6 D．12 A [因为 a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以 a8＝8，即 m＝8.] 5．下列说法中正确的是( ) A．若 a，b，c 成等差数列，则 a2，b2，c2 成等差数列 B．若 a，b，c 成等差数列，则 log2a，log2b，log2c 成等差数列 C．若 a，b，c 成等差数列，则 a＋2，b＋2，c＋2 成等差数列 - 2 - D．若 a，b，c 成等差数列，则 2a,2b,2c 成等差数列 C [因为 a，b，c 成等差数列，则 2b＝a＋c， 所以 2b＋4＝a＋c＋4，即 2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)， 所以 a＋2，b＋2，c＋2 成等差数列．] 二、填空题 6．若三个数成等差数列，它们的和为 9，平方和为 59，则这三个数的积为________. 【导学号：91432158】 －21 [设这三个数为 a－d，a，a＋d， 则 a－d＋a＋a＋d＝9， a－d 2＋a2＋ a＋d 2＝59. 解得 a＝3， d＝4 或 a＝3， d＝－4. ∴这三个数为－1,3,7 或 7,3，－1. ∴它们的积为－21.] 7．若 a，b，c 成等差数列，则二次函数 y＝ax2－2bx＋c 的图象与 x 轴的交点的个数为________． 1 或 2 [∵a，b，c 成等差数列，∴2b＝a＋c， ∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0. ∴二次函数 y＝ax2－2bx＋c 的图象与 x 轴的交点个数为 1 或 2.] 8．在通常情况下，从地面到 10 km 高空，高度每增加 1 km，气温就下降某一个固定数值．如 果 1 km 高度的气温是 8.5 ℃，5 km 高度的气温是－17.5 ℃，则 2 km,4 km,8 km 高度的气温分 别为________、________、________. 【导学号：91432159】 2 ℃ －11 ℃ －37 ℃ [用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则 a1＝8.5， a5＝－17.5，由 a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得 d＝－6.5，∴an＝15－6.5n. ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即 2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为 2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.] 三、解答题 9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． [解] ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5. 又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9， 即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得 d＝±2. 若 d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3； 若 d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n. - 3 - 10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2，首末两项的积为－8，求这四个数. 【导学号：91432160】 [解] 设这四个数为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为 2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即 a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1 或 d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以 d>0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. [冲 A 挑战练] 1．已知等差数列{an}满足 a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( ) A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51 C [根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于 a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以 a51＝0，又因为 a3＋a99＝2a51＝0，故选 C.] 2．在等差数列{an}中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则 a9－1 3 a11 的值为( ) 【导学号：91432161】 A．14 B．15 C．16 D．17 C [设公差为 d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120， ∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－1 3 a11＝(a8＋d)－1 3 (a8＋3d)＝2 3 a8＝16.] 3．若 m≠n，两个等差数列 m，a1，a2，n 与 m，b1，b2，b3，n 的公差分别为 d1 和 d2，则d1 d2 的值 为________． 4 3 [n－m＝3d1，d1＝1 3 (n－m)． 又 n－m＝4d2，d2＝1 4 (n－m)． ∴d1 d2 ＝ 1 3 n－m 1 4 n－m ＝4 3 .] 4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列， 上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共为 4 升，则第 5 节的容积为________升． - 4 - 67 66 [设自上而下各节的容积构成的等差数列为 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9. 则 a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3， 7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4， 解得 a1＝13 22 ， d＝ 7 66 ， 故 a5＝a1＋4d＝67 66 .] 5．两个等差数列 5,8,11，…和 3,7,11，…都有 100 项，那么它们共有多少相同的项？ 【导学号：91432162】 [解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11， 又等差数列 5,8,11，…的通项公式为 an＝3n＋2， 等差数列 3,7,11，…的通项公式为 bn＝4n－1. 所以数列{cn}为等差数列，且公差 d＝12，① 所以 cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1. 又 a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302，② 得 n≤251 4 ，可见已知两数列共有 25 个相同的项．