2021高考数学一轮复习专练27平面向量的数量积及其应用含解析理新人教版

2021高考数学一轮复习专练27平面向量的数量积及其应用含解析理新人教版

专练27　平面向量的数量积及其应用 命题范围：平面向量的数量积及其几何意义、平面向量数量积的应用 ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为60°，向量m＝5e1－2e2，则|m|＝(　　)‎ A. B. C．2 D．7‎ ‎2．已知向量a＝(2,3)，b＝(x,1)，且a⊥b，则实数x的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎3．[2019·全国卷Ⅱ]已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)‎ A．－3 B．－2‎ C．2 D．3‎ ‎4．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(‎2a－b)＝(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．0‎ ‎5．已知向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．5‎ ‎6．[2020·山东济南高三测试]已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A．4 B．－4‎ C. D．－ ‎7．[2020·湖南五校联考]已知x>0，y>0，a＝(x,1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则＋的最小值为(　　)‎ A．4 B．9‎ D．8 D．10‎ ‎8．[2019·全国卷Ⅰ]已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．[2020·唐山摸底]已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为，则|e1＋e2|＝(　　)‎ A．1 B. C．1或 D．2‎ 二、填空题 ‎10．[2020·湖北武汉调研]已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，若tb－a与a垂直，则实数t＝________.‎ ‎11．[2020·全国卷Ⅰ]设a，b为单位向量，且︱a＋b︱＝1，则︱a－b︱＝________.‎ ‎12．[2020·湖南长沙市高三测试]已知向量b为单位向量，向量a＝(1,1)，且|a－b|＝，则向量a，b的夹角为________．‎ ‎[能力提升]‎ ‎13．[2020·衡水一中高三测试]△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝‎2a，＝‎2a＋b，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(‎4a＋b)⊥ ‎14．[2020·华中师大附中高三测试]若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC一定是(　　)‎ A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎15．[2020·全国卷Ⅱ]已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.‎ ‎16．[2020·江西师大附中高三测试]已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.‎ 专练27　平面向量的数量积及其应用 ‎1．A　|m|＝＝＝＝.‎ ‎2．B　∵a⊥b，∴2x＋3＝0，∴x＝－.‎ ‎3．C　本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．‎ 因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.‎ ‎4．B　a·(‎2a－b)＝‎2a2－a·b＝2－(－1)＝3.‎ ‎5．A　∵|a＋b|＝，∴a2＋b2＋‎2a·b＝10①，‎ 又|a－b|＝，∴a2＋b2－‎2a·b＝6②，‎ ‎①－②得‎4a·b＝4，∴a·b＝1.‎ ‎6．B　∵n⊥(tm＋n)，∴tm·n＋n2＝0，‎ ‎∴t|m||n|cos〈m·n〉＋n2＝0，‎ ‎∴×t＋1＝0，得t＝－4.‎ ‎7．B　依题意，得a·b＝x＋y－1＝0⇒x＋y＝1.＋＝＋＝5＋＋≥9，当且仅当x＝，y＝时取等号．故选B.‎ ‎8．B　本题主要考查平面向量的垂直、平面向量的夹角，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．‎ 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈(0，π)，∴α＝.故选B.‎ ‎9．C　设e1与e2的夹角为θ，(e1＋λe2)2＝e＋λ2e＋2λe1e2＝λ2＋2λcosθ＋1，又λ∈R，∴当λ＝－cosθ时(e1－λe2)2取得最小值，∴cos2θ－2cos2θ＋1＝1－cos2θ＝，∴cos2θ＝，cosθ＝±，∴|e1＋e2|＝＝，当cosθ＝时，|e1＋e2|＝，当cosθ＝－时，|e1＋e2|＝1.‎ ‎10．2‎ 解析：由已知可得a·b＝1××＝1.因为tb－a与a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，即t－2＝0，故t＝2.‎ ‎11. 解析：由|a＋b|＝1，得|a＋b|2＝1，即a2＋b2＋‎2a·b＝1，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝－，|a－b|＝＝＝＝.‎ ‎12. 解析：因为|a－b|＝，所以2－‎2a·b＋2＝6，∴a·b＝－，‎ ‎∴向量a与b的夹角θ满足cosθ＝－＝－，又0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎13．D　∵b＝－，∴|b|＝2，故A不正确；‎ 又·＝2×2×cos60°＝2，即：－‎2a·b＝2，a·b＝－1，故B，C都不正确；∵(‎4a＋b)·＝(‎4a＋b)·b＝‎4a·b＋b2＝－4＋4＝0，‎ ‎∴(‎4a＋b)⊥，故D正确．‎ ‎14．B　因为(－)·(＋－2)＝0，所以·(＋)＝0，即(－)·(＋)＝0，2＝2，||＝||，即△ABC是等腰三角形；故选B.‎ ‎15. 解析：因为(ka－b)·a＝ka2－a·b＝0，且单位向量a，b的夹角为45°，所以k－＝0，即k＝.‎ ‎16. 解析：a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝11－9×＝8，‎ 又|a|＝＝＝3，‎ ‎|b|＝＝＝＝2，‎ ‎∴cosβ＝＝＝