【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第56讲排列与组合学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第56讲排列与组合学案

第56讲　排列与组合 考试说明 1.理解排列的概念及排列数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题.‎ ‎2.理解组合的概念及组合数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题.‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 排列与组合 排列与组合 ‎2017全国卷Ⅱ6,2016全国卷Ⅲ12‎ ‎★☆☆‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎1.[2017·全国卷Ⅱ 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 (　　)‎ A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 ‎[解析 D　把4项工作分成3组,分法为种,再分配给3名志愿者,分配方法有种,故不同的安排方式共有·=36(种).‎ ‎2.[2016·全国卷Ⅲ 定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有‎2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意 ≤‎2m,a1,a2,…,a 中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有 (　　)‎ A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 ‎[解析 C　∵a1,a2,…,a8中0的个数不少于1的个数,∴a1=0,a8=1.先排定中间三个1,当三个0在一起时排法种数为,当三个0不相邻时排法种数为,当三个0分成两组时排法种数为+,∴不同的“规范01数列”共有+++=14(个).‎ ‎■ [2017-2016 其他省份类似高考真题 ‎1.[2016·四川卷 用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为 (　　)‎ A.24 B.48‎ C.60 D.72‎ ‎[解析 D　由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是1,3,5.分为两步:先从1,3,5三个数中选一个作为个位数,有种方法;再将剩下的4个数字排列,有种方法.则满足条件的五位数有·=72(个).‎ ‎2.[2017·天津卷 用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有　　　　个.(用数字作答) ‎ ‎[答案 1080‎ ‎[解析 满足条件的四位数有两种情况:一是没有一个数字是偶数的四位数;二是正好有一个数字是偶数的四位数.故共有+=1080(个).‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.一定的顺序 ‎2.不同排列　n(n-1)(n-2)…(n-m+1)　不同组合　‎ 对点演练 ‎1.24　[解析 相当于从4个不同元素中选出3个元素的排列数,即为=24.‎ ‎2.36　[解析 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则不同的选法共有=36(种).‎ ‎3.30　[解析 若甲、乙两人中只有一人发言,则有=20(种)方法;若甲、乙均发言,则有=10(种)方法.所以不同的选派方法共有20+10=30(种).‎ ‎4.350　[解析 分两类:第一类,取2台原装计算机与3台组装计算机,有种方法;第二类,取3台原装计算机与2台组装计算机,有种方法.所以满足条件的不同取法有+=350(种).‎ ‎5.56　[解析 8个小球排好后对应着8个位置,题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红色小球,剩下的位置给白色小球,因为这3个红色小球完全相同,5个白色小球完全相同,所以没有顺序,是组合问题,共有=56(种)不同的排列方法.‎ ‎6.576　[解析 将6个人全排列的方法数减去甲、乙、丙全相邻的方法数,就得到甲、乙、丙3人不同时相邻的排法数,即-=576. ‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 (1)因为A与B相邻,且A与C之间恰好有1名同 ,故可以分两类考虑:B在A与C之间;B不在A与C之间.‎ ‎(2)本题中有“在”或“不在”等限制条件,对这种特殊元素或位置应优先考虑,然后排列其他一般元素或位置,对不相邻问题,先把不受限制的元素排列好,再把特定元素插在它们之间或两端的空当中.‎ ‎(1)B　(2)A　[解析 (1)当A,C之间为B时,将3人看成一个整体与剩余2人进行排列,共有·=12(种)排法;当A,C之间不是B时,先在A,C之间插入D,E中的任意一个,然后B在A的另一侧,再将这4人看成一个整体,与剩余1人进行排列,共有··=8(种)排法.所以共有20种不同的排法.‎ ‎(2)四位男演员互不相邻可用插空法,有种排法,其中女演员甲站在两端的排法有2种,因此所求排法种数为-2.故选A.‎ 变式题　(1)C　(2)D　[解析 (1)由题得,甲不是第一,乙不是最后.先排乙:乙得第一,共有=24(种)可能;乙没得第一,有3种可能,再排甲也有3种可能,余下的3人有=6(种)可能,共有6×3×3=54(种)可能.所以共有24+54=78(种)可能.‎ ‎(2)甲、乙分得的电影票连号有4×2=8(种)分法,其余3人有种分法,所以共有8=48(种)分法,故选D.‎ 例2　[思路点拨 (1)由题可知,每一套出场阵容中有且仅有1名中锋,至少包含1名控球后卫,故有两类出场方案:①中锋1名,控球后卫1名;②中锋1名,控球后卫2名.‎ ‎(2)思路一,从12张中任取3张的取法种数减去3张为同一种颜色和2张为蓝色的取法种数;思路二,分没有蓝色卡片和只有1张蓝色卡片两类. ‎ ‎(1)B　(2)C　[解析 (1)有两类出场方案:①中锋1名,控球后卫1名,有=16(种)出场阵容;②中锋1名,控球后卫2名,有=12(种)出场阵容.共计28种选择方案,故选B.‎ ‎(2)方法一:从所有卡片中任取3张,共有种取法,其中3张卡片为同一种颜色的取法有4种,2张卡片为蓝色的取法有种,所以所求取法共有-4-=189(种).‎ 方法二:①抽取的卡片中没有蓝色卡片时,有3×3×3+×3×2=81(种)取法;②抽取的卡片中有1张是蓝色卡片时,有3××3×3+3××3=108(种)取法.所以共有81+108=189(种)取法.‎ 变式题　(1)C　(2)16　[解析 (1)利用间接法求解.从六 中选考三 的选法有种,其中包括了没选物理、化 、生物三 中任意一 与没选政治、历史、地理三 中任意一 ,这两种选法均有种,因此选考方法有-2=18(种).‎ ‎(2)把5名新生分配给甲、乙两个班,每个班分配的新生不少于2名,共有=20(种)分配方案,其中甲班都是男生的情况共有+=4(种),所以,甲班至少分配1名女生,不同的分配方案种数为20-4=16,故答案为16.‎ 例3　[思路点拨 思路一,首先将12名同 平均分成四组,然后分配到四个不同的课题组,并在每一个课题组中选出1名组长,最后利用分步乘法计数原理完成;思路二,从第一组开始,从12名同 中选3名同 ,第二、三、四组依次从余下的同 中选3名,再在每一个课题组中选出1名组长,最后利用分步乘法计数原理完成.‎ B　[解析 方法一:首先将12名同 平均分成四组,有种分法,然后将这四组同 分配到四个不同的课题组,有种分法,并在各组中选出1名组长,有34种选法,根据分步乘法计数原理,满足条件的不同分配方案有··34=34(种),故选B.‎ 方法二:根据题意可知,第一组分3名同 有种分法,第二组分3名同 有种分法,第三组分3名同 有种分法,第四组分3名同 有种分法.第一组选1名组长有3种选法,第二组选1名组长有3种选法,第三组选1名组长有3种选法,第四组选1名组长有3种选法.根据分步乘法计数原理可知,满足条件的不同分配方案有34种,故选B.‎ 例4　[思路点拨 考虑按1,1,3与1,2,2两种情况对5名教师进行分组,然后再分派要改编的三种题型.‎ A　[解析 由题设可分如下两类:‎ ‎①若分成1,1,3的情况,则有=60(种)分派方法;‎ ‎②若分成1,2,2的情况,则有=90(种)分派方法.由分类加法计数原理可得共有+=60+90=150(种)分派方法,应选A.‎ 例5　[思路点拨 事实上,本题可转化为把6把椅子分为三组,一组1把、一组2把、一组3把,并分别安排出相应坐法.‎ C　[解析 把6把椅子分为三组,一组1把、一组2把、一组3把,分三步完成:第一步,只有1把的一组为最北面的椅子,只有1种坐法;第二步,有2把的一组有4种分法,有4种坐法;第三步,余下的3把为一组,有种坐法.因此不同的坐法有4=48(种),故选C.‎ 强化演练 ‎1.C　[解析 将四本书平均分给甲、乙两位同 ,共有=6(种)不同的分法,A,B两本书不被同一位同 分到,则有=4(种)不同的分法,所以所求概率为=,故选C.‎ ‎2.1560　[解析 先将6位机关干部分成四组,有(1,1,1,3)和(1,1,2,2)两种情况,所以不同的分配方案共有+·=65×24=1560(种).‎ ‎3.105　[解析 根据题意,分3步进行分析:①在7人中选出4人,将其分到甲 校,有=35(种)选法;②在剩余3人中选出2人,将其分到乙 校,有=3(种)选法;③将剩下的1人分到丙 校,有1种选法.则一共有35×3=105(种)分配方案.‎ ‎4.36　[解析 把A,B两名党员看作一个整体,五名党员就被看成了四个部分,每个村子至少有一名党员,则把四个部分分成三组,共有种分法,再把这三组分配到三个村子,有种不同的分法,根据分步乘法计数原理,不同的分配方法种数为×=36.‎ ‎5.54　[解析 第一类,把甲、乙看作一个整体,和另外的3名教师分配到3个小组,有=18(种)分法;第二类,先把另外的3名教师分配到3个小组,再把甲、乙分配到其中2个小组,有=36(种)分法.根据分类加法计数原理可得,共有18+36=54(种)不同的带队方案.‎ ‎【备选理由】例1是站队排列问题,涉及特殊元素特殊位置;例2是组合问题,注重考查直接法和间接法思考问题的不同;例3是整体均匀分组分配问题;例4是不均匀分组分配问题的应用.‎ ‎1　[配合例1使用 (1)七名同 站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两名同 要站一起,则不同的站法有 (　　)‎ A.240种 B.192种 C.120种 D.96种 ‎(2)有六个人站成一排,甲、乙两人都站在丙的同侧的不同站法有　　　　种. ‎ ‎[答案 (1)B　(2)480‎ ‎[解析 (1)不妨令乙、丙在甲左侧,先排乙、丙两人,有2种站法,再令一人站在甲左侧,有种站法,余下三人站在甲右侧,有种站法,考虑到乙、丙在甲右侧的站法,故总的站法种数是2×2=192.‎ ‎(2)分为三种情况:①当丙在第1位或第6位时,共有2×=240(种);②当丙在第2位或第5位时,共有2×·=144(种);③当丙在第3位或第4位时,共有2(·+·)=96(种).故不同的站法共有240+144+96=480(种).‎ ‎2　[配合例2使用 从六个盒子中选出三个来装东西,且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有 (　　)‎ A.16种 B.18种 C.22种 D.37种 ‎[解析 A　方法一:间接法.从六个盒子中任选三个的选法种数减去甲、乙两个盒子一个都不选的选法种数,即-=16为所求,故选A.‎ 方法二:直接法.分两类:第一类,甲、乙两个只选一个的选法有=12(种);第二类,甲、乙两个都被选中的选法有=4(种).所以满足条件的选法有16种.‎ ‎3　[配合例3使用 将来自四个班级的8名同 (每班2名同 )平均分配到四个不同的小区进行社会调查,则恰好有两个小区分配到的2名同 来自同一班级的分配方案有 (　　)‎ A.48种 B.72种 C.144种 D.288种 ‎[解析 D　分两步完成:①将8名同 分为符合条件的四组,先选两个班的同 分别为一组,余下的4名同 交叉分为两组,共有2种分法;②将分好的四组分配到四个小区去调查,有种分法.所以满足条件的分配方案有2=288(种).‎ ‎4　[配合例5使用 当行驶的6辆军车行驶至A处时,接到上级紧急通知,这6辆军车立即沿B,C两路分开纵队行驶,要求B,C每路至少有2辆但不多于4辆车,则这6辆军车不同的行驶方案种数是 (　　)‎ A.50 B.1440‎ C.720 D.2160‎ ‎[解析 D　事实上是将6辆军车分为两组分开行驶,B,C两路军车分开行驶的车辆数为2,4或3,3或4,2.由于军车是互不相同的,排列是有顺序的,当B,C两路行驶的车辆数为2,4或4,2时,方案种数都为,当B,C两路行驶的车辆数为3,3时,方案种数为,所以这6辆军车不同的行驶方案种数为2+=2160,故选D.‎