2020年全国新高考数学Ⅰ卷试卷【word版；可编辑；含答案】
2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷
一、选择题
1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2
n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m=n>0，则C是圆，其半径为n
C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±-mnx
D.若m=0, n>0，则C是两条直线
10.如图是函数y=sinωx+φ的部分图像，则sinωx+φ=()
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A.sinx+π3 B.sinπ3-2x C.cos2x+π6 D.cos5π6-2x
11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则()
A.a2+b2≥12 B.2a-b>12
C.log2a+log2b≥-2 D.a+b≤2
12.信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的取值为1，2，⋯，n，且P(X=i)=pi>0(i=1,2,⋯,n)，i=1npi=1，定义X的信息熵HX=-i=1npilog2pi，则()
A.若n=1，则HX=0
B.若n=2，则HX随着pi的增大而增大
C.若pi=1ni=1,2,…,n，则HX随着n的增大而增大
D.若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，⋯，m，且PY=j=pj+p2m+1-j(j=1,2,⋯,m)，则HX≤HY
三、填空题
13.斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=________.
14.将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为________.
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1，则图中阴影部分的面积为________cm2.
16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60∘，以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.
四、解答题
17.在①ac=3，②csinA=3，③c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=3sinB，C=π6，________？
18.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
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(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
21.已知函数fx=aex-1-lnx+lna.
(1)当a=e时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若fx≥1，求a的取值范围.
22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，且过点A(2,1).
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.
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参考答案与试题解析
2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷
一、选择题
1.C
2.D
3.C
4.B
5.C
6.B
7.A
8.D
二、多选题
9.A,C,D
10.B,C
11.A,B,D
12.A,C
三、填空题
13.163
14.3n2-2n
15.5π2+4
16.2π2
四、解答题
17.解：选①：∵sinA=3sinB，C=π6，ac=3，
∴sin56π-B=3sinB，
∴12cosB+32sinB=3sinB，
∴sinπ6-B=0，∴B=π6.
又∵C=π6，∴b=c.
由正弦定理可得：a=3b，
又ab=3
解得a=3, b=1，
∴c=1，
故满足条件存在△ABC；
选②：sinA=3sinB，C=π6，csinA=3.
∵csinA=3，∴asinC=3，
∴a=6.
由正弦定理可得：a=3b，
∴b=23，
∴c2=a2+b2-2abcosC
=36+12-243×32=12，
∴c=23，
∴B=π6，A=23π，
故满足条件存在△ABC；
选③：c=3b，sinA=3sinB，C=π6，
由①可知，B=π6，
故△ABC为等腰三角形c=b，又c=3b，矛盾.
故不存在△ABC满足条件．
18.解：(1)由题意可知{an}为等比数列，
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a2+a4=20，a3=8，
可得a3q+a3q=20，
得2q2-5q+2=0，
(2q-1)(q-2)=0.
∵q>1，
∴q=2，
∵a1×q2=a3，
可得a1=2，
∴{an}的通项公式为：
an=2×2n-1=2n.
(2)∵bm为{an}在(0,m](m∈N*)中的项的个数，
当m=2k时，bm=k，
当m∈[2k-1,2k)时，bm=k-1，其中k∈N+.
可知S100=b1+(b2+b3)
+(b4+b5+b6+b7)
+(b8+b9+⋯+b15)
+(b16+b17+⋯+b31)
+(b32+b33+⋯+b63)
+(b64+b65+⋯+b100)
=0+1×2+2×4+3×8
+4×16+5×32+6×37
=480.
19.解：(1)根据抽查数据，
该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为：
32+18+6+8=64，
因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，
且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100=0.64.
(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：
(3)根据(2)的列联表得
K2=100×(64×10-16×10)280×20×74×26≈7.484，
由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.
20.(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，
故BC⊥CD.
又因为PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC，
又由于PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC.
因为在正方形ABCD中BC//AD，
且AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
故BC//平面PAD.
又因为BC⊂平面PBC，
且平面PAD与平面PBC的交线为l，
故BC//l.
因此l⊥平面PDC.
(2)解：由已知条件，P-ABCD底面为正方形，
PD⊥底面ABCD，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
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建立D-xyz空间直角坐标系，如图所示：
因为PD=AD=1，Q在直线l上，
设Qa,0,1，其中a∈R，
由题意得，D0,0,0，C0,1,0，B1,1,0，P0,0,1，
则PB→=1,1,-1，DC→=0,1,0，DQ→=a,0,1，
设平面QCD法向量为n→=(x,y,z)，
则n→⋅DC→=0，n→⋅DQ=0,得y=0,ax+z=0,
令z=-a，
则平面QCD的一个法向量为：n→=1,0,-a，
设PB与平面QCD成角为θ，
则sinθ=|cos|
=|1+a|3×1+a2
=13×(1+a)21+a2
=33×1+2a1+a2，
①若a=0，则sinθ=33，
②若a≠0，则sinθ=33×1+21a+a，
a>0时，
∵1a+a≥2×1a⋅a=2，
当且仅当1a=a，即a=1时，$``="$成立，
∴sinθ≤33×1+22=63.
当a<0时，sinθ<33，
∴当a=1时，sinθ=63取到最大值．
综上所述，PB与平面QCD成角的正弦值的最大值为63.
21.解：(1)当a=e时，fx=ex-lnx+1，
f'x=ex-1x，
∴k=f'1=e-1，f1=e+1，
∴y-e+1=e-1x-1，
即y=e-1x+2，
∴在y轴上的截距为2，在x轴的截距为21-e，
∴S=12×2×|21-e|=2e-1.
(2)①当00，
所以当x=1时，fx取得最小值，
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最小值为f1=1，从而fx≥1；
③当a>1时，
fx=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.
综上，a的取值范围是[1,+∞).
22.(1)解：由题设得4a2+1b2=1，
a2-b2a2=12，
解得a2=6，b2=3.
∴C的方程为x26+y23=1.
(2)证明：设M(x1,y1)，N(x2,y2).
若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为
y=kx+m，代入x26+y23=1得
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.
于是x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-61+2k2.①
由AM⊥AN知AM→⋅AN→=0，
故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0，可得
(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0，
将①代入上式可得
(k2+1)2m2-61+2k2-(km-k-2)4km1+2k2+(m-1)2+4=0，
整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0，
因为A(2,1)不在直线MN上，
所以2k+m-1≠0，
故2k+3m+1=0，k≠1，
于是MN的方程为y=k(x-23)-13(k≠1)，
所以直线MN过点P(23,-13).
若直线MN与x轴垂直，可得N(x1,-y1).
由AM→⋅AN→=0得
(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.
又x126+y123=1，
可得3x12-8x1+4=0，
解得x1=2(舍去)，x1=23，
此时直线MN过点P(23,-13).
令Q为AP的中点，即Q(43,13).
若D与P不重合，则由题设知
AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|=12|AP|=223.
若D与P重合，则|DQ|=12|AP|.
综上，存在点Q(43,13)，使得|DQ|为定值.
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