2020高中数学 第一章排列与排列数公式

2020高中数学 第一章排列与排列数公式

第1课时　排列与排列数公式 学习目标：1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．排列的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．‎ ‎2．相同排列的两个条件 ‎(1)元素相同．‎ ‎(2)顺序相同．‎ 思考：如何理解排列的定义？‎ ‎[提示]　可从两个方面理解：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素相同，②元素的排列顺序也相同．‎ ‎3．排列数与排列数公式 排列数定 义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示 全排列的概念 n个不同元素全部取出的一个排列 阶乘的概念 把n·(n－1)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘 排列数公式 A＝n(n－1)…(n－m＋1)‎ 阶乘式A＝(n，m∈N*，m≤n)‎ 特殊情况 A＝n！，1！＝1,0！＝1‎ 思考：排列与排列数有何区别？‎ ‎[提示]　“一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列． (　　)‎ 6‎ ‎(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题． (　　)‎ ‎(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题． (　　)‎ ‎(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题． (　　)‎ ‎(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题． (　　)‎ ‎[解析]　(1)×　因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同．‎ ‎(2)√　因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．‎ ‎(3)×　因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．‎ ‎(4)√　因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．‎ ‎(5)√　因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎2．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有(　　)‎ A．3种　　　　　　　　　 B．4种 C．6种 D．12种 C　[由排列定义得，共有A＝6种排列方法．]‎ ‎3．90×91×92×…×100可以表示为(　　)‎ A．A B．A C．A D．A B　[由排列数公式得原式为A，故选B.]‎ ‎4．A＝________，A＝________. ‎ ‎【导学号：95032026】‎ ‎12　6　[A＝4×3＝12；A＝3×2×1＝6.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 排列的概念 ‎　判断下列问题是否为排列问题．‎ ‎(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；‎ ‎(2)选2个小组分别去植树和种菜；‎ ‎(3)选2个小组去种菜；‎ ‎(4)选10人组成一个学习小组；‎ ‎(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；‎ ‎[思路探究]‎ 6‎ ‎　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．‎ ‎[解]　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．‎ ‎(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．‎ ‎(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．‎ ‎(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．‎ 所以在上述各题中(2)(5)属于排列问题．‎ ‎[规律方法]‎ ‎1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．‎ ‎2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．判断下列问题是否是排列问题 ‎(1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？‎ ‎(2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？‎ ‎[解]　(1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好．有多少个排列就有多少封信，共有A＝12封信．‎ ‎(2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话．‎ 排列的简单应用 ‎　写出下列问题的所有排列．‎ ‎(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？‎ ‎(2)写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法.‎ ‎ 【导学号：95032027】‎ ‎[解]　(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．‎ ‎(2)如图所示的树形图：‎ 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种．‎ 6‎ ‎[规律方法]　在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．(1)A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为(　　)‎ A．3种　　　　　　　 B．4种 C．6种 D．12种 ‎(2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．‎ ‎(1)C　(2)12　[(1)所有的排法有：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种．‎ ‎(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示．‎ 故符合题意的机票种类有：‎ 北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．]‎ 排列数公式的推导与应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？‎ ‎[提示]　从这4个数字中选出2个能构成A＝4×3＝12个无重复数字的两位数；若选出3个能构成A＝4×3×2＝24个无重复数字的三位数．‎ ‎2．由探究1知A＝4×3＝12，A＝4×3×2＝24，你能否得出A的意义和A的值？‎ ‎[提示]　A的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，‎ an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A＝n(n－1)．‎ ‎3．你能写出A的值吗？有什么特征？若m＝n呢？‎ ‎[提示]　A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)．‎ ‎(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数；‎ 6‎ ‎(2)全排列：当m＝n时，即n个不同元素全部取出的一个排列．‎ 全排列数：A＝n(n－1)(n－2)·…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．‎ 另外，我们规定0！＝1.‎ 所以A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝＝.‎ ‎　(1)计算：；(2)求证：A－A＝mA. ‎ ‎【导学号：95032028】‎ ‎[思路探究]：(1)合理选用排列数的两个公式进行展开．‎ ‎(2)提取公因式后合并化简．‎ ‎[解]　(1) ‎＝ ‎＝＝1.‎ ‎(2)证明：∵A－A＝－ ‎＝ ‎＝·＝m·＝mA.‎ ‎∴A－A＝mA.‎ ‎[规律方法]　 排列数的计算方法 ‎1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．‎ ‎2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．求‎3A＝‎4A中的x.‎ ‎[解]　原方程‎3A＝‎4A可化为＝，‎ 即＝，‎ 化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.‎ 由题意知解得x≤8.‎ 6‎ 所以原方程的解为x＝6.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．已知下列问题：‎ ‎①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；‎ ‎②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；‎ ‎③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；‎ ‎④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．‎ 其中是排列问题的有(　　)‎ A．1个　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 B　[①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．]‎ ‎2．4×5×6×…×(n－1)×n等于(　　)‎ ‎ 【导学号：95032029】‎ A．A B．A C．(n－4)! D．A D　[4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，‎ 故4×5×6×…×(n－1)×n＝A.]‎ ‎3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种．‎ ‎120　[利用排列的概念可知不同的分配方法有A＝120种．]‎ ‎4．A－‎6A＋‎5A＝________.‎ ‎120　[原式＝A－A＋A＝A＝5×4×3×2×1＝120.]‎ ‎5．计算：；‎ ‎[解]　法一：＝＝＝.‎ 法二：＝＝＝＝.‎ 6‎