2020高中数学 课时分层作业9 定积分的概念 新人教A版选修2-2

2020高中数学 课时分层作业9 定积分的概念 新人教A版选修2-2

课时分层作业(九)　定积分的概念 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．下列结论中成立的个数是(　　)‎ A．0　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ C　[由定积分的概念可知②③正确，①错误，故选C.]‎ ‎2．关于定积分a＝ (－2)dx的叙述正确的是(　　)‎ A．被积函数为y＝2，a＝6‎ B．被积函数为y＝－2，a＝6‎ C．被积函数为y＝－2，a＝－6‎ D．被积函数为y＝2，a＝－6‎ C　[由定积分的概念可知，被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义可知a＝－6.故选C.]‎ ‎3．变速直线运动的物体的速度为v(t)≥0，初始t＝0时所在位置为s0，则当t1秒末它所在的位置为(　　)‎ B　[由位移是速度的定积分，同时不可忽视t＝0时物体所在的位置，故当t1秒末它所在的位置为s0＋∫t10v(t)dt.]‎ ‎4．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则 [‎2f(x)＋g(x)]dx＝(　　) ‎ ‎【导学号：31062085】‎ A．2 B．－3‎ C．－1 D．4‎ C　[ [‎2f(x)＋g(x)]dx＝‎2‎f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.]‎ 6‎ ‎5．若f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于(　　)‎ A．0 B．4‎ C．8 D．16‎ D　[∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．]‎ 二、填空题 ‎6．若 [f(x)＋g(x)]dx＝3， [f(x)－g(x)]dx＝1，则 [‎2g(x)]dx＝________.‎ ‎[解析]　 [‎2g(x)]dx＝ [(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]dx＝ [f(x)＋g(x)]dx－ [f(x)－g(x)]dx ‎＝3－1＝2.‎ ‎[答案]　2‎ ‎7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________. ‎ ‎【导学号：31062086】‎ ‎[解析]　如图所示，阴影部分的面积可 ‎[答案]　 ‎ ‎8．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为__________km.‎ ‎[解析]　以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．‎ ‎[答案]　66‎ 三、解答题 6‎ ‎9．已知，求下列定积分的值．‎ ‎(1) (2x＋x2)dx；(2) (2x2－x＋1)dx.‎ ‎[解]　(1) (2x＋x2)dx ‎＝2xdx＋x2dx ‎＝2×＋＝e2＋.‎ ‎(2) (2x2－x＋1)dx＝‎ ‎2x2dx－xdx＋1dx，‎ 因为已知，‎ 又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，‎ 所以1dx＝1×e＝e，‎ 故 (2x2－x＋1)dx ‎＝2×－＋e＝e3－e2＋e.‎ ‎10．利用定积分的几何意义求下列定积分．‎ ‎(1) dx；(2) (2x＋1)dx；‎ ‎(3) (x3＋3x)dx.‎ ‎ 【导学号：31062087】‎ ‎[解]　(1)曲线y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图①所示．‎ 其面积为S＝·π·32＝π.‎ 由定积分的几何意义知dx＝π.‎ 6‎ ‎(2)曲线f(x)＝2x＋1为一条直线. (2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图②.‎ 其面积为S＝(1＋7)×3＝12.‎ 根据定积分的几何意义知 ‎ (2x＋1)dx＝12.‎ ‎(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，‎ ‎∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知 (x3＋3x)dx＝0.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．已知f(x)＝x3－x＋sin x，则f(x)dx的值为(　　)‎ A．等于0 B．大于0‎ C．小于0 D．不确定 A　[由题意知f(x)为奇函数，由奇函数的性质有 f(x)dx＝－f(x)dx，而f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝0.]‎ ‎2．与定积分|sin x|dx相等的是(　　)‎ 6‎ C　[当x∈(0，π]时，sin x≥0；‎ 当x∈时，sin x＜0.‎ ‎∴由定积分的性质可得 ‎3．定积分dx的值为________. 【导学号：31062088】‎ ‎[解析]　因为y＝，‎ 所以(x－1)2＋y2＝1，它表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．定积分dx就是该圆的面积的四分之一，所以定积分dx＝.‎ ‎[答案]　 ‎4．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时，第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________m.‎ ‎[解析]　由题意知，所求路程为直线x＝1，x＝2，y＝0与y＝3x＋2所围成的直角梯形的面积，故s＝×(5＋8)×1＝6.5(m)．‎ ‎[答案]　6.5‎ ‎5．如图155所示，抛物线y＝x2将圆x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为＋，‎ 求. ‎ ‎【导学号：31062089】‎ 6‎ 图155‎ ‎[解]　解方程组 得x＝±2.‎ ‎∴阴影部分的面积为 ‎.‎ ‎∵圆的面积为8π，‎ ‎∴由几何概型可得阴影部分的面积是 ‎8π·＝2π＋.‎ 由定积分的几何意义得，‎ ‎＝π＋.‎ 6‎