2016年浙江省六校联考高考模拟试卷数学理

2016年浙江省六校联考高考模拟试卷数学理

2016 年浙江省六校联考高考模拟试卷数学理 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的四个选项中，只有一项 是符合要求的. 1.已知集合 A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则 A∩B=( ) A.(1，3) B.(1，4) C.(2，3) D.(2，4) 解析：因为 A={x|x2-4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，所以 A∩B={x|2＜x＜3}. 答案：C 2.已知直线 l1：(3+m)x+4y=5-3m 与 l2：2x+(5+m)y=8，则“l1∥l2”是“m=-7”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：∵“l1∥l2”，直线 l1：(3+m)x+4y=5-3m 与 l2：2x+(5+m)y=8， 分别化为：y= 3 5 3 44 mmx   ，y= 28 55xmm . ∴ 32 45 m m    ， 5 3 8 45 m m    ，解得：m=-7.则“l1∥l2”是“m=-7”的充要条件. 答案：C 3.已知空间两条不同的直线 m，n 和平面α，则下列命题中正确的是( ) A.若 m⊥α，n∥α，则 m⊥n B.若 m⊥α，n⊥α，则 m⊥n C.若 m∥α，n∥α，则 m∥n D.若 m  α，n∥α，则 m∥n 解析：A.若 m⊥α，因为 n∥α，所以必有 m⊥n，所以 A 正确. B.垂直于同一个平面的两条直线平行，所以 B 错误. C.若 m∥α，n∥α，则根据平行于同一个平面的两条直线位置关系不确定，所以 C 错误. D.若 m  α，n∥α，由于直线 m，n 不一定在一个平面内，所以 m，n 不一定平行.所以 D 错 误. 答案：A 4.将函数 y=sin(4x+ 3  )的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移 6  个单位， 得到的函数的图象的一个对称中心为( ) A.( 2  ，0) B.( 4  ，0) C.( 9  ，0) D.( 16  ，0) 解析：将函数 y=sin(4x+ 3  )的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，可得函数 y=sin(2x+ )的图象， 再向右平移 6  个单位，得到函数 y=sin[2(x- 6  )+ ]=sin2x 的图象. 令 2x=kπ，可得 x= 2 k  ，k∈z. 故所得函数的对称中心为( ，0)，k∈z. 答案：A 5.等差数列{an}的公差为 d，关于 x 的不等式 dx2+2a1x≥0 的解集为[0，9]，则使数列{an}的 前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：∵关于 x 的不等式 dx2+2a1x≥0 的解集为[0，9]， ∴0，9 分别是一元二次方程 dx2+2a1x≥0 的两个实数根，且 d＜0. ∴ 12 a d =9，可得：2a1+9d=0，∴a1= 9 2 d .∴an=a1+(n-1)d=(n- 11 2 )d， 可得：a5=- 1 2 d＞0，a6= d＜0..∴使数列{an}的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是 5. 答案：B. 6.已知 O 为坐标原点，双曲线 22 22 xy ab =1(a＞0，b＞0)的右焦点 F，以 OF 为直径作圆交双曲 线的渐近线于异于原点 O 的两点 A、B，若 ( AO + AF )·OF =0，则双曲线的离心率 e 为( ) A.2 B.3 C. 2 D. 3 解析：设 OF 的中点为 C，则 AO + AF =2 AC ， 由题意得， 1 2 AC · =0，∴AC⊥OF，∴AO=AF， 又 c=OF，OA：y= b a x，A 的横坐标等于 C 的横坐标 2 c ， 所以 A( 2 c ， 2 bc a )，且 AO= 2 2 c， AO2= 222 244 c b c a ，所以 a=b，则双曲线的离心率 e 为 22 2cab aa . 答案：C. 7.设 m 为不小于 2 的正整数，对任意 n∈Z，若 n=qm+r(其中 q，r∈Z，且 0≤r＜m)，则记 fm(n)=r，如 f2(3)=1，f3(8)=2，下列关于该映射 fm：Z→Z 的命题中，不正确的是( ) A.若 a，b∈Z，则 fm(a+b)=fm(a)+fm(b) B.若 a，b，k∈Z，且 fm(a)=fm(b)，则 fm(ka)=fm(kb) C.若 a，b，c，d∈Z，且 fm(a)=fm(b)，fm(c)=fm(d)，则 fm(a+c)=fm(b+d) D.若 a，b，c，d∈Z，且 fm(a)=fm(b)，fm(c)=fm(d)，则 fm(ac)=fm(bd) 解析：根据题意，fm(n)=r 表示的意义是 n 被 m 整除所得的余数 r； ∴对于 A，当 m=3，a=4，b=5 时，f3(4+5)=0， f3(4)=1，f3(5)=2，f3(4+5)≠f3(4)+f3(5)；∴A 错误； 对于 B，当 fm(a)=m(b)时，即 a=q1m+r，b=q2m+r，∴ka=kq1m+kr，kb=kq2m+kr， 即 fm(ka)=fm(kb)；∴B 正确； 对于 C，当 fm(a)=fm(b)，fm(c)=fm(d)时，即 a=q1m+r1，b=q2m+r1， c=p1m+r2，d=p2m+r2， ∴a+c=(q1+p1)m+(r1+r2)，b+d=(q2+p2)m+(r1+r2)， 即 fm(a+c)=fm(b+d)；∴C 正确； 对于 D，当 fm(a)=fm(b)，fm(c)=fm(d)时， 即 a=q1m+r1，b=q2m+r1，c=p1m+r2，d=p2m+r2， ∴ac=q1p1m2+(r2q1+r1p1)m+r1r2，bd=q2p2m2+(r2q2+r1p2)m+r1r2， 即 fm(ac)=fm(bd)；∴D 正确. 答案：A 8.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2，CD=4，BC= 5 ，点 E，F 分别为 AD，BC 的中点.如果 对于常数λ，在等腰梯形 ABCD 的四条边长，有且只有 8 个不同的点 P，使得 PE · PF =λ 成立，那么λ的取值范围是( ) A.(- 5 4 ，- 9 20 ) B.(- 9 20 ， 11 4 ) C.(- 9 20 ，- 1 4 ) D.(- 5 4 ， ) 解析：以 DC 所在直线为 x 轴，DC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系， 则梯形的高为  2 25 1 =2，∴A(-1，2)，B(1，2)，C(2，0)，D(-2，0)，∴E(- 3 2 ，1)， F( ，1). (1)当 P 在 DC 上时，设 P(x，0)(-2≤x≤2)，则 PE =(- -x，1)， PF =( -x，1). 于是 PE · PF =(- -x)( -x)+1=x2- 5 4 =λ， ∴当λ=- 时，方程有一解，当- ＜λ≤ 时，λ有两解； (2)当 P 在 AB 上时，设 P(x，2)(-1≤x≤1)，则 PE=(- -x，-1)PF=( -x，-1). 于是 · =(- -x)( -x)+1=x2- =λ， ∴当λ=- 时，方程有一解，当- ＜λ≤- 1 4 时，λ有两解； (3)当 P 在 AD 上时，直线 AD 方程为 y=2x+4， 设 P(x，2x+4)(-2＜x＜-1)，则 =(- -x，-2x-3)， =( -x，-2x-3). 于是 · =(- -x)( -x)+(-2x-3)2=5x2+12x+ 27 4 =λ. ∴当λ=- 9 20 或- ＜λ＜ 9 4 时，方程有一解，当- ＜λ＜- 时，方程有两解； (4)当 P 在 BC 上时，直线 BC 的方程为 y=-2x+4， 设 P(x，-2x+4)(1＜x＜2)，则 PE=(- -x，2x-3)PF=( -x，2x-3). 于是 · =(- -x)( -x)+(2x-3)2=5x2-12x+ =λ. ∴当λ=- 或- ＜λ＜ 时，方程有一解，当- ＜λ＜- 时，方程有两解； 综上，若使梯形上有 8 个不同的点 P 满足 PE · PF =λ成立， 则λ的取值范围是(- 5 4 ， 11 4 ]∩(- ，- 1 4 ]∩(- 9 20 ，- )∩(- ，- )=(- ，- ). 答案：C. 二、填空题：本大题共小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分 9.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ，表面积为 . 解析：由三视图可知几何体为圆锥的 1 2 ，底面半径为 1，高为 2.母线为 5 . ∴几何体的体积 V= × 1 3 ×π×12×2= 3  . 几何体的表面积 S= π×12+ ×2×2+ ×π×1× =2+ 1 2 5 π. 答案： ，2+1 2 5 π. 10.已知 f(x)= 3 sin 2 x cos -cos2 ，则 f(x)的最小正周期为 ，单调递减区间 为 . 解析：由三角函数公式化简可得： f(x)= 3 2 ·2sin cos - 1 2 (1+cosx)= sinx- 1 2 cosx- =sin(x- 6  )- ， ∴f(x)的最小正周期为 T=2π， 令 2kπ+ 2  ＜x- ＜2kπ+ 3 2  可解得 2kπ+ 2 3  ＜x＜2kπ+ 5 3  ， ∴函数的单调递减区间为(2kπ+ 2 3  ，2kπ+ )k∈Z， 答案：2π；(2kπ+ 2 3  ，2kπ+ )k∈Z. 11.设函数 f(x)= 2 1 2 82 (]24 []x x xx     ， ，， ， ，， 则 f(log23)= ，若 f(f(t))∈[0，1]，则实数 t 的取值范围是 . 解析：f(log23)= 2l o g 32 =3， 画出函数 f(x)的图象，如图示： 若 f(x)=0，x=4，若 f(x)=1，则 2x=1 或 8-2x=1，解得：x=0 或 x= 7 2 ， ∴只需 72 2 782 2 t t     ， 即可，解得： 2l o g 7 2 ≤t≤ 9 4 ，t=4 时：f(4)=0，f(0)=1. 答案：[ ， ]或 4. 12.动直线 l：(3λ+1)x+(1-λ)y+6-6λ=0 过定点 P，则点 P 的坐标为(0，-6)(0，-6)，若 直线 l 与不等式组 0 0 22 x y xy      ， ， 表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 . 解析：由(3λ+1)x+(1-λ)y+6-6λ=0 得：λ(3x-y-6)+(x+y+6)=0， 由 360 60 xy xy    ，得 0 6 x y    ， ，即直线恒过定点 P(0，-6). 作出不等式组对应的平面区域如图： 当 1-λ=0 时，λ=1，此时直线方程为 x=0，满足直线和平面区域有公共点， 当λ≠1 时，直线方程为 y= 3 1 6 6 11x   ， 则满足直线的斜率 k＞0，且点 A(1，0)在直线的下方或在直线上， 即 31 1     ＞0 且 y≤ ， 即 ＞0①且 0≤ ×1+ 6673 11    ，②即由①得λ＞1 或λ＜- 1 3 ， 由②得 1≤λ≤73， 由①②得 1≤λ≤ 7 3 ， 答案：(0，-6)；1≤λ≤ 7 3 13.在△ABC 中，点 D 满足 BD = 2 3 BC ，点 E 是线段 AD 上的一动点，(不含端点)，若 BE AB AC，则 1   = . 解析：∵ = ，∴ 3 2BCBD ，∴ 3 2ACBCBABDAB ， ∴ ()( 2 )33 2BE AB ACABBDBABD       . ∵A，D，E 三点共线，∴-λ-μ+ 3 2  =1，∴λ+1= 2  .∴ 1 2 1    . 答案： 1 2 . 14.如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 为正方形边上的动点，现将△ADE 所在平面沿 AE 折起，使点 D 在平面 ABC 上的射影 H 在直线 AE 上，当 E 从点 D 运动到 C，再从 C 运动到 B， 则点 H 所形成轨迹的长度为 . 解析：由题意，在平面 AED 内过点 D 作 DH⊥AE，H 为垂足，由翻折的特征知，连接 D'H. 则∠D'HA=90°， 当 E 从点 D 运动到 C，再从 C 运动到 B，故 H 点的轨迹是以 AD'为直径的半圆弧， 根据边长为 2 的正方形 ABCD 知圆半径是 1， 所以其所对的弧长为π， 答案：π 15.设 a，b，c∈R，对任意满足|x|≤1 的实数 x，都有|ax2+bx+c|≤1，则|a|+|b|+|c|的最 大可能值为 . 解析：任意满足|x|≤1 的实数 x，都有|ax2+bx+c|≤1， 若 x=0，则|c|≤1， 可取 c=-1，b=0，可得|ax2-1|≤1， 由于 0≤x2≤1，可得 a 最大取 2， 可得|a|+|b|+|c|≤3，即有|a|+|b|+|c|的最大可能值为 3. 答案：3. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.如图所示，在四边形 ABCD 中，∠D=2∠B，且 AD=1，CD=3，cosB= 3 3 . (I)求△ACD 的面积； (Ⅱ)若 BC=2 3 ，求 AB 的长. 解析：(1)利用已知条件求出 D 角的正弦函数值，然后求△ACD 的面积； (2)利用余弦定理求出 AC，通过 BC=2 3 ，利用正弦定理求解 AB 的长. 答案：(Ⅰ)cosD=cos2B=2cos2B-1=- 1 3 ， 因为∠D∈(0，π)，所以 sinD= 22 3 ， 所以△ACD 的面积 S= 1 2 AD·CD·sinD= ×1×3× 22 3 = 2 . (Ⅱ)在△ACD 中，AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cosD=12，所以 AC=2 3 . 在△ABC 中，BC=2 3 ， sinsin ACAB BACB  ， 把已知条件代入并化简得： 3 ( 2 sinsin2 s) i3 n22 ABAB BBB ，所以 AB=4. 17.如图(1)，在等腰梯形 CDEF 中，CB，DA 是梯形的高，AE=BF=2，AB=2 2 ，现将梯形沿 CB，DA 折起，使 EF∥AB 且 EF=2AB，得一简单组合体 ABCDEF 如图(2)示，已知 M，N 分别为 AF，BD 的中点. (Ⅰ)求证：MN∥平面 BCF； (Ⅱ)若直线 DE 与平面 ABFE 所成角的正切值为 2 2 ，则求平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二 面角大小. 解析：(I)连结 AC，通过证明 MN∥CF，利用直线与平面平行的判定定理证明 MN∥平面 BCF. (II)先由线面垂直的判定定理可证得 AD⊥平面 ABFE，可知∠DEA 就是 DE 与平面 ABFE 所成 的角，解 Rt△DAE，可得 AD 及 DE 的长，分别以 AB，AP，AD 所在的直线为 x，y，z 轴建立 空间直角坐标系，求出平面 ADE 与平面 CDFE 的法向量，代入向量夹角公式，可得答案. 答案：(Ⅰ)连 AC， ∵四边形 ABCD 是矩形，N 为 BD 中点，∴N 为 AC 中点. 在△ACF 中，M 为 AF 中点，故 MN∥CF. ∵CF  平面 BCF，MN 平面 BCF，∴MN∥平面 BCF. (Ⅱ)依题意知 DA⊥AB，DA⊥AE 且 AB∩AE=A∴AD⊥平面 ABFE， ∴DE 在面 ABFE 上的射影是 AE. ∴∠DEA 就是 DE 与平面 ABFE 所成的角. 故在 Rt△DAE 中：tan∠DEA= 2 2 2 D A D A AE ，∴AD= 2 ，DE= 6 . 设 P∈EF 且 AP⊥EF，分别以 AB，AP，AD 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 A(0，0，0)，D(0，0， 2 )，E(- ， ，0)，F(3 ， ，0) ∴ AD =(0，0， )， AE =(- ， ，0)， DE =(- ， ，- )， DC =(2 ， 0，0) 设 m =(x，y，z)， n =(r，s，t)分别是平面 ADE 与平面 CDFE 的法向量 令 0 0 m A D m A E     ， ， 0 0 n D C n D E      ， ， 即 2 22 0 0 z xy     ， ， 20 2 0 2 22 x xyz     ， ， 取 m =(1，1，0)， n =(0，1，1)则 cos＜ ， ＞= · mn mn  = 1 2 . ∴平面 ADE 与平面 CDFE 所成锐二面角的大小为 3  . 18.已知函数 f(x)= 2 ax xb (a＞0，b＞1)，满足：f(1)=1，且 f(x)在 R 上有最大值 32 4 . (I)求 f(x)的解析式； (Ⅱ)当 x∈[1，2]时，不等式 f(x)≤  2 3 2 m x x m 恒成立，求实数 m 的取值范围. 解析(I)根据条件建立方程和不等式关系即可求 f(x)的解析式； (Ⅱ)求出 f(x)的解析式，将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可. 答案：(I)∵f(x)= 2 ax xb (a＞0，b＞1)，满足：f(1)=1， ∴f(1)= 1 a b =1，即 a=1+b，①f(x)= 22 a a a b bbx xx x    ， ∵f(x)在 R 上有最大值 .∴ 3 2 2 4 a b  .即 2a=3 2b ②， 由①②得 a=3，b=2，即 f(x)的解析式 f(x)= 2 3 2 x x  ； (Ⅱ)依题意，若 x∈[1，2]时有意义，则 m＞2 或 m＜1， 则当 x=1 时，不等式也成立，即 1≤ 3 3 1 1 mm mm ， 即 m≥|m-1|，平方得 m2≥m2-2m+1，得 m≥ 1 2 ， 当 x=2 时，不等式也成立，即 1≤ 3 66 m m ，即 m≥2|2-m|， 平方得 3m2-16m+16≤0，即 4 3 ≤m≤4，. 由 f(x)≤  2 3 2 m x x m ，得  2 2 33 2 2 xm x xxm   ， 即 x≤ m xm ，则|x-m|≤ m x ，即- m x ≤x-m≤ m x ，在 x∈[1，2]上恒成立. ①当 x=1 时，不等式成立，当 x≠1 时，m≤ 2 1 x x  ，则 m≤4 ②对于 m≥ ，x∈(1，2]上恒成立，等价为 m≥( )max， 设 t=x+1，则 x=t-1，则 t∈(2，3]， 则 2 1 x x  =   21t t  =t+ 1 t -2，在(2，3]上递增，则( 2 1 x x  )max= 4 3 ，则 m≥ . 综上实数 m 的取值范围是 2＜m≤4. 19.如图，椭圆 C1： 22 22 xy ab =1 (a＞b＞0)和圆 C2：x2+y2=b2，已知圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三等 分，且圆 C2 的面积为π.椭圆 C1 的下顶点为 E，过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2 相交于点 A，B，直线 EA，EB 与椭圆 C1 的另一个交点分别是点 P，M. (I)求椭圆 C1 的方程； (Ⅱ)求△EPM 面积最大时直线 l 的方程. 解析：(Ⅰ)由圆的面积公式可得 b=1，再由三等分可得 a=3，b=3，进而得到椭圆方程； (Ⅱ)由题意得：直线 PE，ME 的斜率存在且不为 0，PE⊥EM，不妨设直线 PE 的斜率为 k(k＞ 0)，则 PE：y=kx-1， 代入椭圆方程求得 P，M 的坐标，再由直线和圆方程联立，求得 A 的坐标，直线 AB 的斜率， 求得△EPM 的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值，进而得到所求直线的斜率，可 得直线方程. 答案：(Ⅰ)由圆 C2 的面积为π，得：b=1， 圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三等分，可得 a=3，b=3， 所以椭圆方程为： 2 2 19 x y； (Ⅱ)由题意得：直线 PE，ME 的斜率存在且不为 0，PE⊥EM， 不妨设直线 PE 的斜率为 k(k＞0)，则 PE：y=kx-1， 由 22 1 99 y k x xy    ， ， 得： 2 2 2 18 19 91 1 , 9 kx k ky k      或 0 1 x y    ， ， 所以 P( 2 18 91 k k  ， 2 2 91 91 k k   )，同理得 M( 2 18 9 k k   ， 2 2 9 9 k k   )， kPM= 2 1 10 k k  ， 由 22 1 1 y k x xy    ， ， 得 A( 2 2 1 k k ， 2 2 1 1 k k   )，所以：kAB= 2 1 2 k k  ， 所以 S△EPM= 1 2 |PE|·|EM|=  3 42 2 2 1162162 99 82 9 9 82 kkk k kk k k      ， 设 t=k+ 1 k ，则 S△EPM= 2 162 964 t t  = 162 649t t ≤ 27 8 ， 当且仅当 t=k+ = 8 3 时取等号，所以 k- =± 2 3 7 ， 则直线 AB：y= 2 1 2 11 2 k xkxkk  ()， 所以所求直线 l 方程为：y=± 7 3 x. 20.已知数列{an}满足：an+1= 1 2 (an+ 4 na )； (I)若 a3= 41 20 ，求 a1 的值； (Ⅱ)若 a1=4，记 bn=|an-2|，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，求证：Sn＜ 8 3 . 解析：(1)由数列{an}满足：an+1= 1 2 (an+ 4 na )，a3= 41 20 ，代入可得 a2，a1. (2)由 a1=4，an+1-2= 1 2 na (an-2)2＞0；可得 an＞2.an+1-an= 24 2 n n a a  ＜0，{an}为单调递减数列. 进而得到 an+1-2= 2 2 n n a a  (an-2)＜ 1 4 (an-2)，an-2≤( )n-1(a1-2)=2·( )n-1，即可得出. 答案：(1)∵数列{an}满足：an+1= 1 2 (an+ 4 na )，a3= 41 20 ， ∴ 2 2 4114 202 a a   ，解得 a2= 5 2 或 8 5 ； 当 a2= 时，解得 a1=1 或 4. 当 a2= 时，无解.∴a1=1 或 4. (2)∵a1=4，an+1-2= 1 2 na (an-2)2＞0；∴an＞2.∴an+1-an= 24 2 n n a a  ＜0， ∴{an}为单调递减数列.∴2＜an＜4，∴ 2 2 n n a a  = 1 24 11 na ＜ ， an+1-2= (an-2)＜ 1 4 (an-2)，∴an-2≤( 1 4 )n-1(a1-2)=2·( )n-1， ∴Sn=b1+b2+…+bn=(a1-2)+(a2-2)+…+(an-2)≤2+ 2 4 +2×( 1 4 )2+…+2×( 1 4 )n-1=2+ 2 3 [1-( )n] ＜ 8 3 .