2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练(十一)椭圆

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2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练(十一)椭圆

课时达标训练(十一) 椭圆 A组——大题保分练 ‎1.(2019·扬州期末)如图,在平面直角坐标系中,椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右顶点分别为A,B,线段AB的长为4.点P在椭圆M上且位于第一象限,过点A,B分别作l1⊥PA,l2⊥PB,直线l1,l2交于点C.‎ ‎(1)若点C的横坐标为-1,求点P的坐标;‎ ‎(2)设直线l1与椭圆M的另一个交点为Q,且=λ,求λ的取值范围.‎ 解:由题意得解得∴b2=a2-c2=3,‎ ‎∴椭圆M的方程是+=1且A(-2,0),B(2,0).‎ 法一:(1)设P(x0,y0),则kPA=,‎ ‎∵l1⊥PA,∴直线l1的方程为y=-(x+2).‎ 同理得直线l2的方程为y=-(x-2).‎ 联立方程,得解得 又==-y0,‎ ‎∴点C的坐标为.‎ ‎∵点C的横坐标为-1,∴x0=1,‎ 又P在椭圆M上,且位于第一象限,∴y0= =,‎ ‎∴点P的坐标为.‎ ‎(2)设Q(xQ,yQ),‎ ‎∵=λ,∴ 解得 ‎∵点Q在椭圆M上,∴+=1,‎ 得7x-36(λ-1)x0+72λ-100=0,解得x0=2(舍)或x0=.‎ ‎∵P在椭圆M上,且位于第一象限,∴0<<2,解得<λ<,∴λ的取值范围为.‎ 法二:(1)设AP的斜率为k,P(x0,y0),‎ ‎∵P在椭圆M上,且位于第一象限,∴0<k<.‎ ‎∵k·kBP=·=-.∴直线BP的斜率为-.‎ 联立方程,得解得 即P.‎ ‎∵l1⊥PA,∴kAC=-,则直线l1的方程为y=-(x+2),‎ ‎∵l2⊥PB,∴kBC=k,则直线l2的方程为y=k(x-2).‎ 由得 即C.‎ ‎∵点C的横坐标为-1,∴=-1,解得k=±.‎ ‎∵0<k<,∴k=,∴点P的坐标为.‎ ‎(2)设Q(xQ,yQ),C(xC,yC),‎ 由(1)得直线l1的方程为y=-(x+2),‎ 联立方程,得得(3k2+4)x2+16x+16-12k2=0,‎ 得xQ=,‎ ‎∵=λ,∴λ====1+,‎ ‎∵0<k<,∴λ∈,‎ ‎∴λ的取值范围为.‎ ‎2.(2019·苏北三市一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m,0)(m为常数,且m∈(0,2))的直线与椭圆C交于A,B两点,与l交于点P,D是弦AB的中点,直线OD与l交于点Q.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)试判断以PQ为直径的圆是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.‎ 解:(1)由题意,得解得所以a2=2,b2=1,‎ 所以椭圆C的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意,当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意,所以设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-m)(k≠0).‎ 又准线方程为x=2,‎ 所以P(2,k(2-m)),‎ 由得x2+2k2(x-m)2=2,‎ 即(1+2k2)x2-4k2mx+2k2m2-2=0,‎ xA,B=,xA+xB=,‎ 所以xD=·=,yD=k=-,‎ 所以kOD=-,‎ 从而直线OD的方程为y=-x,(也可用点差法求解)‎ 所以Q,‎ ‎ 所以以PQ为直径的圆的方程为(x-2)2+[y-k(2-m)]=0,‎ 即x2-4x+2+m+y2-y=0‎ 因为该式对任意k≠0恒成立,令y=0,得x=2±,‎ 所以以PQ为直径的圆经过定点(2±,0).‎ ‎3.(2018·南通、泰州一调)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,焦点到相应准线的距离为1.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若P为椭圆上的一点,过点O作OP的垂线交直线y=于点Q,求+的值.‎ 解:(1)由题意得解得 所以椭圆的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意知OP的斜率存在.‎ 当OP的斜率为0时,OP=,OQ=,‎ 所以+=1.‎ 当OP的斜率不为0时,设直线OP的方程为y=kx.‎ 由得(2k2+1)x2=2,解得x2=,‎ 所以y2=,所以OP2=.‎ 因为OP⊥OQ,所以直线OQ的方程为y=-x.‎ 由得x=-k,所以OQ2=2k2+2.‎ 所以+=+=1.‎ 综上,可知+=1.‎ ‎4.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,一个焦点到相应的准线的距离为3,圆N的方程为(x-c)2+y2=a2+c2(c为半焦距),直线l:y=kx+m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A,B.‎ ‎(1)求椭圆M的方程和直线l的方程;‎ ‎(2)试在圆N上求一点P,使=2.‎ 解:(1)由题意知解得a=2,c=1,所以b=,‎ 所以椭圆M的方程为+=1.‎ 圆N的方程为(x-1)2+y2=5,‎ 联立 消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,①‎ 因为直线l:y=kx+m与椭圆M只有一个公共点,‎ 所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0得m2=3+4k2, ②‎ 由直线l:y=kx+m与圆N只有一个公共点,‎ 得=,即k2+2km+m2=5+5k2,③‎ 将②代入③得km=1,④‎ 由②④且k>0,得k=,m=2.‎ 所以直线l的方程为y=x+2.‎ ‎(2)将k=,m=2代入①,可得A.‎ 又过切点B的半径所在的直线l′为y=-2x+2,所以得交点B(0,2),‎ 设P(x0,y0),因为=2,‎ 则=8,‎ 化简得7x+7y+16x0-20y0+22=0,⑤‎ 又P(x0,y0)满足x+y-2x0=4,⑥‎ 将⑤-7×⑥得3x0-2y0+5=0,即y0=.⑦‎ 将⑦代入⑥得13x+22x0+9=0,‎ 解得x0=-1或x0=-,‎ 所以P(-1,1)或P.‎ B组 ‎ ‎1.(2019·南通等七市二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2:+=1(a>b>0),C2与C1的长轴长之比为∶1,离心率相同.‎ ‎(1)求椭圆C2的标准方程;‎ ‎(2)设P为椭圆C2上一点.‎ ‎①射线PO与椭圆C1依次交于点A,B,求证:为定值;‎ ‎②过点P作两条斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,且直线l1,l2与椭圆C1均有且只有一个公共点,求证:k1·k2为定值.‎ 解:(1)设椭圆C2的焦距为2c,‎ 由题意,知a=2,=,a2=b2+c2.‎ 得b=,因此椭圆C2的标准方程为+=1.‎ ‎(2)证明:①1°当直线OP的斜率不存在时,‎ PA=-1,PB=+1,则==3-2.‎ ‎2°当直线OP的斜率存在时,设直线OP的方程为y=kx,‎ 代入椭圆C1的方程,消去y,得(4k2+1)x2=4.‎ 所以x=x=,同理x=,‎ 所以x=2x,由题意,知xP与xA同号,xA,xB互为相反数,‎ 所以xP=xA,xA=-xB,‎ 从而====3-2.‎ 所以=3-2,为定值.‎ ‎②设P(x0,y0),则直线l1的方程为y-y0=k1(x-x0),‎ 即y=k1x+y0-k1x0,‎ 记t=y0-k1x0,则l1的方程为y=k1x+t,‎ 代入椭圆C1的方程,消去y,得(4k+1)x2+8k1tx+4t2-4=0,‎ 因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点,‎ 所以Δ=(8k1t)2-4(4k+1)(4t2-4)=0,即4k-t2+1=0.‎ 将t=y0-k1x0代入上式,整理得,(x-4)k-2x0y0k1+y-1=0.‎ 同理可得,(x-4)k-2x0y0k2+y-1=0,‎ 所以k1,k2为关于k的方程(x-4)k2-2x0y0k+y-1=0的两根,‎ 从而k1·k2=.‎ 又点P(x0,y0)在椭圆C2:+=1上,所以y=2-x,‎ 所以k1·k2=-,为定值.‎ ‎2.(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点,离心率为,A,B分别是椭圆C的上、下顶点,M是椭圆C上异于A,B的一点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若点E在直线x-y+2=0上,且=3,求△EMA的面积;‎ ‎(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N,交y轴于点D,且D点在线段OA上(不包括端点O,A),直线NA与直线BM交于点P,求·的值.‎ 解:(1)因为椭圆C过点,离心率为,‎ 所以+=1,=1-e2=,解得a2=2,b2=1,‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由(1)知B(0,-1),设M(xM,yM),E(xE,yE).‎ 由=3,得(xE,yE+1)=3(xM,yM+1),‎ 则xE=3xM,yE=3yM+2.‎ 又点E在直线x-y+2=0上,所以yM=xM,①‎ 因为M在椭圆C上,所以+y=1,‎ 将①代入上式,得x=.‎ 所以|xM|=,从而|xE|=,‎ 所以S△EMA=S△EAB-S△MAB=×2×-×2×=.‎ ‎(3)法一:由(1)知,A(0,1),‎ 设D(0,m),0<m<1,M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 因为直线MN的斜率为1,所以直线MN的方程为y=x+m,‎ 联立,得消去y,得3x2+4mx+2m2-2=0,‎ 则x1,2=,‎ 所以x1+x2=-,x1·x2=.‎ 又直线MB的方程为y=x-1,直线NA的方程为y=x+1,‎ 所以易得yP=.‎ 将y1=x1+m,y2=x2+m代入,得 yP= ‎= ‎= ‎=.‎ 所以·=(0,m)·(xP,yP)=myP=m·=1.‎ 法二:由(1)知A(0,1),‎ 设M(x0,y0),则+y=1.‎ 因为直线MN的斜率为1,所以直线MN的方程为y=x-x0+y0,则D(0,y0-x0),‎ 联立方程,得消去y,得3x2-4(x0-y0)x+2(x0-y0)2-2=0,‎ Δ=16(x0-y0)2-24[(x0-y0)2-1],‎ 则x1,2=,‎ 所以xN+x0=,‎ 所以xN=,yN=-,‎ 所以直线NA的方程为y=x+1=x+1,‎ 直线MB的方程为y=x-1,‎ 所以易得yP=.‎ 又+y=1.,‎ 所以yP==,‎ 所以·=(0,y0-x0)·(xP,yP)=(y0-x0)·=1.‎ ‎4.(2018·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点为F1(-,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.‎ ‎ (1)求椭圆C及圆O的方程;‎ ‎(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;‎ ‎②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.‎ 解:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0),‎ 可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).‎ 又点在椭圆C上,‎ 所以解得 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ 因为圆O的直径为F1F2,‎ 所以圆O的方程为x2+y2=3.‎ ‎(2)①设直线l与圆O相切于点P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x+y=3,‎ 所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,‎ 即y=-x+.‎ 由消去y,得 ‎(4x+y)x2-24x0x+36-4y=0.(*)‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,‎ 所以Δ=(-24x0)2-4(4x+y)·(36-4y)=48y(x-2)=0.‎ 因为x0>0,y0>0,‎ 所以x0=,y0=1.‎ 所以点P的坐标为(,1).‎ ‎②因为△OAB的面积为,‎ 所以AB·OP=,从而AB=.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由(*)得x1,2=,‎ 所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2‎ ‎=·.‎ 因为x+y=3,‎ 所以AB2==,‎ 即2x-45x+100=0,‎ 解得x=(x=20舍去),则y=,‎ 因此P的坐标为.‎ 所以直线l的方程为y-=-,‎ 即y=-x+3.‎
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