2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）

‎2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（　　）‎ A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]‎ ‎2．（5分）=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　）‎ A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 ‎4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）‎ A． B．3 C．m D．3m ‎5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（　　）‎ A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=‎ ‎9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：‎ p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2‎ p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1‎ 其中真命题是（　　）‎ A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3‎ ‎10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　）‎ A．6 B．6 C．4 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分）‎ ‎13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为　　．（用数字填写答案）‎ ‎14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市；‎ 由此可判断乙去过的城市为　　．‎ ‎15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为　　．‎ ‎16．（5分）已知a，b，c分别为△‎ ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．‎ ‎（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ ‎（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．‎ ‎（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；‎ ‎（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．‎ 附：≈12.2．‎ 若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．‎ ‎（Ⅰ）证明：AC=AB1；‎ ‎（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．‎ ‎（Ⅰ）求a、b；‎ ‎（Ⅱ）证明：f（x）＞1．‎ ‎　‎ 四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）‎ ‎　‎ 选修4-1：几何证明选讲 ‎22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．‎ ‎（Ⅰ）证明：∠D=∠E；‎ ‎（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．‎ ‎（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．若a＞0，b＞0，且+=．‎ ‎（Ⅰ）求a3+b3的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（　　）‎ A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]‎ ‎【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，‎ 解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），‎ ‎∵B=[﹣2，2），‎ ‎∴A∩B=[﹣2，﹣1]．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•新课标Ⅰ）=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．‎ ‎【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　）‎ A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 ‎【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），‎ f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，‎ ‎|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，‎ f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．‎ ‎|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）‎ A． B．3 C．m D．3m ‎【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．‎ ‎【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，‎ ‎∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，‎ ‎∴点F到C的一条渐近线的距离为=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•新课标Ⅰ）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．‎ ‎【解答】‎ 解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，‎ 周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，‎ ‎∴所求概率为=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．‎ ‎【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，‎ ‎∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|‎ ‎=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，‎ 其周期为T=，最大值为，最小值为0，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；‎ 第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；‎ 第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．‎ 不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（　　）‎ A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=‎ ‎【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．‎ ‎【解答】解：由tanα=，得：‎ ‎，‎ 即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，‎ sin（α﹣β）=cosα=sin（），‎ ‎∵α∈（0，），β∈（0，），‎ ‎∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•新课标Ⅰ）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：‎ p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2‎ p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1‎ 其中真命题是（　　）‎ A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3‎ ‎【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．‎ ‎【解答】解：作出图形如下：‎ 由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，‎ p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；‎ p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；‎ p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误； ‎ p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；‎ 综上所述，p1、p2正确；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．‎ ‎【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，‎ ‎∵=4，‎ ‎∴|PQ|=3d，‎ ‎∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，‎ ‎∵F（2，0），‎ ‎∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），‎ 与y2=8x联立可得x=1，‎ ‎∴|QF|=d=1+2=3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，‎ ‎∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；‎ ‎①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；‎ ‎②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；‎ ‎③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；‎ 故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；‎ 而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；‎ 故f（）=﹣3•+1＞0；‎ 故a＜﹣2；‎ 综上所述，‎ 实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　）‎ A．6 B．6 C．4 D．4‎ ‎【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．‎ ‎【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，‎ ‎∴．AC==6，AD=4，‎ 显然AC最长．长为6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分）‎ ‎13．（5分）（2014•新课标Ⅰ）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为　﹣20　．（用数字填写答案）‎ ‎【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．‎ ‎【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．‎ 含x2y6的系数是28，‎ ‎∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．‎ 故答案为：﹣20‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市；‎ 由此可判断乙去过的城市为　A　．‎ ‎【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．‎ ‎【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，‎ 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，‎ 再由丙说：我们三人去过同一城市，‎ 则由此可判断乙去过的城市为A．‎ 故答案为：A．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为　90°　．‎ ‎【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：在圆中若=（+），‎ 即2=+，‎ 即+的和向量是过A，O的直径，‎ 则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，‎ 则⊥，‎ 即与的夹角为90°，‎ 故答案为：90°‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　　．‎ ‎【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ‎⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c ‎⇒2a﹣b2=c2﹣bc，‎ 又因为：a=2，‎ 所以：，‎ ‎△ABC面积，‎ 而b2+c2﹣a2=bc ‎⇒b2+c2﹣bc=a2‎ ‎⇒b2+c2﹣bc=4‎ ‎⇒bc≤4‎ 所以：，即△ABC面积的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．‎ ‎（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ ‎（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出；‎ ‎（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，．得到λSn=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，‎ ‎∴an+1（an+2﹣an）=λan+1‎ ‎∵an+1≠0，‎ ‎∴an+2﹣an=λ．‎ ‎（Ⅱ）解：①当λ=0时，anan+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d．‎ 则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，‎ ‎∴an=an+1=1，‎ ‎∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．‎ ‎②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．‎ 则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，‎ ‎∴．‎ ‎∴，，‎ ‎∴λSn=1+=，‎ 根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．‎ 此时可得，an=2n﹣1．‎ 因此存在λ=4，使得{an}为等差数列．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．‎ ‎（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；‎ ‎（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．‎ 附：≈12.2．‎ 若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；‎ ‎（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；‎ ‎（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：‎ ‎=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，‎ s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．‎ ‎（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；‎ ‎（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，‎ 依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．‎ ‎（Ⅰ）证明：AC=AB1；‎ ‎（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．‎ ‎【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；‎ ‎（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，‎ ‎∵侧面BB1C1C为菱形，‎ ‎∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，‎ 又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，‎ ‎∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，‎ 又B10=CO，∴AC=AB1，‎ ‎（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，‎ 又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，‎ ‎∴OA，OB，OB1两两垂直，‎ 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，‎ 的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ ‎∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，‎ ‎∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）‎ ‎∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），‎ 设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，‎ 则，可取=（1，，），‎ 同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），‎ ‎∴cos＜，＞==，‎ ‎∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为 ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得=又，‎ 所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）‎ ‎（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，‎ 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，‎ 从而=+ 又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，‎ 设，则t＞0，，‎ 当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，‎ 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．‎ ‎（Ⅰ）求a、b；‎ ‎（Ⅱ）证明：f（x）＞1．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ f′（x）=+，‎ 由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，‎ 故a=1，b=2；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+，‎ ‎∵f（x）＞1，∴exlnx+＞1，∴lnx＞﹣，‎ ‎∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，‎ ‎∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．‎ 故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．‎ 设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．‎ ‎∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，‎ 故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，‎ 从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．‎ 综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．‎ ‎　‎ 四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）‎ 选修4-1：几何证明选讲 ‎22．（10分）（2014•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．‎ ‎（Ⅰ）证明：∠D=∠E；‎ ‎（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；‎ ‎（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠D=∠CBE，‎ ‎∵CB=CE，‎ ‎∴∠E=∠CBE，‎ ‎∴∠D=∠E；‎ ‎（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，‎ ‎∴O在直线MN上，‎ ‎∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，‎ ‎∴OM⊥AD，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠A=∠CBE，‎ ‎∵∠CBE=∠E，‎ ‎∴∠A=∠E，‎ 由（Ⅰ）知，∠D=∠E，‎ ‎∴△ADE为等边三角形．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．‎ ‎（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，‎ 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．‎ 对于直线l：，‎ 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．‎ P到直线l的距离为．‎ 则，其中α为锐角．‎ 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．‎ 当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．（2014•新课标Ⅰ）若a＞0，b＞0，且+=．‎ ‎（Ⅰ）求a3+b3的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．‎ ‎（Ⅱ）根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，‎ ‎∴=+≥2，∴ab≥2，‎ 当且仅当a=b=时取等号．‎ ‎∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，‎ ‎∴a3+b3的最小值为4．‎ ‎（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．‎ 而由（1）可知，2≥2=4＞6，‎ 故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；caoqz；maths；刘长柏；minqi5；清风慕竹；sxs123；wfy814；炫晨；qiss；w3239003；沂蒙松；lincy；wyz123（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日