2014年辽宁省高考数学试卷（文科）

2014年辽宁省高考数学试卷（文科）

‎2014年辽宁省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（　　）‎ A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i ‎3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b ‎4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α ‎5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（　　）‎ A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）‎ ‎6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．8﹣ B．8﹣ C．8﹣π D．8﹣2π ‎8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（　　）‎ A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣‎ ‎9．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（　　）‎ A．d＞0 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜0‎ ‎10．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（　　）‎ A．[，]∪[，] B．[﹣，﹣]∪[，]‎ C．[，]∪[，] D．[﹣，﹣]∪[，]‎ ‎11．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增 ‎12．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分）‎ ‎13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=　　．‎ ‎14．（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为　　．‎ ‎15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=　　．‎ ‎16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：‎ ‎（Ⅰ）a和c的值；‎ ‎（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．‎ ‎18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 北方学生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；‎ ‎（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．‎ 附：X2=‎ P（x2＞k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．‎ 附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．‎ ‎20．（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．‎ ‎（Ⅰ）求点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．‎ 证明：‎ ‎（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；‎ ‎（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．‎ ‎　‎ 四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲 ‎22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．‎ ‎（Ⅰ）写出C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．‎ ‎　‎ ‎2014年辽宁省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求CU（A∪B）．‎ ‎【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，‎ ‎∴CU（A∪B）={x|0＜x＜1}，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（　　）‎ A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i ‎【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．‎ ‎【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：‎ ‎，‎ ‎∴z=2+3i．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b ‎【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．‎ ‎【解答】解：∵0＜a=＜20=1，‎ b=log2＜log21=0，‎ c=log=log23＞log22=1，‎ ‎∴c＞a＞b．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α ‎【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；‎ B．运用线面垂直的性质，即可判断；‎ C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；‎ D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．‎ ‎【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；‎ B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；‎ C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；‎ D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（　　）‎ A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）‎ ‎【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，‎ 若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，‎ 则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•辽宁）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AB=2，BC=1，‎ ‎∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，‎ 圆的半径r=1，半圆的面积S=，‎ 则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．8﹣ B．8﹣ C．8﹣π D．8﹣2π ‎【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，‎ 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，‎ ‎∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（　　）‎ A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣‎ ‎【分析】利用点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．‎ ‎【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，‎ ‎∴﹣=﹣2，‎ ‎∴F（2，0），‎ ‎∴直线AF的斜率为=﹣．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{an}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（　　）‎ A．d＞0 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜0‎ ‎【分析】由数列递减可得＜1，由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得．‎ ‎【解答】解：∵数列{2}为递减数列，‎ ‎∴＜1，即＜1，‎ ‎∴＜1，‎ ‎∴a1（an+1﹣an）=a1d＜0‎ 故选：D ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•辽宁）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（　　）‎ A．[，]∪[，] B．[﹣，﹣]∪[，]‎ C．[，]∪[，] D．[﹣，﹣]∪[，]‎ ‎【分析】先求出当x≥0时，不等式f（x）≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）≤的解，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当x∈[0，]，由f（x）=，即cosπx=，‎ 则πx=，即x=，‎ 当x＞时，由f（x）=，得2x﹣1=，‎ 解得x=，‎ 则当x≥0时，不等式f（x）≤的解为≤x≤，（如图）‎ 则由f（x）为偶函数，‎ ‎∴当x＜0时，不等式f（x）≤的解为﹣≤x≤﹣，‎ 即不等式f（x）≤的解为≤x≤或﹣≤x≤﹣，‎ 则由≤x﹣1≤或﹣≤x﹣1≤﹣，‎ 解得≤x≤或≤x≤，‎ 即不等式f（x﹣1）≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤}，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）‎ A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增 ‎【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．‎ ‎【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，‎ 得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．‎ 即y=3sin（2x﹣）．‎ 当函数递增时，由，得．‎ 取k=0，得．‎ ‎∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]‎ ‎【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．‎ ‎【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；‎ 当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，‎ 令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），‎ 当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，‎ f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；‎ 当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，‎ 由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；‎ 综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分）‎ ‎13．（5分）（2014•辽宁）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=　20　．‎ ‎【分析】算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+i）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的T值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+i）的值，‎ 当输入n=3时，跳出循环的i值为4，‎ ‎∴输出T=1+3+6++10=20．‎ 故答案为：20．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•辽宁）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为　18　．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得，‎ ‎∴C（2，3）．‎ 化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：．‎ 由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大．‎ ‎∴zmax=3×2+4×3=18．‎ 故答案为：18．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=　12　．‎ ‎【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．‎ ‎【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，‎ ‎∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，‎ ‎∴|AN|+|BN|=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为　﹣1　．‎ ‎【分析】首先把：4a2﹣2ab+b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到++得到关于b的二次函数，求出最小值即可．‎ ‎【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c=0，‎ ‎∴=‎ 由柯西不等式得，‎ ‎[][]≥[2（a﹣）+×2]2=|2a+b|2‎ 故当|2a+b|最大时，有 ‎∴，c=b2‎ ‎∴++==‎ 当b=﹣2时，取得最小值为﹣1．‎ 故答案为：﹣1‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（12分）（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：‎ ‎（Ⅰ）a和c的值；‎ ‎（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；‎ ‎（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，‎ ‎∴c•acosB=2，即ac=6①，‎ ‎∵b=3，‎ ‎∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，‎ ‎∴a2+c2=13②，‎ 联立①②得：a=3，c=2；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，‎ 由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，‎ ‎∵a=b＞c，∴C为锐角，‎ ‎∴cosC===，‎ 则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 北方学生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；‎ ‎（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．‎ 附：X2=‎ P（x2＞k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论；‎ ‎（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意，X2=≈4.762＞3.841，‎ ‎∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；‎ ‎（Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，‎ ‎∴至多有1人喜欢甜品的概率．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．‎ 附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先证明AD⊥平面BGC，利用EF∥AD，可得EF⊥平面BCG；‎ ‎（Ⅱ）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半，利用VD﹣BCG=VG﹣BCD=，即可求三棱锥D﹣BCG的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，‎ ‎∴△ABC≌△DBC，‎ ‎∴AC=DC，‎ ‎∵G为AD的中点，‎ ‎∴CG⊥AD．‎ 同理BG⊥AD，‎ ‎∵CG∩BG=G，‎ ‎∴AD⊥平面BGC，‎ ‎∵EF∥AD，‎ ‎∴EF⊥平面BCG；‎ ‎（Ⅱ）解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，‎ ‎∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，‎ ‎∴AO⊥平面BCD，‎ ‎∵G为AD的中点，‎ ‎∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半．‎ 在△AOB中，AO=ABsin60°=，‎ ‎∴VD﹣BCG=VG﹣BCD==×=．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．‎ ‎（Ⅰ）求点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），求得圆的切线方程，根据切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=．再利用基本不等式求得S取得最小值，求得点P的坐标．‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的标准方程为 +=1，a＞b＞0，则 +=1．把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d，再由△PAB的面积为S=•AB•d=2，求出a2、b2的值，从而得到所求椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），且x0＞0，y0＞0．‎ 则切线的斜率为﹣，故切线方程为 y﹣y0=﹣（x﹣x0），即x0x+y0y=4．‎ 此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=••=．‎ 再根据 +=4≥2x0•y0，可得当且仅当x0=y0=时，‎ x0•y0取得最大值为2，即S取得最小值为=4，‎ 故此时，点P的坐标为（，）．‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的标准方程为 +=1，a＞b＞0，∵椭圆C过点P，∴+=1．‎ 由 求得b2x2+4x+6﹣2b2=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1•x2=．‎ 由 y1=x1+，y2=x2+，可得AB=|x2﹣x1|=•=•‎ ‎=．‎ 由于点P（，）到直线l：y=x+的距离d=，‎ ‎△PAB的面积为S=•AB•d=2，可得 b4﹣9b2+18=0，解得 b2=3，或 b2=6，‎ 当b2=6 时，由+=1求得a2=3，不满足题意；‎ 当b2=3时，由+=1求得a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为 ‎ ‎+=1．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•辽宁）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．‎ 证明：‎ ‎（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；‎ ‎（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．‎ ‎【分析】（Ⅰ）导数法可判f（x）在（0，）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（Ⅱ）化简可得g（x）=（π﹣x）+﹣1，换元法，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，由导数法可得函数的零点，可得不等式．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当x∈（0，）时，f′（x）=π+πsinx﹣2cosx＞0，‎ ‎∴f（x）在（0，）上为增函数，‎ 又f（0）=﹣π﹣2＜0，f（）=﹣4＞0，‎ ‎∴存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[，π]时，‎ 化简可得g（x）=（x﹣π）+﹣1‎ ‎=（π﹣x）+﹣1，‎ 令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，‎ 求导数可得u′（t）=，‎ 由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0，当t∈（x0，）时，u′（t）＞0，‎ ‎∴函数u（t）在（x0，）上为增函数，‎ 由u（）=0知，当t∈[x0，）时，u（t）＜0，‎ ‎∴函数u（t）在[x0，）上无零点；‎ 函数u（t）在（0，x0）上为减函数，‎ 由u（0）=1及u（x0）＜0知存在唯一t0∈（0，x0），使u（t0）=0，‎ 于是存在唯一t0∈（0，），使u（t0）=0，‎ 设x1=π﹣t0∈（，π），则g（x1）=g（π﹣t0）=u（t0）=0，‎ ‎∴存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，‎ ‎∵x1=π﹣t0，t0＜x0，‎ ‎∴x0+x1＞π ‎　‎ 四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲 ‎22．（10分）（2014•辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；‎ ‎（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，‎ ‎∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，‎ ‎∵∠PGD=∠EGA，‎ ‎∴∠DBA=∠EGA，‎ ‎∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，‎ ‎∴∠BDA=∠PFA，‎ ‎∵AF⊥EP，‎ ‎∴∠PFA=90°．‎ ‎∴∠BDA=90°，‎ ‎∴AB为圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）连接BC，DC，则 ‎∵AB为圆的直径，‎ ‎∴∠BDA=∠ACB=90°，‎ 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，‎ ‎∴Rt△BDA≌Rt△ACB，‎ ‎∴∠DAB=∠CBA，‎ ‎∵∠DCB=∠DAB，‎ ‎∴∠DCB=∠CBA，‎ ‎∴DC∥AB，‎ ‎∵AB⊥EP，‎ ‎∴DC⊥EP，‎ ‎∴∠DCE为直角，‎ ‎∴ED为圆的直径，‎ ‎∵AB为圆的直径，‎ ‎∴AB=ED．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．‎ ‎（Ⅰ）写出C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．‎ ‎（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，‎ ‎∴x2+=1，即曲线C的方程为 x2+=1，化为参数方程为 （0≤θ＜2π，θ为参数）．‎ ‎（Ⅱ）由，可得 ，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），‎ 则线段P1P2的中点坐标为（，1），‎ 再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．‎ 再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，‎ 即 ρ=．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．（2014•辽宁）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或 ②．‎ 解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1．‎ 综上，原不等式的解集为[0，]．‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ 由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，‎ ‎∴N=[﹣，]，‎ ‎∴M∩N=[0，]．‎ ‎∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，‎ ‎∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，‎ 故要证的不等式成立．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：清风慕竹；sxs123；双曲线；maths；刘长柏；lincy；wyz123；qiss；whgcn；sllwyn；caoqz（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日