2020年天津市高考数学试卷【word版本;可编辑;含答案】

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2020年天津市高考数学试卷【word版本;可编辑;含答案】

‎2020年天津市高考数学试卷 一、选择题 ‎1. 设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3}‎,集合A={-1,0,1,2}‎,B={-3,0,2,3}‎,则A∩(‎∁‎UB)=(‎        ‎‎)‎ A.‎{-3,3}‎ B.‎{0,2}‎ C.‎{-1,1}‎ D.‎‎{-3,-2,-1,1,3}‎ ‎2. 设a∈R,则“a>1‎”是“a‎2‎‎>a”的(        )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. 函数y=‎‎4xx‎2‎‎+1‎的图象大致为(        )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4. 从一批零件中抽取‎80‎个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为‎9‎组:‎[5.31,5.33)‎,‎[5.33,5.35)‎ ,‎⋯‎,‎[5.45,5,47)‎,‎[5.47,5,49]‎,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间‎[5.43,5,47)‎内的个数为(        )‎ A.‎10‎ B.‎18‎ C.‎20‎ D.‎‎36‎ ‎5. 若棱长为‎2‎‎3‎的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(        )‎ A.‎12π B.‎24π C.‎36π D.‎‎144π ‎6. 设a=‎‎3‎‎0.7‎,b=‎‎1‎‎3‎‎-0.8‎ ,c=log‎0.7‎0.8‎,则a,b,c的大小关系为‎(‎         ‎‎)‎ A.a0,b>0‎,过抛物线y‎2‎‎=4x的焦点和点‎0,b的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为‎(‎         ‎‎)‎ A.x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎‎4‎=1‎ B.x‎2‎‎-y‎2‎‎4‎=1‎ C.x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎=1‎ D.‎x‎2‎‎-y‎2‎=1‎ ‎8. 已知函数fx=sinx+‎π‎3‎.给出下列结论:‎ ‎①fx的最小正周期为‎2π;‎ ‎②fπ‎2‎是fx的最大值;‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π‎3‎个单位长度,可得到函数y=fx的图象.‎ 其中所有正确结论的序号是(        )‎ A.① B.①③ C.②③ D.①②③‎ ‎9. 已知函数fx=‎x‎3‎‎,x≥0,‎‎-x,x<0,‎若函数gx=fx-|kx‎2‎-2x|‎ k∈R恰有‎4‎个零点,则k的取值范围是(        )‎ A.‎-∞,-‎‎1‎‎2‎‎∪‎‎2‎2‎,+∞‎ B.‎‎-∞,-‎‎1‎‎2‎‎∪‎‎0,2‎‎2‎ C.‎-∞,0‎‎∪‎‎0,2‎‎2‎ D.‎‎-∞,0‎‎∪‎‎2‎2‎,+∞‎ 二、填空题 ‎10. i是虚数单位,复数‎8-i‎2+i‎=‎________.‎ ‎11. 在x+‎‎2‎x‎2‎‎5‎的展开式中,x‎2‎的系数是________.‎ ‎12. 已知直线x-‎3‎y+8=0‎和圆x‎2‎‎+y‎2‎=‎r‎2‎r>0‎相交于A,B两点.若‎|AB|=6‎,则r的值为________.‎ ‎13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为‎1‎‎2‎和‎1‎‎3‎.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________.‎ ‎14. 已知a>0‎,b>0‎,且ab=1‎,则‎1‎‎2a‎+‎1‎‎2b+‎‎8‎a+b的最小值为________.‎ ‎15. 如图,在四边形ABCD中,‎∠B=‎‎60‎‎∘‎,AB=3‎,BC=6‎,且AD‎→‎‎=λBC‎→‎,AD‎→‎‎⋅AB‎→‎=-‎‎3‎‎2‎,则实数λ的值为________,若M,N是线段BC上的动点,且‎|MN‎→‎|=1‎,则DM‎→‎‎⋅‎DN‎→‎的最小值为________.‎ 三、解答题 ‎16. 在‎△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2‎‎2‎,b=5‎,c=‎‎13‎.‎ ‎(1)‎求角C的大小;‎ ‎(2)‎求sinA的值;‎ ‎(3)‎求sin‎2A+‎π‎4‎的值.‎ ‎17. 如图,在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中, CC‎1‎⊥‎平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC‎1‎=3‎,点D,E分别在棱AA‎1‎和棱CC‎1‎上,且AD=1,CE=2‎,M为棱A‎1‎B‎1‎的中点.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎(1)‎求证: C‎1‎M⊥B‎1‎D;‎ ‎(2)‎求二面角B-B‎1‎E-D的正弦值;‎ ‎(3)‎求直线AB与平面DB‎1‎E所成角的正弦值.‎ ‎18. 已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的一个顶点为A(0,-3)‎,右焦点为F,且‎|OA|=|OF|‎,其中O为原点.‎ ‎(1)‎求椭圆的方程;‎ ‎(2)‎已知点C满足‎3OC‎→‎=‎OF‎→‎,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点,求直线AB的方程.‎ ‎19.  已知an为等差数列,bn为等比数列,a‎1‎‎=b‎1‎=1‎,a‎5‎‎=5‎a‎4‎‎-‎a‎3‎,b‎5‎‎=4‎b‎4‎‎-‎b‎3‎.‎ ‎(1)‎求an和bn的通项公式;‎ ‎(2)‎记‎{‎an}的前n项和为Sn,求证: SnSn+2‎‎<‎Sn+1‎‎2‎n∈‎N‎*‎;‎ ‎(3)‎对任意的正整数n,设cn‎=‎‎(3an-2)‎bnanan+2‎‎,n为奇数,‎an-1‎bn+1‎‎,n为偶数,‎ 求数列cn的前‎2n项和.‎ ‎20. 已知函数f(x)=x‎3‎+klnx(k∈R)‎,f‎'‎‎(x)‎为f(x)‎的导函数.‎ ‎(1)‎当k=6‎时,‎ ‎(i)‎求曲线y=f(x)‎在点‎(1,f(1))‎处的切线方程;‎ ‎(ii)‎求函数g(x)=f(x)-f‎'‎(x)+‎‎9‎x的单调区间和极值;‎ ‎(2)‎当k≥-3‎时,求证:对任意的x‎1‎,x‎2‎‎∈[1,+∞)‎,且x‎1‎‎>‎x‎2‎,有f‎'‎‎(x‎1‎)+f‎'‎(x‎2‎)‎‎2‎‎>‎f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎2020年天津市高考数学试卷 一、选择题 ‎1.C ‎2.A ‎3.A ‎4.B ‎5.C ‎6.D ‎7.D ‎8.B ‎9.D 二、填空题 ‎10.‎‎3-2i ‎11.‎‎10‎ ‎12.‎‎5‎ ‎13.‎1‎‎6‎,‎‎2‎‎3‎ ‎14.‎‎4‎ ‎15.‎1‎‎6‎,‎‎13‎‎2‎ 三、解答题 ‎16.解:‎(1)‎在‎△ABC中,‎ 由a=2‎‎2‎,b=5‎,c=‎‎13‎及余弦定理得:‎ cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎8+25-13‎‎2×2‎2‎×5‎=‎‎2‎‎2‎‎.‎ 又因为C∈‎‎0,π,‎ 所以C=‎π‎4‎;‎ ‎(2)‎在‎△ABC中,‎ 由C=‎π‎4‎,a=2‎‎2‎,c=‎‎13‎及正弦定理,可得:‎ sinA=asinCc=‎2‎2‎×‎‎2‎‎2‎‎13‎=‎‎2‎‎13‎‎13‎‎;‎ ‎(3)‎由a=CA‎→‎‎⋅‎n‎→‎‎|CA‎→‎|⋅n‎→‎|‎=‎2‎‎2×‎‎6‎=‎‎6‎‎6‎‎,‎ 所以 sin=‎1-cos‎2‎‎=‎‎30‎‎6‎,‎ 所以,二面角B-B‎1‎E-D的正弦值为‎30‎‎6‎;‎ ‎(3)‎解:依题意, AB‎→‎‎=‎‎-2,2,0‎.‎ 由‎(2)‎知n‎→‎‎=‎‎1,-1,2‎为平面DB‎1‎E的一个法向量,‎ 于是 cos=AB‎→‎‎⋅‎n‎→‎‎|AB‎→‎|⋅|n‎→‎|‎=-‎‎3‎‎3‎,‎ 所以,直线AB与平面DB‎1‎E所成角的正弦值为‎3‎‎3‎.‎ ‎18.解:‎(1)∵ ‎椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的一个顶点为A(0,-3)‎,‎ ‎∴ b=3‎‎.‎ 由‎|OA|=|OF|‎,得到c=b=3‎.‎ 又由a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎,得到a‎2‎‎=18‎.‎ 故椭圆的方程为x‎2‎‎18‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎.‎ ‎(2)∵ ‎直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,‎ ‎∴ CP⊥AB‎.‎ 根据题意可知,直线AB与直线CP的斜率均存在,‎ 设直线AB的斜率为k,‎ 则直线AB为y+3=kx,即y=kx-3‎,‎ 则y=kx-3,‎x‎2‎‎18‎‎+y‎2‎‎9‎=1,‎ 消去y,可得‎(2k‎2‎+1)x‎2‎-12kx=0‎,‎ 解得x=0‎或x=‎‎12k‎2k‎2‎+1‎.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 将x=‎‎12k‎2k‎2‎+1‎代入y=kx-3‎,‎ 可得y=k ‎12k‎2k‎2‎+1‎‎-3=‎‎6k‎2‎-3‎‎2k‎2‎+1‎,‎ ‎∴ ‎点B的坐标为‎12k‎2k‎2‎+1‎‎,‎‎6k‎2‎-3‎‎2k‎2‎+1‎.‎ ‎∵ P为线段AB的中点,点A的坐标为‎(0,-3)‎,‎ ‎∴ P的坐标为‎6k‎2k‎2‎+1‎‎,‎‎-3‎‎2k‎2‎+1‎.‎ 由‎3OC‎→‎=‎OF‎→‎,得点C的坐标为‎(1,0)‎,‎ ‎∴ kCP=‎‎-3‎‎2k‎2‎+1‎‎-0‎‎6k‎2k‎2‎+1‎‎-1‎ ‎=‎‎3‎‎2k‎2‎-6k+1‎‎.‎ 又‎∵ CP⊥AB,‎ ‎∴ k⋅‎3‎‎2k‎2‎-6k+1‎=-1‎‎,‎ 整理得‎2k‎2‎-3k+1=0‎,解得k=‎‎1‎‎2‎或k=1‎.‎ 综上,直线AB的方程为y=‎1‎‎2‎x-3‎或y=x-3‎.‎ ‎19.‎(1)‎解:设等差数列‎{an}‎的公差为d,等比数列‎{bn}‎的公比为q,‎ 由a‎1‎‎=1‎,a‎5‎‎=5(a‎4‎-a‎3‎)‎,可得d=1‎,‎ 从而‎{an}‎的通项公式为an‎=n,‎ 由b‎1‎‎=1‎,b‎5‎‎=4(b‎4‎-b‎3‎)‎,‎ 又q≠0‎,可得q‎2‎‎-4q+4=0‎,解得q=2‎,‎ 从而‎{bn}‎的通项公式为bn‎=‎‎2‎n-1‎.‎ ‎(2)‎证明:由‎(1)‎可得Sn‎=‎n(n+1)‎‎2‎,‎ 故SnSn+2‎‎=‎1‎‎4‎n(n+1)(n+2)(n+3)‎,‎ Sn+1‎‎2‎‎=‎1‎‎4‎(n+1‎)‎‎2‎(n+2‎‎)‎‎2‎‎,‎ 从而SnSn+2‎‎-Sn+1‎‎2‎=-‎1‎‎2‎(n+1)(n+2)<0‎,‎ 所以SnSn+2‎‎<‎Sn+1‎‎2‎.‎ ‎(3)‎解:当n为奇数时,cn‎=‎(3an-2)‎bnanan+2‎=‎(3n-2)‎‎2‎n-1‎n(n+2)‎=‎2‎n+1‎n+2‎-‎‎2‎n-1‎n,‎ 当n为偶数时,cn‎=an-1‎bn+1‎=‎n-1‎‎2‎n,‎ 对任意的正整数n,有k=1‎nc‎2k-1‎‎=k=1‎n‎2‎‎2k‎2k+1‎‎-‎‎2‎‎2k-2‎‎2k-1‎=‎2‎‎2n‎2n+1‎-1‎,‎ k=1‎nc‎2k‎=k=1‎n‎2k-1‎‎4‎k=‎1‎‎4‎+‎3‎‎4‎‎2‎+‎5‎‎4‎‎3‎+⋯+‎2n-3‎‎4‎n-1‎+‎‎2n-1‎‎4‎n‎①,‎ 由①得‎1‎‎4‎k=1‎nc‎2k‎=‎1‎‎4‎‎2‎+‎3‎‎4‎‎3‎+‎5‎‎4‎‎4‎+⋯+‎2n-3‎‎4‎n+‎‎2n-1‎‎4‎n+1‎②,‎ 由①‎-‎②得‎3‎‎4‎k=1‎nc‎2k‎=‎1‎‎4‎+‎2‎‎4‎‎2‎+⋯+‎2‎‎4‎n-‎2n-1‎‎4‎n+1‎=‎2‎‎4‎‎1-‎‎1‎‎4‎n‎1-‎‎1‎‎4‎-‎1‎‎4‎-‎‎2n-1‎‎4‎n+1‎,‎ 由于‎2‎‎4‎‎1-‎‎1‎‎4‎n‎1-‎‎1‎‎4‎‎-‎1‎‎4‎-‎2n-1‎‎4‎n+1‎=‎2‎‎3‎-‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎n-‎1‎‎4‎-‎2n-1‎‎4‎n×‎1‎‎4‎=‎5‎‎12‎-‎‎6n+5‎‎3×‎‎4‎n+1‎,‎ 从而得:k=1‎nc‎2k‎=‎5‎‎9‎-‎‎6n+5‎‎9×‎‎4‎n,‎ 因此,k=1‎‎2nck‎=k=1‎nc‎2k-1‎+k=1‎nc‎2k=‎4‎n‎2n+1‎-‎6n+5‎‎9×‎‎4‎n-‎‎4‎‎9‎,‎ 所以,数列‎{cn}‎的前‎2n项和为‎4‎n‎2n+1‎‎-‎6n+5‎‎9×‎‎4‎n-‎‎4‎‎9‎.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎20.‎(1)‎解:‎(i)‎当k=6‎时,‎ f(x)=x‎3‎+6lnx‎,f‎'‎‎(x)=3x‎2‎+‎‎6‎x,‎ 可得f(1)=1‎,f‎'‎‎(1)=9‎,‎ 所以曲线y=f(x)‎在点‎(1,f(1))‎处的切线方程为:‎ y-1=9(x-1)‎‎,即y=9x-8‎;‎ ‎(ii)‎依题意,g(x)=x‎3‎-3x‎2‎+6lnx+‎‎3‎x,x∈(0,+∞)‎.‎ 从而可得g‎'‎‎(x)=3x‎2‎-6x+‎6‎x-‎‎3‎x‎2‎,‎ 整理可得:g‎'‎‎(x)=‎‎3(x-1‎)‎‎3‎(x+1)‎x‎2‎,‎ 令g‎'‎‎(x)=0‎,解得x=1‎.‎ 当x变化时,g‎'‎‎(x)‎,g(x)‎的变化情况如下表:‎ x ‎(0,1)‎ x=1‎ ‎(1,+∞)‎ g'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ g(x)‎ 单调递减 极小值 单调递增 所以,函数g(x)‎的单调递减区间为‎(0,1)‎,单调递增区间为‎(1,+∞)‎;‎ g(x)‎的极小值为g(1)=1‎,无极大值;‎ ‎(2)‎证明:由f(x)=x‎3‎+klnx,得f‎'‎‎(x)=3x‎2‎+‎kx.‎ 对任意的x‎1‎,x‎2‎‎∈[1,+∞)‎,且x‎1‎‎>‎x‎2‎,‎ 令x‎1‎x‎2‎‎=t(t>1)‎,‎ 则x‎1‎‎-‎x‎2‎f‎'‎x‎1‎‎+‎f‎'‎x‎2‎‎-2‎fx‎1‎-fx‎2‎ ‎=x‎1‎‎-‎x‎2‎‎3x‎1‎‎2‎+kx‎1‎+3x‎2‎‎2‎+‎kx‎2‎-2‎x‎1‎‎3‎‎-x‎2‎‎3‎+klnx‎1‎x‎2‎ ‎=x‎1‎‎3‎-x‎2‎‎3‎-3x‎1‎‎2‎x‎2‎+3x‎1‎x‎2‎‎2‎+kx‎1‎x‎2‎‎-‎x‎2‎x‎1‎-2klnx‎1‎x‎2‎ ‎=x‎2‎‎3‎t‎3‎‎-3t‎2‎+3t-1‎+kt-‎1‎t-2lnt‎①.‎ 令h(x)=x-‎1‎x-2lnx,x∈(1,+∞)‎.‎ 当x>1‎时,h‎'‎‎(x)=1+‎1‎x‎2‎-‎2‎x=‎1-‎‎1‎x‎2‎>0‎,‎ 由此可得h(x)‎在‎(1,+∞)‎上单调递增,‎ 所以当t>1‎时,h(t)>h(1)‎,即t-‎1‎t-2lnt>0‎.‎ 因为x‎2‎‎≥1‎,t‎3‎‎-3t‎2‎+3t-1=(t-1‎)‎‎3‎>0‎,k≥-3‎,‎ 所以x‎2‎‎3‎t‎3‎‎-3t‎2‎+3t-1‎‎+kt-‎1‎t-2lnt ‎≥t‎3‎‎-3t‎2‎+3t-1‎-3‎t-‎1‎t-2lnt ‎=t‎3‎-3t‎2‎+6lnt+‎3‎t-1‎‎②.‎ 由‎(1)(ii)‎可知,当 t>1‎时,g(t)>g(1)‎,即t‎3‎‎-3t‎2‎+6lnt+‎3‎t>1‎,‎ 故t‎3‎‎-3t‎2‎+6lnt+‎3‎t-1>0‎③.‎ 由①②③可得x‎1‎‎-‎x‎2‎‎(f‎'‎x‎1‎‎)+‎f‎'‎x‎2‎-2(fx‎1‎-fx‎2‎)>0‎,‎ 所以,当k≥-3‎时,任意的x‎1‎,x‎2‎‎∈[1,+∞)‎,且x‎1‎‎>‎x‎2‎,有 f‎'‎x‎1‎‎+‎f‎'‎x‎2‎‎2‎‎>‎fx‎1‎-fx‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页
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