高中数学第8章函数应用课时分层作业43用二分法求方程的近似解含解析苏教版必修第一册

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高中数学第8章函数应用课时分层作业43用二分法求方程的近似解含解析苏教版必修第一册

课时分层作业(四十三) 用二分法求方程的近似解 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是(  )‎ A.x1 B.x‎2 C.x3 D.x4‎ C [由题图知,x3附近两边的函数值都是负值,故用二分法不能求出零点x3.]‎ ‎2.下列函数中,有零点但不能用二分法求零点近似值的是(  )‎ A.y=3x2-2x-5 B.y= C.y=+1 D.y=x2+4x+8‎ D [分别作出函数A~D的图象(略)知,D符合题意.]‎ ‎3.某方程有一无理根在区间D=(1,3)内,若用二分法求此根的近似值,将D等分x次后,所得近似值可精确到0.1.则x=(  )‎ A.3 B.‎4 ‎‎ C.5 D.6‎ C [由<0.1,得2n-1>10,所以n-1≥4,即n≥5.]‎ ‎4.下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的叙述中 ‎①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;‎ ‎②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;‎ ‎③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点;‎ ‎④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.‎ 其中不正确的个数为(  )‎ A.1 B.‎2 ‎‎ C.3 D.4‎ D [①中x0∈[a,b]且f(x0)=0,∴x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),①错误;②中函数f(x)不一定连续,且无法判断是否有f(a)·f(b)<0,②错误;③中方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,③错误;④中用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,④也错误.]‎ ‎5.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,,,则下列说法中正确的是(  )‎ - 5 -‎ A.函数f(x)在区间内一定有零点 B.函数f(x)在区间或内一定有零点 C.函数f(x)在内无零点 D.函数f(x)在区间或内有零点,或零点是 D [由已知及二分法求函数零点的原理,可知,‎ f(0)·f<0,又的中点为,‎ ‎∴下一步可能f(0)·f<0,‎ 或f·f<0或f=0,故D正确.]‎ 二、填空题 ‎6.为了求函数f(x)=2x+3x-7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值,如下表所示:‎ x ‎1.25‎ ‎1.312 5‎ ‎1.375‎ ‎1.437 5‎ ‎1.5‎ ‎1.562 5‎ f(x)‎ ‎-0.871 6‎ ‎-0.578 8‎ ‎-0.281 3‎ ‎0.210 1‎ ‎0.328 43‎ ‎0.641 15‎ 则方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1)可取________.‎ ‎1.4 [由题表知f(1.375)·f(1.437 5)<0,且1.437 5和1.375精确到0.1均为1.4,所以方程的一个近似解可取为1.4.]‎ ‎7.在10枚崭新的硬币中,有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称________次就可以发现这枚假币.‎ ‎3 [先分2组,每组5枚,用天平称出质量较轻的一组,再把5枚分成一组2枚,另一组也2枚,把两组放入托盘中,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在较轻的那2枚硬币里面,然后用天平称出轻的一枚即可,故最多称3次即可.]‎ ‎8.二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:‎ x ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎6‎ m ‎-4‎ ‎-6‎ ‎-6‎ ‎-4‎ n ‎6‎ 可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是________.‎ ‎(-3,-1)和(2,4) [由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x=,a>0.由f(-3)·f(-1)<0,f(2)·f(4)<0,可得f(x)的零点所在区间为(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是(-3,-1)和(2,4).]‎ - 5 -‎ 三、解答题 ‎9.确定函数f(x)=logx+x-4的零点所在的区间.‎ ‎[解] 设y1=logx,y2=4-x,则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数,作出两函数图象,如图:‎ 由图知,y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,‎ 当x=4时,y1=-2,y2=0,所以f(4)<0,‎ 当x=8时,y1=-3,y2=-4,所以f(8)=1>0,‎ 所以在(4,8)内两曲线又有一个交点.‎ 故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1),(4,8).‎ ‎10.利用计算器,求方程x2-6x+7=0的近似解.(精确到0.1)‎ ‎[解] 设f(x)=x2-6x+7,通过观察函数的图象(略)得:‎ f(1)=2>0,f(2)=-1<0,∴方程x2-6x+7=0有一根在(1,2)内,设为x1,‎ ‎∵f(1.5)=0.25>0,∴1.5<x1<2,‎ 又∵f=f(1.75)=-0.437 5<0,∴1.5<x1<1.75,如此继续下去,得:‎ f(1)·f(2)<0⇒x1∈(1,2),f(1.5)·f(2)<0⇒x1∈(1.5,2),‎ f(1.5)·f(1.75)<0⇒x1∈(1.5,1.75),‎ f(1.5)·f(1.625)<0⇒x1∈(1.5,1.625),‎ f(1.562 5)·f(1.625)<0⇒x1∈(1.562 5,1.625).‎ 因为1.562 5,1.625精确到0.1的近似值都为1.6,所以方程x2-6x+7=0的一个近似解为1.6,用同样的方法,可求得方程的另一个近似解为4.4.‎ ‎1.已知函数f(x)=loga x+x-b(a>0,且a≠1).当23,∴-b<-3,∴2-b<-1,‎ ‎∴loga 2+2-b<0,即f(2)<0.‎ ‎∵1<<,30,∴f(3)>0,‎ 即f(2)·f(3)<0.‎ 由x0∈(n,n+1),n∈N*知,n=2.]‎ ‎2.已知曲线y=与y=x的交点的横坐标是x0,则x0的取值范围是________.‎  [设f(x)=-x,则f(0)=1>0,‎ f=-=-<0,f(1)=-1<0,f(2)=-2<0,显然有f(0)·f<0.所以f(x)的零点所在区间为,即x0的取值范围是.]‎ ‎3.已知y=x(x-1)·(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)·(x+1)+0.01,则方程式f(x)=0‎ ‎①有三个实根;‎ ‎②当x<-1时,恰有一实根(有一实根且仅有一实根);‎ ‎③当-11时,恰有一实根.‎ 正确的有________.(填序号)‎ ‎①② [∵f(-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,f(-1)=0.01>0,即f(-2)·f(-1)<0,‎ ‎∴在(-2,-1)内有一个实根,结合图象(略)可知,方程在(-∞,-1)上,恰有一个实根.‎ ‎∴②正确.‎ 又∵f(0)=0.01>0,结合图象可知f(x)=0在(-1,0)上没有实数根,∴③不正确.‎ - 5 -‎ 又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,f(1)=0.01>0,即f(0.5)·f(1)<0,所以f(x)=0在(0.5,1)上必有一实根,且f(0)·f(0.5)<0,‎ ‎∴f(x)=0在(0,0.5)上也有一个实根.‎ ‎∴f(x)=0在(0,1)上有两个实根,④不正确.‎ 由f(1)>0结合图象知,f(x)=0在(1,+∞)上没有实根.∴⑤不正确,并且由此可知①正确.]‎ ‎4.某电视台曾有一档娱乐节目:主持人会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会,如果猜中,就把物品奖励给选手.某次猜一种品牌的手机,手机价格在500~1 000元之间.选手开始报价1 000元,主持人说高了;紧接着报价900元,高了;700元,低了;800元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,你猜中了.表面上看,猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想.你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗?‎ ‎[解] 取价格区间[500,1 000]的中点750.‎ 如果主持人说低了,就再取[750,1 000]的中点875,‎ 否则取另一个区间(500,750)的中点.‎ 若遇到小数,则取整数.照这样的方案,游戏过程中猜价如下:750,875,812,843,859,851,经过6次可以猜中价格.‎ - 5 -‎
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