高考数学专题10函数应用问题黄金解题模板

高考数学专题10函数应用问题黄金解题模板

专题 10 函数应用问题 【高考地位】 应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常 出现。数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的， 解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本 质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。 在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键. 【方法点评】 类型 解函数应用题的一般步骤 使用情景：函数的实际应用问题 解题模板：第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模 型； 第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际 问题的合理 性. 例 1.已知某公司生产某产品的年固定成本为 100 万元，每生产 1千件需另投入 27 万元，设该 公司一年内生产该产品 x千件  0 25x  并全部销售完，每千件的销售收入为  R x 万元， 且   21108 , (0 10) 3{ 175 57, (10 25) x x R x x x x          . ⑴ 写出年利润  f x （万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式； ⑵ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年 销售收入年总成本）. 【答案】(1)详见解析;(2) 9千件. 【解析】 ⑴ 当0 10x  时， 考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性． 【点评】(1)由年利润＝年销售收入年总成本，结合  R x ，即可得到所求  f x 的解析式； (2)由  1 的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大 值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。 例 2 如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地（图中 ABCD）的围墙，且要 求中间用围墙 EF 隔开，使得图中 ABEF 为矩形， EFDC为正方形．已知围墙（包括 EF ） 的修建费用均为800元/米．设 xAB  米，围墙（包括 EF ）的修建总费用为 y 元． （1）求出 y 关于 x的函数关系式； （2）当 x为何值时，围墙（包括 EF ）的修建总费用 y 最小？并求出 y 的最小值． 【答案】（1） )6100)(400(2400  x x xy ；（2）当 x为 20米时， y 最小， y 的最小 值为96000元． 例 3 一条宽为1km的两平行河岸有村庄 A和供电站C，村庄 B 与 ,A C 的直线距离都是 2km， BC与河岸垂直，垂足为D现要修建电缆，从供电站C向村庄 ,A B供电．修建地下 电缆、水下电缆的费用分别是2万元 /km、4万元 /km . (1) 如图①,已知村庄 A与 B原来铺设有电缆 AB，现先从C处修建最短水下电缆到达对岸后 后，再修建地下电缆接入原电缆供电，试求该方案总施工费用的最小值； (2) 如 图 ② ， 点 E 在 线 段 AD 上 ， 且 铺 设 电 缆 的 线 路 为 , ,CE EA EB . 若 0 3 DCE          ，试用表示出总施工费用 y （万元）的解析式，并求 y的最小值. 【答案】（1） 4 3 ；（2） 4 2 2 3 . 【点评】本题主要考查阅读能力及建模能力、函数的解析式以及利用导数求最值，属于难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查 书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题 转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是构造关于的函数关系，然后利用导数求其最小 值. 【变式演练 1】在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图） 的东偏南 2cos 10          方向 300km 的海面 P处，并以 20km/h 的速度向西偏北 45方向移动， 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h 的速度不断增大，问几小时后该 城市开始受到台风的侵袭？受到台风侵袭的时间有多少小时？ 【答案】12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间有12小时． 考点：解三角形的实际应用． 【变式演练 2】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计 划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为 1 2l l、 ，山区边 界曲线为C．计划修建的公路为 l，如图所示， ,M N 为C的两个端点，测得点M 到 1 2l l、 的 距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 1 2l l、 的距离分别为 20 千米和 2．5 千米，以 1 2l l、 所 在直线分别为 ,x y轴，建立平面直角坐标系 xOy．假设曲线C符合函数 2 ay x b   （其中 ,a b 为常数）模型． （1）求 ,a b的值； （2）设公路 l与曲线C相切于P点， P的横坐标为 t． ①请写出公路 l长度的函数解析式  f t ，并写出其定义域； ②当 t为何值时，公路 l的长度最短？求出最短长度． 【答案】（1） 1000 0 a b    ；（2）①     6 2 4 3 4 10 , 5,20 2 f t t t t     ；②当 10 2t  时，公 路 l的长度最短，最短长度为15 3 千米． 考点：导数及其应用． 【变式演练 3】重庆某重点中学高一新生小王家在县城A 地，现在主城 B地上学。周六小王的 父母从早上 8 点从家出发，驾车 3 小时到达主城 B 地，期间由于交通等原因，小王父母的车 所走的路程 s（单位：km）与离家的时间 t（单位：h）的函数关系为 )13(5)(  ttts 。达 到主城 B 地后，小王父母把车停在 B 地，在学校陪小王玩到 16 点，然后开车从 B 地以 hkm /60 的速度沿原路返回。 （1）求这天小王父母的车所走路程 s（单位：km）与离家时间 t（单位：h）的函数解析式； （2）在距离小王家 60 km处有一加油站，求这天小王父母的车途经加油站的时间。 【答案】（1）          )5.108(33060 )83(150 )30()13(5 )( tt t ttt ts （2）小王父母这天途经该加油站的时间分别为 9 点和 17 点 30 分 考点：根据实际问题选择函数类型. 【变式演练 4】某企业共有 20 条生产线，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生 一定量的次品.根据经验知道，每台机器产生的次品数 p 万件与每台机器的日产量 x万件 (4 12)x  之间满足关系： 20.1125 3.6 ln 1p x x   .已知每生产 1 万件合格的产品可以 以盈利 3 万元，但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元. （Ⅰ）试将该企业每天生产这种产品所获得的利润 y表示为 x的函数； （Ⅱ）当每台机器的日产量为多少时，该企业的利润最大，最大为多少？ 【答案】（Ⅰ） )124(80609ln288 2  xxxxy ；（Ⅱ） 6x ,利润最大，最大为 446ln288  . 考点：导数的实际应用. 【变式演练 5】市场上有一种新型的强力洗衣粉，特点是去污速度快，已知每投放 a（1 4a  且a R ）个单位的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 y（克/升）随着 时间 x（分钟）变化的函数关系式近似为 ( )y af x ，其中 16 1,0 4 8( ) 15 ,4 10 2 x xf x x x            ，若 多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和， 根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于 4（克/升）时，它才能起有效去污的作用. （1）若只投放一次 4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？ （2）若先投放 2 个单位的洗衣液，6 分钟后投放 a个单位的洗衣液，要使接下来的 4 分钟中 能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到 0.1，参考数据： 2 取1.4）. 【答案】（1）8；（2）1.6. （2） 1 1 12(5 ) 2 y x  ， 1(6 10)x  ， 2 2 16( 1) 8 y a x    ， 2(0 4)x  令 1 2 26 , [0,4]x x x   ， 2 1 2 2 162(2 ) ( 1) 4 2 8 xy y a x        ， 2(0 4)x  ∴ 2 2 8 8 xa x x     ，若令 28 , [8,12]t x t   ， 128( ) 24a t t     ， 又 128( ) 24 24 16 2 1.6t t       ， 所以 a的最小值为 1.6. 考点：应用问题，分段函数． 【高考再现】 1. 【2016 高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年 全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12％，则该公 司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( ) (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018 年 (B) 2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年 【答案】B 2.【2015 高考新课标 2，理 10】如图，长方形 ABCD的边 2AB  ， 1BC  ，O是 AB的 中点，点P沿着边 BC，CD与DA运动，记 BOP x  ．将动P到 A、B两点距离之和表 示为 x的函数 ( )f x ，则 ( )y f x 的图像大致为（ ） D P C BOA x 【答案】B 【考点定位】函数的图象和性质． 【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意， 通过点 P 的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案， 属于中档题． 3. 【 2014 湖南 8】某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p，第二年的增长率 为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. 2 p q B. ( 1)( 1) 1 2 p q   C. pq D. ( 1)( 1) 1p q   【答案】D 【解析】设两年的平均增长率为 ( 0)x x  ,则有      21 1 1x p q       1 1 1x p q     ,故选 D. 【考点定位】实际应用题 二次方程 【名师点睛】本题主要考查了函数模型的应用，解决问题的关键是根据所给实际问题进行分 析找到对应的函数模型，然后利用对应的函数性质进行具体分析计算即可. 4.【2014 高考北京文第 8题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为 “可食用率”.在特定条件下，可食用率 p与加工时间 t（单位：分钟）满足的函数关系 2p at bt c   （ a、b、 c是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型 和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C. 4.00 分钟 D. 4.25 分钟 【答案】B 考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基 础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 5.【2014 福建,文 9】要制作一个容积为 34m ，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底 面造价是每平方米 20 元，侧面造价是是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 （ ） .80 .120 .160 .240A B C D元 元 元 元 【答案】C 考点：函数的应用，基本不等式的应用. 【名师点睛】本题主要考查函数的应用及基本不等式，解决此题的关键是先求出函数解析式， 再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等” 这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理, 使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性. 6.【2017 全国 I 理，16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角 形 ABC的中心为O，D、 E、 F 为元O上的点， DBC△ ， ECA△ ， FAB△ 分别是一 BC， CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB为折痕折起 DBC△ ， ECA△ ， FAB△ ，使得 D， E， F 重合，得到三棱锥．当 ABC△ 的边长变化时，所得三棱 锥体积（单位： 3cm ）的最大值为_______． 【答案】 4 15 由题，连接OD，交 BC与点G，由题，OD BC 3 6 OG BC ，即OG的长度与 BC的长度或成正比 设OG x ，则 2 3BC x ， 5DG x  三棱锥的高 2 2 225 10 25 10h DG OG x x x x        212 3 3 3 3 2ABCS x x   △ 则 21 3 25 10 3 ABCV S h x x    △ 4 5= 3 25 10x x  令   4 525 10f x x x  ， 5(0, ) 2 x ，   3 4100 50f x x x   令   0f x  ，即 4 32 0x x  ， 2x  则    2 80f x f ≤ 则 3 80 45V  ≤ ∴体积最大值为 34 15 cm 7.【2015 高考四川，理 13】某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： C ） 满足函数关系 bkxey  （ 718.2e 为自然对数的底数，k、b 为常数）。若该食品在 0 C 的 保鲜时间设计 192 小时，在 22 C 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 C 的保鲜时间是 小时. 【答案】24 8.【2016 高考江苏卷】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱 锥 1 1 1 1P ABC D ，下部分的形状是正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D (如图所示)，并要求正四棱柱 的高 1PO 的四倍. （1）若 16 ,PO 2 ,AB m m  则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当 1PO 为多少时，仓库的容积最大？ 【答案】（1）312（2） 1 2 3PO  【解析】 (2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m)，则 0

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