高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.6 微 积分基本定理
【创新设计】2016-2017 学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微
积分基本定理课时作业 新人教版选修 2-2
明目标、知重点
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
1．微积分基本定理
如果 f(x)是区间 a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么ʃb
af(x)dx＝F(b)－F(a)．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则ʃb
af(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)，则ʃb
af(x)dx＝－S 下．
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb
af(x)dx＝S 上－S 下，若 S
上＝S 下，则ʃb
af(x)dx＝0.
情境导学]
从前面的学习中可以发现，虽然被积函数 f(x)＝x3 非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ1
0x3dx
的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重
要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系
求定积分呢？
探究点一 微积分基本定理
问题 你能用定义计算ʃ2
1
1
x
dx 吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？
思考 1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y＝y(t)，并且 y(t)有连续的导数，
由导数的概念可知，它在任意时刻 t 的速度 v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段 a，b]内的
位移为 s，你能分别用 y(t)，v(t)表示 s 吗？
答 由物体的运动规律是 y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，
通过求定积分的几何意义，可得 s＝ʃb
av(t)dt＝ʃb
ay′(t)dt，
所以ʃb
av(t)dt＝ʃb
ay′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中 v(t)＝y′(t)．
小结 (1)一般地，如果 f(x)是区间 a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么ʃb
af(x)dx
＝F(b)－F(a)．
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb
af(x)dx 很方便，其关键是准确写出满足 F′(x)＝f(x)的
F(x)．
思考 2 对一个连续函数 f(x)来说，是否存在唯一的 F(x)，使 F′(x)＝f(x)？若不唯一，会
影响微积分基本定理的唯一性吗？
答 不唯一，根据导数的性质，若 F′(x)＝f(x)，则对任意实数 c，F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′
＝f(x)．
不影响，因为
ʃb
af(x)dx＝F(b)＋c]－F(a)＋c]＝F(b)－F(a)
例 1 计算下列定积分：
(1)ʃ2
1
1
x
dx；(2)ʃ3
1(2x－1
x2)dx；(3)ʃ0
－π(cos x－ex)dx.
解 (1)因为(ln x)′＝1
x
，
所以ʃ2
1
1
x
dx＝ln x|2
1＝ln 2－ln 1＝ln 2.
(2)因为(x2)′＝2x，(1
x
)′＝－1
x2，
所以ʃ3
1(2x－1
x2)dx＝ʃ3
12xdx－ʃ3
1
1
x2dx
＝x2|3
1＋1
x
|3
1
＝(9－1)＋(1
3
－1)＝22
3
.
(3)ʃ0
－π(cos x－ex)dx＝ʃ0
－πcos xdx－ʃ0
－πexdx
＝sin x|0
－π－ex|0
－π＝ 1
eπ－1.
反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求
时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
跟踪训练 1 若 S1＝ʃ2
1x2dx，S2＝ʃ2
1
1
x
dx，S3＝ʃ2
1exdx，则 S1，S2，S3 的大小关系为( )
A．S1
7
3
.
所以 S20，
求ʃ1
－1f(x)dx.
解 ʃ1
－1f(x)dx＝ʃ0
－1x2dx＋ʃ1
0(cos x－1)dx
＝1
3
x3|0
－1＋(sin x－x)|1
0＝sin 1－2
3
.
探究点三 定积分的应用
例 3 计算下列定积分：
ʃπ
0 sin xdx，ʃ2π
π sin xdx，ʃ2π
0 sin xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表
示所发现的结论．
解 因为(－cos x)′＝sin x，
所以ʃπ
0 sin xdx＝(－cos x)|π
0
＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；
ʃ2π
π sin xdx＝(－cos x)|2π
π
＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2；
ʃ2π
0 sin xdx＝(－cos x)|2π
0
＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.
反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是 0：
定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于 x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的
积分；(2)位于 x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就
是位于 x 轴上方曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
跟踪训练 3 求曲线 y＝sin x 与直线 x＝－π
2
，x＝5
4
π，y＝0 所围图形的面积(如图所示)．
解 所求面积为
S＝
5 π4
π
2
－π
2
|sin x|dx
＝－ 0
π
2
sin xdx＋ʃπ
0 sin xdx－
5 π4
π sin xdx
＝1＋2＋(1－ 2
2
)＝4－ 2
2
.
1．
π
2
π
2
(1＋cos x)dx 等于( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
答案 D
解析 ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，
∴
π
2
π
2
(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)|
π
2
π
2
＝π
2
＋sinπ
2
－ －π
2
＋sin
－π
2 ＝π＋2.
2．若ʃa
1(2x＋1
x
)dx＝3＋ln 2，则 a 的值是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 ʃa
1(2x＋1
x
)dx＝ʃa
12xdx＋ʃa
1
1
x
dx
＝x2|a
1＋ln x|a
1＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
解得 a＝2.
3．ʃ2
0(x2－2
3
x)dx＝________.
答案 4
3
解析 ʃ2
0(x2－2
3
x)dx＝ʃ2
0x2dx－ʃ2
0
2
3
xdx
＝x3
3
|2
0－x2
3
|2
0＝8
3
－4
3
＝4
3
.
4．已知 f(x)＝
4x－2π，0≤x≤π
2
，
cos x，π
2
0
x＋ a
03t2dt，x≤0
，
若 ff(1)]＝1，则 a＝________.
答案 1
解析 因为 x＝1>0，所以 f(1)＝lg 1＝0.又 x≤0 时，f(x)＝x＋ʃa
03t2dt＝x＋t3|a
0＝x＋a3，
所以 f(0)＝a3.
因为 ff(1)]＝1，所以 a3＝1，
解得 a＝1.
9．设 f(x)是一次函数，且ʃ1
0f(x)dx＝5，ʃ1
0xf(x)dx＝17
6
，则 f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝4x＋3
解析 ∵f(x)是一次函数，设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
ʃ1
0f(x)dx＝ʃ1
0(ax＋b)dx＝ʃ1
0axdx＋ʃ1
0bdx＝1
2
a＋b＝5，ʃ1
0xf(x)dx＝ʃ1
0x(ax＋b)dx＝ʃ1
0(ax2)dx＋ʃ1
0bxdx
＝1
3
a＋1
2
b＝17
6
.
由
1
2
a＋b＝5，
1
3
a＋1
2
b＝17
6
，
得
a＝4，
b＝3.
10．计算下列定积分：
(1)ʃ2
1(ex＋1
x
)dx；(2)ʃ9
1 x(1＋ x)dx；
(3)ʃ20
0 (－0.05e－0.05x＋1)dx；
(4)ʃ2
1
1
xx＋1
dx.
解 (1)∵(ex＋ln x)′＝ex＋1
x
，
∴ʃ2
1(ex＋1
x
)dx＝(ex＋ln x)|2
1＝e2＋ln 2－e.
(2)∵ x(1＋ x)＝x＋ x，(1
2
x2＋2
3
3
2x )′＝x＋ x，
∴ʃ9
1 x(1＋ x)dx＝(1
2
x2＋2
3
3
2x )|9
1＝172
3
.
(3)∵(e－0.05x＋1)′＝－0.05e－0.05x＋1，
∴ʃ20
0 (－0.05e－0.05x＋1)dx＝e－0.05x＋1|20
0 ＝1－e.
(4)∵ 1
xx＋1
＝1
x
－ 1
x＋1
，
(ln x)′＝1
x
，(ln(x＋1))′＝ 1
x＋1
，
∴ʃ2
1
1
xx＋1
dx＝ln x|2
1－ln(x＋1)|2
1＝2ln 2－ln 3.
11．若函数 f(x)＝
x3，x∈[0，1]，
x，x∈1，2]，
2x，x∈2，3].
求ʃ3
0f(x)dx 的值．
解 由定积分的性质，知：
ʃ3
0f(x)dx＝ʃ1
0f(x)dx＋ʃ2
1f(x)dx＋ʃ3
2f(x)dx
＝ʃ1
0x3dx＋ʃ2
1 xdx＋ʃ3
22xdx
＝x4
4
|1
0＋2
3
x3
2
|2
1＋ 2x
ln 2
|3
2
＝1
4
＋4
3
2－2
3
＋ 8
ln 2
－ 4
ln 2
＝－ 5
12
＋4
3
2＋ 4
ln 2
.
12．已知 f(a)＝ʃ1
0(2ax2－a2x)dx，求 f(a)的最大值．
解 ∵(2
3
ax3－1
2
a2x2)′＝2ax2－a2x，
∴ʃ1
0(2ax2－a2x)dx＝(2
3
ax3－1
2
a2x2)|1
0
＝2
3
a－1
2
a2，
即 f(a)＝2
3
a－1
2
a2＝－1
2
(a2－4
3
a＋4
9
)＋2
9
＝－1
2
(a－2
3
)2＋2
9
，
∴当 a＝2
3
时，f(a)有最大值2
9
.
三、探究与拓展
13．求定积分ʃ3
－4|x＋a|dx.
解 (1)当－a≤－4 即 a≥4 时，
原式＝ʃ3
－4(x＋a)dx＝(x2
2
＋ax)|3
－4＝7a－7
2
.
(2)当－4<－a<3 即－3
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