江苏省苏锡常镇四市2020届高三第一次教学情况调研数学试题 Word版含解析

江苏省苏锡常镇四市2020届高三第一次教学情况调研数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）‎ 数学I 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1.已知i为虚数单位，复数，则＝_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.‎ ‎【详解】．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎2.已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为_______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用AB中有且只有一个元素，可得，可求实数a的值.‎ ‎【详解】由题意AB中有且只有一个元素，所以，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，集合交集的运算本质是存同去异，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．‎ ‎【答案】0.08‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.‎ ‎【详解】首先求得，‎ ‎．‎ 故答案为：0.08.‎ ‎【点睛】本题主要考查数据的方差，明确方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝_______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线的焦点在轴上，渐近线为，结合渐近线方程为可求.‎ ‎【详解】因为双曲线(a＞0)的渐近线为，且一条渐近线方程为，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线，明确双曲线的焦点位置，写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 乙不输的概率为，填.‎ - 23 -‎ ‎6.下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为_______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用流程图，逐次进行运算，直到退出循环，得到输出值.‎ ‎【详解】第一次：x＝4，y＝16，‎ 第二次：x＝5，y＝32，‎ 第三次：x＝6，y＝64，此时64＞10×6＋3，输出x，故输出x的值为6．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查程序框图的识别，“还原现场”是求解这类问题的良方，侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎7.“直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．‎ ‎【答案】必要不充分 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解直线l1与直线l2平行的等价条件，然后进行判断.‎ - 23 -‎ ‎【详解】“直线l1：与直线l2：平行”等价于a＝±2，‎ 故“直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的必要不充分条件．‎ 故答案为：必要不充分.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把已知条件进行等价转化是求解这类问题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎8.已知等差数列的前n项和为，，，则＝_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求出公差，结合等差数列的通项公式可求.‎ ‎【详解】设公差为，因为，所以，即.‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用等差数列的基本量是求解这类问题的通性通法，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎9.已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数可得切线斜率，利用基本不等式可得切点横坐标，从而可得切线方程.‎ ‎【详解】，‎ ‎，＝1时有最小值1，此时M(1，﹣2)，‎ 故切线方程为：，即．‎ - 23 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切点处的导数值等于切线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎10.已知，(，)，则＝_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得，平方可得.‎ ‎【详解】∵，∴，‎ 则，平方可得．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换，倍角公式的合理选择是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎11.如图，在矩形中，为边中点，，，分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .‎ ‎【答案】‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ 由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为 ‎.‎ 考点：旋转体的组合体.‎ ‎12.在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是_______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把向量进行转化，用表示，利用基本不等式可求实数值.‎ ‎【详解】‎ ‎，解得＝3．‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎13.若函数(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是_______．‎ ‎【答案】(1，)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2]，等价转化为与的图像在(1，)上恰有两个交点，考虑相切状态可求a的取值范围.‎ ‎【详解】由题意知：与的图像在(1，)上恰有两个交点 - 23 -‎ 考查临界情形：与切于，‎ ‎．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，把已知条件进行等价转化是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎14.如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据点共线得到，从而得到O的轨迹为阿氏圆，结合三角形和三角形的面积关系可求.‎ ‎【详解】设 B，O，E共线，则，解得，从而O为CD中点，故.‎ 在△BOD中，BD＝2，，易知O的轨迹为阿氏圆，其半径，‎ 故．‎ 故答案为：.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题主要考查三角形的面积问题，把所求面积进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣asinB＝0．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理化简已知等式可得sinBcosA﹣sinAsinB＝0，结合sinB＞0，可求tanA＝，结合范围A∈（0，π），可得A的值；（2）由已知可求C＝，可求b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】（1）∵bcosA﹣asinB＝0．‎ ‎∴由正弦定理可得：sinBcosA﹣sinAsinB＝0，‎ ‎∵sinB＞0，‎ ‎∴cosA＝sinA，‎ ‎∴tanA＝，‎ ‎∵A∈（0，π），‎ ‎∴A＝；‎ ‎（2）∵a＝2，B＝，A＝，‎ ‎∴C＝，根据正弦定理得到 ‎ ‎∴b＝6，‎ ‎∴S△ABC＝ab＝＝6．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ - 23 -‎ ‎16.如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：AP∥平面EBD；‎ ‎（2）证明：BE⊥PC．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结AC交BD于点O，连结OE，利用三角形中位线可得AP∥OE，从而可证AP∥平面EBD；‎ ‎（2）先证明BD⊥平面PCD，再证明PC⊥平面BDE，从而可证BE⊥PC．‎ ‎【详解】证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE 因为四边形ABCD为平行四边形 ‎∴O为AC中点，‎ 又E为PC中点，‎ 故AP∥OE，‎ 又AP平面EBD，OE平面EBD 所以AP∥平面EBD ；‎ ‎（2）∵△PCD为正三角形，E为PC中点 所以PC⊥DE 因为平面PCD⊥平面ABCD，‎ 平面PCD平面ABCD＝CD，‎ 又BD平面ABCD，BD⊥CD ‎∴BD⊥平面PCD 又PC平面PCD，故PC⊥BD - 23 -‎ 又BDDE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE 故PC⊥平面BDE 又BE平面BDE，‎ 所以BE⊥PC．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，线面平行一般转化为线线平行来证明，直线与直线垂直通常利用线面垂直来进行证明，侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎17.某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M ），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．‎ ‎（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；‎ ‎（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．‎ ‎【答案】（1）见解析，，x[0，1]；（2）P(，)时，视角∠EPF最大．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系，设出方程，通过点的坐标可求方程；‎ ‎（2）设出的坐标，表示出，利用基本不等式求解的最大值，从而可得观测点P的坐标．‎ ‎【详解】（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系 - 23 -‎ 由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为 代入点B得：p＝1，故方程为，x[0，1]；‎ ‎（2）设P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝，∠FPQ＝‎ ‎，，‎ 令，，则：‎ ‎，‎ 当且仅当即，即，即时取等号；‎ 故P(，)时视角∠EPF最大，‎ 答：P(，)时，视角∠EPF最大．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥曲线的实际应用，理解题意，构建合适的模型是求解的关键，涉及最值问题一般利用基本不等式或者导数来进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．‎ - 23 -‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解即可.‎ ‎（2）把面积之比转化为纵坐标之间的关系，联立方程结合韦达定理可求.‎ ‎【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：；解得，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）知：F(﹣1，0)，设l：，D(，)，E(，)，＜0＜‎ ‎①，‎ ‎，‎ ‎，②；③；‎ 由①②得：，，‎ - 23 -‎ 代入③得：，又，故，‎ 因此，直线l的方程为．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题，椭圆方程一般利用待定系数法，建立方程组进行求解，面积问题的合理转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎19.已知函数(mR)的导函数为．‎ ‎（1）若函数存在极值，求m的取值范围；‎ ‎（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意mR，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．‎ ‎【答案】（1）（2）{1，2}．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求解导数，表示出，再利用的导数可求m的取值范围；‎ ‎（2）表示出，结合二次函数知识求出的最小值，再结合导数及基本不等式求出的最值，从而可求正整数k的取值集合．‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以，‎ 则，‎ 由题意可知，解得；‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 所以 - 23 -‎ 因为 整理得，‎ 设，则，所以单调递增，‎ 又因为， ‎ 所以存在，使得，‎ 设，是关于开口向上的二次函数，‎ 则，‎ 设，则，令，则，‎ 所以单调递增，因为，‎ 所以存在，使得，即，‎ 当时，，当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 又由题意可知，所以，‎ 解得，所以正整数k的取值集合为{1，2}．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题一般转化为导数的零点问题，恒成立问题要逐步消去参数，转化为最值问题求解，适当构造函数是转化的关键，本题综合性较强，难度较大，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.‎ - 23 -‎ ‎20.已知数列，，数列满足，n．‎ ‎（1）若，，求数列的前2n项和；‎ ‎（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．‎ ‎①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；‎ ‎②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）①见解析②数列不能为等比数列，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解；‎ ‎（2）①设数列的公差为，数列的公差为，当n为奇数时，得出；当n为偶数时，得出，从而可证数列，的公差相等；‎ ‎②利用反证法，先假设可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列不能为等比数列．‎ ‎【详解】（1）因为，，所以，且，‎ 由题意可知，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ 数列是首项和公比均为4的等比数列，‎ 所以；‎ ‎（2）①证明：设数列的公差为，数列的公差为，‎ 当n为奇数时，，‎ - 23 -‎ 若，则当时，，‎ 即，与题意不符，所以， ‎ 当n为偶数时，，，‎ 若，则当时，，‎ 即，与题意不符，所以，‎ 综上，，原命题得证；‎ ‎②假设可以为等比数列，设公比为q，‎ 因为，所以，所以，，‎ 因为当时，‎ ‎，‎ 所以当n为偶数，且时，，‎ 即当n为偶数，且时，不成立，与题意矛盾，‎ 所以数列不能为等比数列．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的求和及数列的综合，数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法，数列综合题要回归基本量，充分挖掘题目已知信息，细思细算，本题综合性较强，难度较大，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.‎ 第II卷（附加题，共40分）‎ ‎【选做题】本题包括三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ 选修4—2：矩阵与变换 ‎21.已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.‎ - 23 -‎ ‎【答案】特征值为1，特征向量为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量.‎ ‎【详解】设矩阵M＝，则AM＝，‎ 所以，解得，所以M＝，‎ 则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，‎ 设特征值的特征向量为，则，‎ 即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为．‎ ‎【点睛】本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.‎ 选修4—4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sinq.‎ ‎（1）求曲线C的普通方程；‎ ‎（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）(2，)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式求解.‎ ‎（2）先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可.‎ ‎【详解】（1）∵曲线C的极坐标方程为，‎ ‎∴，则,‎ 即.‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ 联立可得，‎ ‎（舍）或，‎ 公共点(，3)，化为极坐标(2，)．‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.‎ 选修4—5：不等式选讲 ‎23.已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且的最小值为，求实数t的值.‎ ‎【答案】t＝4‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 把变形为结合基本不等式进行求解.‎ ‎【详解】因为 - 23 -‎ 即，当且仅当，，时，上述等号成立，‎ 所以，即，又x，y，z＞0，所以x+y+z=t＝4．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.‎ ‎（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;‎ ‎（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.‎ ‎【答案】（1）分布见解析，期望为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先明确X的可能取值，分别求解其概率，然后写出分布列，利用期望公式可求期望；‎ ‎（2）获得的奖金恰好为60元，可能是三次二等奖，也可能是一次一等奖，两次三等奖，然后分别求解概率即可.‎ ‎【详解】（1）由题意知，随机变量X的可能取值为10，20，40‎ 且，，‎ - 23 -‎ 所以，‎ 即随机变量X的概率分布为 X ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ P 所以随机变量X的数学期望.‎ ‎（2）由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A，‎ 因为60＝20×3＝40＋10＋10，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查随机变量的分布列及数学期望，明确随机变量的所有取值是求解的第一步，再求解对应的概率，侧重考查数学建模的核心素养.‎ ‎25.已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.‎ ‎（1）求点G的轨迹方程；‎ ‎（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）当G点横坐标为整数时，S不是整数．‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求解导数，得出切线方程，联立方程得出交点G的轨迹方程；‎ ‎（2）先求解弦长，再分别求解点到直线的距离，表示出四边形的面积，结合点G的横坐标为整数进行判断.‎ ‎【详解】（1）设，则，‎ 抛物线C的方程可化为，则，‎ 所以曲线C在点A处的切线方程为，‎ 在点B处的切线方程为，‎ 因为两切线均过点G，所以，‎ 所以A，B两点均在直线上，所以直线AB的方程为，‎ 又因为直线AB过点F(0，p)，所以，即G点轨迹方程为；‎ ‎（2）设点G(，)，由（1）可知，直线AB的方程为，‎ 即，‎ 将直线AB的方程与抛物线联立，，整理得，‎ 所以，，解得，‎ 因为直线AB的斜率，所以，‎ 且，‎ - 23 -‎ 线段AB的中点为M，‎ 所以直线EM方程为：，‎ 所以E点坐标(0，)，‎ ‎ 直线AB的方程整理得，‎ 则G到AB的距离，‎ 则E到AB的距离，‎ ‎ 所以，‎ 设，因为p是质数，且为整数，所以或，‎ 当时，，是无理数，不符题意，‎ 当时，，‎ 因为当时，，即是无理数，所以不符题意，‎ 当时，是无理数，不符题意，‎ 综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的切线问题通常借助导数来求解，四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题，表示出面积的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ - 23 -‎ - 23 -‎