高中数学讲义微专题74 利用几何关系求解圆锥曲线问题

高中数学讲义微专题74 利用几何关系求解圆锥曲线问题

微专题 74 利用几何关系求解最值问题 一、基础知识： 1、利用几何关系求最值的一般思路: （1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关 （2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时， 便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法 取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的， 寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在 定点连成的线段延长线上。 （3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段 用其它线段进行表示，进而找到最值位置 （4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时 最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。 2、常见的线段转移： （1）利用对称轴转移线段（详见例 1） （2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切 线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。 （3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的 相互转化。 （4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径 （5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注 意点在双曲线的哪一支上） 3、与圆相关的最值问题： （1 ）已知圆 及圆外一定点 ，设圆 的半径为 则圆上点到 点距离的最小值为 ，最大值为 （即 连结 并延长， 为 与圆的交点， 为 延长线与圆的交 点 （2）已知圆 及圆内一定点 ，则过 点的所有弦中最长的为直径， 最短的为与该直径垂直的弦 C P C r P PM PC r  PN PC r  PC M PC N PC C P P MN C P A B 解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为 ，若 最小，则 要取最大，在圆中 为定值，在弦绕 旋转的过程中， ，所以 时， 最小 （3）已知圆 和圆外的一条直线 ，则圆上点到直线距离的最 小 值 为 ， 距 离 的 最 大 值 为 （过圆心 作 的垂线，垂足为 ， 与圆 交于 ，其 反向延长线交圆 于 （4）已知圆 和圆外的一条直线 ，则过直线 上的点作圆 的切线，切线长的最小值为 解： ，则若 最小，则只需 最小即可， 所以 点为过 作 垂线的垂足时， 最小 过 作圆的切线，则切线长 最短 4、与圆锥曲线相关的最值关系： （1）椭圆：设椭圆方程为 ① 焦半径：焦半径的最大值为 ，最小值为 ② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为 ，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直 （2）双曲线：设双曲线方程为 ① 焦半径：焦半径的最小值为 ，无最大值 ② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为 ，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直 （3）抛物线：设抛物线方程为 ① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即 ② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为 2 22AB r d  AB d CP P d CP d CP AB C l C lPM d r  C lPN d r  C l P CP C M C N C l l PM 2 2PM CP r  PM CP P C l CP  P PM   2 2 2 2 1 0x y a ba b    a c a c 22b a   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    a c 22b a 2 2y px 2 p 2p l M C P N l C P M 二、典型例题： 例 1：已知在平面直角坐标系中，点 ， 为 轴上一动点，则 的 最小值为___________ 思路：从所求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大 于第三边（而三点共线时可能相等），由已知可得： ， 但从图像上发现无论 在何处， ，无法 取到等号。（即使 共线时等号也不成立），为了取到 最值。考虑利用对称转移所求线段。作 关于 轴的对称点 ，从而有 ，所以 转化为 ，可知当 三点共线时， ，即 答案： 小 炼 有 话 说 ：（1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间时，则距离和取到最小 值。同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。 （2）处理线段和（差）最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段 转移法”，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件 例 2：设抛物线 上一点 到此抛物线准线的距离为 ，到直线 的 距离为 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 思路：通过作图可观察到直接求 的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知可 得 为 到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为 （ 其 中 是 抛 物 线 的 焦 点 ， ）， 所 以 ， 观 察 图 像 可 得 ：    1,1 , 3,4A B P x PA PB 5AB  P PA PB AB  , ,P A B A x 'A 'AP A P PA PB 'PA PB ', ,A P B  ' ' min 41PA PB A B    min 41PA PB  41 2 4y x P 1d :3 4 12 0l x y   2d 1 2d d 3 16 5 18 5 4 1 2d d 1d P PF F  1,0F 1 2 2d d PF d   答案：A 例 3：已知过抛物线 的焦点 的弦与抛物线交于 两点，过 分别作 轴的垂 线，垂足分别为 ，则 的最小值为__________ 思路：设抛物线的准线为 ，由抛物线 可知 ， 观察图像可知 。而由抛物线定义可 得 ： ， 所 以 ， 即 要 求 出 的最小值，只需求出 的最小值，即抛物线焦点弦 的 最 小 值 ， 由 抛 物 线 性 质 可 知 当 轴 时 ， 最 小 ， ， 所 以 答案： 例 4：已知点 在抛物线 的准线上，过点 作抛物线的切线， 若 切 点 在 第 一 象 限 ， 是 抛 物 线 的 焦 点 ， 点 在 直 线 上 ， 点 在 圆 上，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 思路：由图像可知，固定 点，则圆 上到 距离的最小值 ，所以只 需在直线上找到与圆心 距离最小的点，即 到直线 的 距离。需要确定抛物线方程和 点坐标，由 可得 准 线 方 程 为 ， 所 以 ， 抛 物 线 方 程 为 ， 焦 点 设 ， 则 2 3 1 12 35F lPF d d       2 4y x F ,A B ,A B y ,C D AC BD l 2 4y x : 1l x   1, 1A l B lAC d BD d     ,A l B ld AF d BF   1 1 2AC BD AF BF AB       AC BD AB AB x AB min 2 4AB p   min 2AC BD  2 3, 12P     2: 2 0E x py p  P A F M AF N    2 2: 2 2 1C x y    MN 1 5 6 5 2 6 2 1 M C M 1CM r CM   C C AF A 3, 12P    1y   2p  2 214 4x y y x    0,1F 21, 4A a a     ， 切 线 斜 率 ， 从 而 ， 即 ， ， 所 以 直 线 方 程 ： ， 从 而 答案：A 例 5：抛物线 上的点到直线 距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 思路一：直接利用点到直线距离公式得到距离关于 的函数，设抛物线上的点 ，则 ，所以最小值为 思路二：本题也可将直线进行平移，平移至与抛物线相切，则两直线之间的距离即为所求最 小值。所以只需求与已知直线平行且与抛物线相切的直线，设切点 坐 标 为 ， 所 求 函 数 的 导 数 ， 因 为 切 线 与 平 行 ， 所 以 ， 可 得 ， 进 而 ，故切线方程为： ，整理后可 得： ，所以两直线距离 ，即 抛物线上的点到距离的最小值 答案：B 例 6 ： 已 知 点 是 抛 物 线 的 一 点 ， 为 抛 物 线 的 焦 点 ， 在 圆 上，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 思路：本题含两个动点 ，先固定一个点不动，寻找最小值的规律。考虑固定 ，则圆 ' 1 2y x 1 2k a 21 1 14 43 2 2 a k a a a        4,4A 4 1 3 4 0 4AFk   AF 3 4 4 0x y    min 22 6 8 4 11 53 4 MN        2y x  4 3 8 0x y   1 4 4 3 8 5 3 x  2,P x x 2 2 2 2034 3 8 3 3 20 1 4 5 5 3 5 3P l xx x d             4 3  0 0,x y ' 2y x  4 3 8 0x y   0 42 3x   0 2 3x  2 0 0 4 9y x    4 4 2 9 3 3y x       44 3 03x y   48 3 4 5 3d        M 2 4y x F A    2 2: 4 1 1C x y    MA MF 2 3 4 5 ,M A M 上距离 最近的点为 与圆的交点，即 ，所以只需考虑 的最小值即可，通过移动 可知，无论 位于何处， ， 所 以 不 是 最 小 值 。 考 虑 转 移 线 段 ， 抛 物 线 的 准 线 ， 则 ， 所 以 （即 到准线的距离， 所以 答案：C 例 7 ： 已 知 动 点 在 椭 圆 上 ， 若 点 的 坐 标 为 ， ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 思路：由椭圆方程可知 即为椭圆的焦点，由 可知 是以 为圆心，半径为 1 的 圆上的点， 在圆外，且由 可得 ，所以 即为圆上的切线， 的 最 小 值 即 切 线 长 的 最 小 值 ， 由 圆 的 性 质 可 得： ，所以只需找到 的最 小值即可，由椭圆性质可知： ，故 答案：B 例 8：设 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上的任意一 点 ， 点 的 坐 标 为 ， 则 的 最 大 值 为 ___________ 思路：先作出椭圆图像，标出定点 的位置，若从 入手， 则由图发现无论 在何处， 。与所求最大值不符。考虑进行线段转移， M MC min 1MA MC r MC    MC MF M M MC MF CF  CF : 1l x   M lMF d  5M l C lMC MF MC d d      C 1 1 4C lMA MF MC MF d         ,P x y 2 2 125 16 x y  A  3,0 1, 0AM PM AM     PM 2 3 2 3 A 1AM  M A P 0PM AM   PM AM PM PM 2 22 1PM PA r PA    PA min 5 3 2PA a c     2 min min 1 3PM PA   1F 2 2 125 16 x y  P M  6,4 1PM PF 1,M F 1F M P 1 1PM PF F M  发现 为左焦半径，所以考虑作出右焦点 ，利用 进行线段 转移。即 ，只需求出 ，结合图像可得 ， 且 ， 从 而 可 得 ： 答案：15 例 9 ： 设 是 椭 圆 上 一 点 ， 分 别 是 两 圆 和 上的点，则 的最小值和最大值分别为（ ） A. 4,8 B. C. D. 思路：本题有三个动点 ，但观察可得 之间没 有联系，所以若 达到最小，则只需 分别 达 到 最 小 即 可 。 固 定 点 ， 可 知 ， 所以 ，可知 恰好为椭圆两个定点，所以由 椭圆定义可得： ，所以 ，同理可知： ， 所 以 答案：A 例 10 ： 设 分 别 为 和 椭 圆 上 的 点 ， 则 两 点 间 的 最 大 距 离 是 ___________ 思路：本题中 均为动点，所以考虑先固定一点不动， 比如 点，寻找此时达到最值时 位置的规律，进而再 1PF  2 3,0F 1 2 2 10PF PF a   1 210PM PF PM PF     2 maxPM PF 2 2PM PF F M     2 2 2 6 3 4 0 5F M       1 2max 10 15PM PF F M    P 2 2 19 5 x y  ,M N  2 2 1 : 2 1C x y   2 :C  2 22 1x y   PM PN 2,6 6,8 8,12 , ,P M N ,PM PN PM PN ,PM PN P 1 1 1 2 2 2min min1, 1PM PC r PC PN PC r PC        1 2 2PM PN PC PC       1 22,0 , 2,0C C 1 2 2 6PC PC a    min 6 2 4PM PN    1 1 1 2 2 2max max1, 1PM PC r PC PN PC r PC         max 6 2 8PM PN    ,P Q  22: 6 2C x y   2 2 110 x y  ,P Q ,P Q Q P 让 运动起来，找到最值。观察图像可得 点固定时， 达到的最大值时 在 延长线 与 的交点处，即 ，由于 ，所以只需找到 的最大值即可，设 ，而 ，则 ，由 可得 ，代入 消 去 可 得 ： ， 因 为 ，所以当 时， ，从而 答案： 三、历年好题精选 1、（2014，安徽）在平面直角坐标系 中，已知向量 ，点 满足 ，曲线 ，区域 ，若 为两段分离的曲线，则（ ） A. B. C. D. 2、已知直线 和直线 ，则抛物线 上一动点 到直线 的距离之和的最小值是（ ） A. B. C. D. 3、已知点 和 ， 是椭圆 上一动点，则 的最 大值为_________ 4、已知点 在抛物线 的准线上，过点 作抛物线的切线，若切 点 在第一象限， 是抛物线的焦点，点 在直线 上，点 在圆 上，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 5、已知圆 ，圆 , 分别是圆 上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为 （ ） Q Q PQ P QC C PQ QC r  2r  QC  ,Q x y  0,6C  2 22 6QC x y   2 2 110 x y   2 210 1x y  x     2 2 22 2 210 1 6 9 12 46 9 503QC y y y y y                1,1y   2 3y   2 max 50 5 2QC QC   6 2PQ QC r   6 2 xOy , , 1, 0a b a b a b         Q  2OQ a b     | cos sin ,0 2C P OP a b           | 0 ,P r PQ R r R      C  1 3r R   1 3r R   1 3r R   1 3r R   1 : 4 3 6 0l x y   2 : 1l x   2 4y x P 1 2,l l 2 3 11 5 37 16  4,0A  2,2B M 2 2 125 9 x y  MA MB 3, 12P     2: 2 0E x py p  P A F M AF N    2 2: 2 2 1C x y    MN 1 5 6 5 2 6 2 1    2 2 1 : 2 3 1C x y       2 2 2 : 3 4 9C x y    ,M N 1 2,C C P x PM PN A． B． C． D． 6、（2016，绵阳二模）已知点 P 在单位圆 上运动，点 P 到直线 与 的距离分别记为 ，则 最小值为_________． 7、已知点 是双曲线 的右支上一点， 分别是圆 和 上的点，则 的最大值为_________ 习题答案： 1、答案：A 5 2 4 17 1 6 2 2 17 122  yx 3 4 10 0x y   3x  1 2,d d 1 2d d P 2 2 136 64 x y  ,M N  2 210 4x y    2 210 1x y   PM PN 解析：由 的特点可以以 所在直线为坐标轴建系，则有 ， 所以曲线 上点的坐标为 ，即圆心是原点的单位圆；另一方面 可得 ，所以 区域为以 为圆心， 为半径的 圆环。通过数形结合可得若 为两段分离的曲线，意味着以 为圆心， 为 半径的圆均与单位圆相交。所以 2、答案：A 解析：观察直线 的方程恰好是抛物线的准线，所以想到 到 的距离与 相等（ 是抛 物线的焦点）。以此为突破口进行线段转移，所以 ，通过作图观察 可得 （等号成立条件： 为 到 的垂线与抛物线的焦点），且 ， 所以 3、答案：10＋2 10 解析：可知 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点 为 ，连接 并延长交椭圆于 ，则 是使 取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点 有： 4、答案：A 解析：由点 在抛物线准线上可得： 设 解得： （舍） 由 可得 的方程为： ,a b  ,a b     1,0 , 0,1a b   C  cos ,sin   2, 2OQ   2, 2 , 2Q OQ   Q ,r R C  Q ,r R 1 1 1 3 1 OQ r R r R OQ R            2l P 2l PF F 1 2 1P l P l P ld d d PF     1 1P l F ld PF d   P F 1l  1,0F  1 2 1min 4 0 6 25P l P l F ld d d        A  1 4,0A  1BA 1M 1M MA MB M 2 2 1 12 2 2 5 6 2 10 2 10MA MB a MA MB a A B            3, 12P    2p  2 21: 4 4E x y y x    ' 1 2y x  21, 4A a a     2 ' 1 1 14| 3 2 2 AP x a a k y a a        4, 1a a    4,4A  0,1F AF 31 3 4 4 04y x x y      在直线 上， 在圆上 5、答案：A 解析：设圆 的半径为 ，即 ，可知 关于 轴对称点为 ，等号成立条件： 共线 6、答案： 解析：设点 ，可得 ， ，所以 ，所以 的最小值为 7、答案：15 解析：在双曲线 中， M AF N     2 2 3 2 4 2 4 6 11 15 53 4C lMN d r              1 2,C C 1 2,r r 1 2 1 3 r r    1 1 2 2,PM PC r PN PC r    1 2 1 2 1 2 4PM PN PC PC r r PC PC         1 2,3C x  ' 1 2, 3C     2 2' ' 1 2 1 2 1 2 2 3 3 4 5 2PC PC PC PC C C           5 2 4PM PN    ' 1 2, ,C C P 4 55 5  cos ,sinP   1 2 2 3cos 4sin 10 10 4sin 3cos 53 4 d          2 3 cosd      1 2 1 4 55 4sin 8cos 5 sin5 5d d           1 2d d 4 55 5 2 2 136 64 x y  6, 8, 10a b c      1 210,0 , 10,0F F  1 2 2 12PF PF a   1 1 2 2,MP PF MF PN PF NF    1 1 2 2 15PM PN PF MF PF NF      