2019年高考数学练习题汇总高考解答题仿真练3
高考解答题仿真练3
1．(2018·全国大联考江苏卷)设f(α)＝m·n，其中向量m＝，n＝
.
(1)若f(α)＝－1，求cos的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B＋bcos A＋2c·cos C＝0，求函数f(A)的取值范围．
解 (1)∵f(α)＝m·n＝－1，
∴cos ·2sin ＋·＝－1，
∴sin ＋·cos＝－，
即sin＝－，
∴cos＝cos
＝sin＝－.
(2)由题意，得
f(A)＝cos ·2sin ＋·
＝sin ＋cos －
＝sin－，
在△ABC中，
由acos B＋bcos A＋2c·cos C＝0及正弦定理知，
sin Acos B＋sin Bcos A＋2sin C·cos C＝0，
∴sin(A＋B)＋2sin(A＋B)·cos C＝0，
又∵sin(A＋B)≠0，∴cos C＝－，
∵C∈(0，π)，∴C＝，
∴0
0.
故f(θ)在上单调递减，在上单调递增，
从而当θ＝时，f(θ)取得最小值，最小值为f＝1.
所以Wmin＝120(万元)．
答 表演台的最低造价为120万元．
4．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，且过点P(2,1)和A(5,0)，过点P且垂直于直线OP的直线l与圆C：x2＋y2＝25交于R(x1，y1)，S(x2，y2)两点(其中y1>0，y2<0)，T为圆C上异于R，S的任意一点，射线RT，ST分别交直线OP于M，N两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若T点的坐标为(3,4)，求点N的坐标；
(3)设M，N的横坐标分别为s，t，试探究s·t是否为定值？若为定值，求出这个值；若不为定值，请说明理由．
解 (1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)易知直线l的方程为y＝－2x＋5，
联立解得或
即R(0,5)，S(4，－3)，
则直线ST的方程为y＝－7x＋25，
联立解得即N.
(3)①当T(0，－5)时，kTS＝kOP，不符合题意；
当T(4,3)时，直线RT的方程为y＝－x＋5，
联立得s＝5，
直线ST的方程为x＝4，则t＝4，此时，s·t＝20.
②设T(x0，y0)(x0≠0，且x0≠4)，
则直线RT的方程为y＝x＋5，
联立解得s＝，
直线ST的方程为y＝(x－4)－3，
联立解得t＝，
所以s·t＝·
＝－5··
＝－20·
＝－20·＝20.
综上，s·t为定值20.
5．(2018·启东期末)已知函数f(x)＝ex＋ae－x－1，集合A＝{x|x2－x≤0}．
(1)当a＝－3时，解不等式f(x)>1；
(2)若B＝{x|log2f(x)≥1}，且A∩B≠∅，求实数a的取值范围；
(3)当a>1时，若函数f(x)的定义域为A，求函数f(x)的值域．
解 (1)当a＝－3时，由f(x)>1得ex－3e－x－1>1，
所以e2x－2ex－3>0，即(ex－3)(ex＋1)>0，
所以ex>3，故x>ln 3，所以不等式的解集为(ln 3，＋∞)．
(2)由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}．
因为A∩B≠∅，
所以log2f(x)≥1在[0,1]上有解，
即 f(x)≥2在[0,1]上有解，
即ex＋ae－x－3≥0在[0,1]上有解，
所以a≥3ex－e2x在[0,1]上有解，
即a≥(3ex－e2x)min.
由0≤x≤1得1≤ex≤e，
所以3ex－e2x＝－2＋∈，
所以a≥3e－e2.
(3)设t＝ex，由(2)知1≤t≤e，
记g(t)＝t＋－1(t>1，a>1)，
则g′(t)＝1－＝，
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表所示.
t
(1，)
(，＋∞)
g′(t)
－
0
＋
g(t)
↘
极小值
↗
①当≥e，即a≥e2时，g(t)在[1，e]上单调递减，
所以g(e)≤g(t)≤g(1)，
即e＋－1≤g(t)≤a.
所以f(x)的值域为.
②当1<e＋－1，即ea1且{b2n}单调递减，
从而b1
查看更多
