2019年高考数学练习题汇总(四)不等式选讲

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文档介绍

2019年高考数学练习题汇总(四)不等式选讲

‎(四)不等式选讲 ‎1.已知正数x,y满足x2+y2=2,求证:x+y≥2xy.‎ 证明 ∵x>0,y>0,‎ ‎∴要证x+y≥2xy,只要证(x+y)2≥4x2y2,‎ 即证x2+y2+2xy≥4x2y2.‎ ‎∵x2+y2=2,∴只要证2+2xy≥4x2y2,‎ 即证2(xy)2-xy-1≤0,即证(2xy+1)(xy-1)≤0.‎ ‎∵2xy+1>0,∴只要证xy≤1.‎ ‎∵2xy≤x2+y2=2,∴xy≤1成立,‎ 当且仅当x=y=1时取等号.‎ ‎∴x+y≥2xy.‎ ‎2.已知a,b,c都是正数且abc=1,求证:(2+a)(2+b)(2+c)≥27.‎ 证明 由算术-几何平均不等式可得 ‎2+a=1+1+a≥3,‎ ‎2+b=1+1+b≥3,‎ ‎2+c=1+1+c≥3.‎ 不等式两边分别相乘可得,‎ ‎(2+a)(2+b)(2+c)≥3×3×3=27=27,‎ 当且仅当a=b=c=1时等号成立.‎ ‎3.已知函数f(x)=2|x-2|+3|x+3|.若函数f(x)的最小值为m,正实数a,b满足4a+25b=m,求+的最小值,并求出此时a,b的值.‎ 解 依题意知,f(x)= 当x=-3时,函数f(x)有最小值10,故4a+25b=10,‎ 故+= ‎ ‎=≥=,‎ 当且仅当=时等号成立,‎ 此时a=,b=.‎ ‎4.(2018·镇江调研)已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|,若对任意x∈R,不等式f(x)>a2-3恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解 ∵对任意x∈R,不等式f(x)>a2-3恒成立,‎ ‎∴f(x)min>a2-3,‎ 又∵|x-a|+|x+a|≥ |x-a-(x+a)|=|2a|,‎ ‎∴|2a|>a2-3,‎ 即|a|2-2|a|-3<0,‎ 解得-1<|a|<3.‎ ‎∴-3
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