2019年高考数学练习题汇总解答题滚动练2

2019年高考数学练习题汇总解答题滚动练2

解答题滚动练2‎ ‎1.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.‎ ‎(1)求cos(α－β)的值；‎ ‎(2)求2α－β的值．‎ 解　(1)由S△OAM＝和α为锐角，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝.‎ 又点B的纵坐标是，‎ ‎∴sin β＝，cos β＝－.‎ ‎∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋×＝－.‎ ‎(2)∵cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，‎ sin 2α＝2sin α·cos α＝2××＝，‎ ‎∴2α∈.‎ ‎∵β∈，∴2α－β∈.‎ ‎∵sin(2α－β)＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ ‎2．如图，在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝PC＝2，AC＝4，∠PBC＝，点E在BC上，且BE＝EC.‎ ‎(1)求证：平面PAB⊥平面PBC；‎ ‎(2)求AE与平面PAB所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　因为PC⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，‎ 所以PC⊥AB，PC⊥BC.‎ 又因为在△PBC中，PC＝2，∠PBC＝，所以BC＝2，‎ 而AB＝2，AC＝4，所以AC2＝AB2＋BC2，‎ 所以AB⊥BC.‎ 又AB⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，‎ 所以AB⊥平面PBC，又AB⊂平面PAB，‎ 所以平面PAB⊥平面PBC.‎ ‎(2)解　设AE与平面PAB所成的角为θ.‎ 因为BE＝EC，‎ 所以点E到平面PAB的距离dE＝dC(dC表示点C到平面PAB的距离)．‎ 过C作CF⊥PB于点F，‎ 由(1)知CF⊥平面PAB，‎ 易得dC＝CF＝，所以dE＝dC＝.‎ 又AE＝＝，‎ 所以sin θ＝＝.‎ ‎3．已知数列{an}的各项均为非负数，其前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有an＋1≤.‎ ‎(1)若a1＝1，a505＝2 017，求a6的最大值；‎ ‎(2)若对任意n∈N*，都有Sn≤1，求证：0≤an－an＋1≤.‎ ‎(1)解　由题意知an＋1－an≤an＋2－an＋1，‎ 设di＝ai＋1－ai(i＝1,2，…，504)，‎ 则d1＋d2＋d3＋…＋d504＝a505－a1＝2 016，‎ ‎∵≤＝，‎ ‎∴d1＋d2＋…＋d5≤20，‎ ‎∴a6＝a1＋(d1＋d2＋…＋d5)≤21，‎ ‎∴a6的最大值为21.‎ ‎(2)证明　若存在k∈N*，使得ak0时，g(x)在(－∞，ln a)上单调递减，‎ 在(ln a，＋∞)上单调递增．‎ ‎(2)当x＞0时，x2－x≤ex－ax－1，‎ 即a≤－x－＋1.‎ 令h(x)＝－x－＋1(x＞0)，‎ 则h′(x)＝(x>0)．‎ 令F(x)＝ex(x－1)－x2＋1(x＞0)，‎ 则F′(x)＝x(ex－2)(x>0)．‎ 当x∈(0，ln 2)时，F′(x)＜0，F(x)单调递减；‎ 当x∈(ln 2，＋∞)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增．‎ 又F(0)＝0，F(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，F(x)＜0，‎ 即h′(x)＜0，h(x)单调递减；‎ 当x∈(1，＋∞)时，F(x)＞0，‎ 即h′(x)＞0，h(x)单调递增．‎ 所以h(x)min＝h(1)＝e－1，‎ 所以a∈(－∞，e－1]．‎