高考数学易错题解题方法(4) 共7套 免费

高考数学易错题解题方法(4) 共7套 免费

高考数学易错题解题方法大全（4）(共 7 套) 一.选择题 【范例 1】掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于 4”的概率为（ ） A． 6 1 B． 2 1 C． 3 2 D． 6 5 答案：D 【错解分析】此题主要考查用枚举法计算古典概型。容易错在不细心而漏解。 【解题指导】求古典概型的概率常采用用枚举法，细心列举即可。 【练习 1】矩形 ABCD 中, 7,6  CDAB ,在矩形内任取一点 P ,则 π 2APB  的概率为（ ） A． 28 31  B． 28 3 C． 14 3 D． 14 31  【范例 2】将锐角为 060BAD 且边长是 2 的菱形 ABCD ，沿它的对角线 BD 折成 60°的二面角，则 （ ） ①异面直线 AC 与 BD 所成角的大小是 . ②点C 到平面 ABD 的距离是 . A．90°， 2 3 B．90°， 2 C．60°， 2 3 D．60°，2 答案：A 【错解分析】此题容易错选为 C，错误原因是对空间图形不能很好的吃透。。 【解题指导】设 BD 中点为 O ，则有 AOCBD 平面 ，则 ACBD  .及平面 AOCABD 平面 .且 AOC 是边长为 3 的正三角形，作 AOCE  ，则 ABDCE 面 ，于是异面直线 ACBD与 所成的角是 90°，点 C 到平面 ABD 的距离是 2 3CE . 【练习 2】长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB=AA1=2，AD=1，E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦 值为（ ） A． 10 10 B． 10 30 C． 10 60 D． 10 103 【范例 3】已知 P 为抛物线 2 2 1 xy  上的动点，点 P 在 x 轴 上的 射影为 M，点 A 的坐标是 )2 17,6( ，则 PMPA  的最小值是 （ ） A 8 B 2 19 C 10 D 2 21 答案：B 【错解分析】此题容易错选为 C，在解决抛物线的问题时经常需要把到焦点的距离和到准线的距离互相转 化。 A BC D A1D1 C1 B1 【 解 题 指 导 】 抛 物 线 yx 22  的 焦 点 为       2 1,0F ， 点 P 到 准 线 的 距 离 为 d 。 则 2 1 2 1  PFPAdPAPMPA ，所以当 P，A，F 三点共线时最小为 2 19 2 1 AF . 【练习 3】已知定点 )4,3(A ，点 P 为抛物线 xy 42  上一动点，点 P 到直线 1x 的距离为 d ，则|PA|+d 的最小值为（ ） A．4 B． 52 C．6 D． 328  【范例 4】函数 ]2,0[,sin2sin)(  xxxxf 的图象与直线 ky  有且仅有两个不同的交点，则 k 的 取值范围是（ ） A． 31  kk B． 31  kk C． 31  kk D． 31  kk 答案：C 【 错 解 分 析 】 此 题 容 易 错 选 为 A ， 错 误 原 因 是 对 函 数 )(xf 不 能 合 理 的 化 为 3sin , [0, ]( ) sin 2 sin sin , ( ,2 ] x xf x x x x x         。 【解题指导】作函数 )(xf 和直线 ky  的草图，借助数形结合，可得， 31  k . 【练习4】函数 xxf sin)(  在区间 ba, 上是增函数，且 ,1)(,1)(  bfaf 则cos 2 ba  的值为（ ） A. 0 B. 2 2 C. 1 D. －1 【范例 5】平面上有 n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成 )(nf 块区域， 有 (1) 2, (2) 4, (3) 8, (4) 14f f f f    ，则 )(nf 的表达式为（ ） A、 n2 B、 22  nn C、 )3)(2)(1(2  nnnn D、 4105 23  nnn 答案：B 【 错 解 分 析 】 此 题 容 易 错 选 为 A ， 错 误 原 因 是 在 作 归 纳 猜 想 时 没 有 认 真 审 题 只 看 到 (1) 2, (2) 4, (3) 8,f f f   导致结论太片面且不合理。 【解题指导】由 (2) (1) 2, (3) (2) 4, (4) (3) 6,f f f f f f      ， ( 1) ( ) 2f n f n n  猜想 利用累加法，得 2)( 2  nnnf . 【练习 5】古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第 30 个三角 数与第 28 个三角数的差为（ ） A. 20 B. 29 C. 30 D. 59 【范例 6】函数 f（x）=3x（x≤2）的反函数的定义域是（ ） A． ( ,9] B．[9, ) C． (0,9] D． (0, ) 答案：C 【错解分析】此题容易错选为 D，错误原因是对原函数与反函数理解不透。 【解题指导】反函数的定义域即为原函数的值域，所以求原函数的值域即可。 【练习 6】若函数 f(x)的反函数 ),0(1)( 21  xxxf 则 )2(f = （ ） A．1 B．－1 C．1 或－1 D．5 二.填空题 【范例 7】若 }1log|{},822|{ 2  xRxBZxA x ，则 BA  = . 答案： 3 【错解分析】此题容易错填为 13， ，错误原因是没有看清楚 A 中的元素要是整数。 【解题指导】    2,3,2,1  xxBA 【练习 7】已知集合    NxNxA 6 8| ，集合 A 的子集共有 个. 【范例 8】给出下列命题 ① 向量 a b  、 满足 a b a b      ，则 与a a b   的夹角为 030 ； ② a  b ＞0，是 a b  、 的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数 y = 1x 的图象按向量 a =(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为 y = x ； ④ 若 )(   ACAB 0)(   ACAB ，则 ABC 为等腰三角形； 以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 答案：③④ 【错解分析】此题容易错选为①②，错误原因是对一些特殊情况考虑不周到。 【解题指导】利用向量的有关概念，逐个进行判断切入， 对于 ① 取特值零向量错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确； 对②取特值夹角为直角错，认识数量积和夹角的关系，命题应为 a  b ＞0，是 a b  、 的夹角为锐角的 必要条件； 对于③，注意按向量平移的意义，就是图象向左移 1 个单位，结论正确； 对于④；向量的数量积满足分配率运算，结论正确. 【练习 8】已知 1 3( , )2 2a   ， (1, 3)b  ，则| | ( )a tb t R   的最小值等于 . 【范例 9】已知抛物线 )1)0(22 mMppxy ，（上一点 到其焦点的距离为 5，双曲线 1 2 2  a yx 的左 顶点为 A，若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直，则实数 a . 答案： 1 4 【错解分析】此题容易错在抛物线不能求对，下面就无法解决了。 【解题指导】抛物线为 xy 162  ， 1m ，渐进线为 xay  . 【练习 9】一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是 )200(22  yyx . 在杯内放入一个玻 璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃的半径 r 的范围为 . 【范例 10】若 n xx )1(  展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为 . 答案：20 【错解分析】此题容易错在找不对第几项是常数项，对二项展开式的基本性质还要掌握好。 【解题指导】 3 62 64, 6, 20n n C  常数项为 . 【练习 10】若 1( ) 11 nx  的展开式中第三项系数等于 6，则 n 等于 . 【范例 11】如果复数 )2)(1( iai  的实部和虚部相等，则实数 a 等于 . 答案： 3 1 【错解分析】此题容易错写 1，切记： 2 1i  。 【解题指导】 iaaiai )21()2()2)(1(  . 【练习 11】设 Rbabiaz  ,, z a bi  ，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为 a ，第二 次得到的点数为b ，则使复数 2z 为纯虚数的概率为 ． 【范例 12】已知函数   xxmxxf 2ln2  在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为____． 答案： 1 2m≥ 。 【错解分析】此题容易错填 1 2m 等，错误原因是对利用 ' 0f  求解。 【解题指导】注意区别不等式有解与恒成立： max( ) ( )a f x a f x  恒 成 立 ； min( ) ( )a f x a f x  恒成立 ； min( ) ( )a f x a f x  有解 ； max( ) ( )a f x a f x  有解   0212/  xmxxf 在  ,0 上恒成立， ,1 2 1 2 xx m  所以 max2 )1 2 1( xx m  所以 1 2m≥ . 【练习 12】已知函数 ( )f x 的导函数 ' ( ) 2 9f x x  ，且 (0)f 的值为整数，当 ( , 1]x n n  *( )n N 时， ( )f x 的值为整数的个数有且只有 1 个，则 n = . AB C A1B1 C1 O 三.解答题 【范例 13】设数列 }{ na 的前 n 项和为 22nSn  ， }{ nb 为等比数列，且 .)(, 112211 baabba  （1）求数列 }{ na 和 }{ nb 的通项公式； （2）设 n n n b ac  ，求数列 }{ nc 的前 n 项和 nT 。 【错解分析】（1）求数列{ }na 的通项公式时，容易遗忘对 n=1 情况的检验。 （2）错位相减法虽然是一种常见方法，但同时也是容易出错的地方，一定要仔细。 解：（1）当 1 11 , 2;n a S  时 ,24)1(22,2 22 1   nnnSSan nnn时当 故 }{ na 的通项公式为 4,2}{,24 1  daana nn 公差是即 的等差数列. 设 }{ nb 的通项公式为 .4 1,4,, 11  qdbqdbq 则 故 . 4 2}{, 4 12 11 1 1    nnnn n n bbqbb 的通项公式为即 （2） ,4)12( 4 2 24 1 1    n n n n n nn b ac ]4)12(4)32(454341[4 ],4)12(45431[ 132 121 21 nn n n nn nnT ncccT       两式相减得： ].54)56[(9 1 ]54)56[(3 14)12()4444(213 1321    n n nnn n nT nnT  【练习 13】设等比数列{ na }的前 n 项和 nS ，首项 1 1a  ，公比 ( ) ( 1,0)1q f      . (1)证明： (1 )n nS a    ； (2)若数列{ nb }满足 1 1 2b  ， * 1( )( , 2)n nb f b n N n   ，求数列{ nb }的通项公式； (3)若 1  ，记 1( 1)n n n c a b   ，数列{ nc }的前项和为 nT ，求证：当 2n  时， 2 4nT  . 【范例 14】已知斜三棱柱 111 CBAABC  的各棱长均为 2， 侧棱 1BB 与底面 ABC 所成角为 3  ， 且侧面 11 AABB 底面 ABC . （1）证明：点 1B 在平面 ABC 上的射影O 为 AB 的中点； AB C A1B1 C1 O H M N （2）求二面角 BABC  1 的大小 ； （3）求点 1C 到平面 ACB1 的距离. 【错解分析】对于立体几何的角和距离，一定要很好的理解“作，证，”三个字。 你做到了吗？ 解：（1）证明：过 B1 点作 B1O⊥BA。∵侧面 ABB1A1⊥底面 ABC ∴A1O⊥面 ABC ∴∠B1BA 是侧面 BB1 与底面 ABC 倾斜角∴∠B1BO= 3  在 Rt△B1OB 中，BB1=2，∴BO= 2 1 BB1=1 又∵BB1=AB，∴BO= 2 1 AB ∴O 是 AB 的中点， 即点 B1 在平面 ABC 上的射影 O 为 AB 的中点. （2）连接 AB1 过点 O 作 OM⊥AB1，连线 CM，OC， ∵OC⊥AB，平面 ABC⊥平面 AA1BB1 ∴OC⊥平面 AABB.∴OM 是斜线 CM 在平面 AA1B1B 的射影 ∵OM⊥AB1 ∴AB1⊥CM ∴∠OMC 是二面角 C—AB1—B 的平面角 在 Rt△OCM 中，OC= 3 ，OM= 2tan,2 3  OM OCOMC ∴∠OMC= .2arctan ∴二面角 C—AB1—B 的大小为 .2arctan （3）过点 O 作 ON⊥CM，∵AB1⊥平面 OCM，∴AB1⊥ON ∴ON⊥平面 AB1C。∴ON 是 O 点到平面 AB1C 的距离 5 15 2 15 2 33 2 8 4 33.2 3,3,     CM OCOMON CMOMOCOMCRt 中在 连接 BC1 与 B1C 相交于点 H，则 H 是 BC1 的中点,∴B 与 C1 到平面 ACB1 的相导。 又∵O 是 AB 的中点 ∴B 到平面 AB1C 的距离是 O 到平面 AB1C 距离的 2 倍 ∴点 1C 到平面 AB1C 距离为 .5 152 【练习 14】如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动. （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当 E 为 AB 的中点时，求点 A 到面 ECD1 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D1—EC—D 的大小为 4  . 【范例 15】设函数 ( ) ln 1f x x px= - + （1）求函数 ( )f x 的极值点； （2）当 p＞0 时，若对任意的 x＞0，恒有 0)( xf ，求 p 的取值范围； （3）证明： ).2,()1(2 12ln 3 3ln 2 2ln 2 2 2 2 2 2 2   nNnn nn n n 【错解分析】（1）对于 p 的正负的讨论是容易出错的地方。 （2）恒成立问题的解决要灵活应用 （3）放缩法在数列中的应用是此题的难点 解：（1） ),0()(,1ln)(  的定义域为xfpxxxf ， x pxpxxf  11)( 当 ),0()(,0)(0  在时， xfxfp 上无极值点 当 p>0 时，令 xxfxfpxxf 随、， )()(),,0(10)(  的变化情况如下表： x (0， 1 p ) 1 p 1( , )p +¥ '( )f x + 0 － ( )f x ↗ 极大值 ↘ 从上表可以看出：当 p>0 时， ( )f x 有唯一的极大值点 px 1 （2）当 p>0 时在 1x= p 处取得极大值 1 1( ) lnf p p= ，此极大值也是最大值， 要使 ( ) 0f x £ 恒成立，只需 1 1( ) ln 0f p p= £ ， ∴ 1p ³ ∴p 的取值范围为[1，+∞ ) （3）令 p=1，由（2）知， 2,1ln,01ln  nNnxxxx ， ∴ 1ln 22  nn ， ∴ 22 2 2 2 111ln nn n n n  ∴ )11() 3 11() 2 11(ln 3 3ln 2 2ln 2222 2 2 2 2 2 nn n   )1 3 1 2 1()1( 222 n n   ))1( 1 43 1 32 1()1(  nnn  )1 11 4 1 3 1 3 1 2 1()1(  nnn  )1(2 12)1 1 2 1()1( 2   n nn nn ∴结论成立 【练习 15】设 ).442(3 1)( 2 aaxxexf x   （1）求 a 的值，使 )(xf 的极小值为 0； （2）证明：当且仅当 a=3 时， )(xf 的极大值为 4。 练习题参考答案： 1．D 2．B 3．B 4．C 5．D 6．B 7．8 8． 3 2 9． 10  r 10. 12 11. 6 1 12. 4 13. 解 (1) 1 11 [1 ( ) ](1 ) 1 (1 )[1 ( ) ] (1 ) ( )1 1 11 1 n n n n n aa qS q                       而 1 1 1( ) ( )1 1 n n na a         所以 (1 )n nS a    (2) ( ) 1f    , 1 1 1 1 1, 11 n n n n n bb b b b         , 1{ } nb  是首项为 1 1 2b  ,公差为 1 的等差数列,所以 1 2 ( 1) 1 n n nb      ,即 1 1nb n   . (3) 1  时, 11( )2 n na  , 11 1( 1) ( )2 n n n n c a nb     2 11 1 11 2( ) 3( ) ( )2 2 2 n nT n       2 31 1 1 1 12( ) 3( ) ( )2 2 2 2 2 n nT n      相减得 2 11 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 2[1 ] ( )2 2 2 2 2 2 n n n n nT n n          1（ ）2 2 11 14 ( ) ( ) 42 2 n n nT n      , 又因为 11( ) 02 n nc n   , nT 单调递增, 2 2,nT T   故当 2n  时, 2 4nT  . 14．（1）证明：连 1AD ， 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中， 1AD 为 1D E 在平面 1AD 的射影， 而 AD=AA1=1，则四边形 1 1ADD A 是正方形 1 1A D AD  ， 由三垂线定理得 D1E⊥A1D （2）解：以点 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴建立如图所示的直角坐标系。则 (1,0,0)A (1,1,0)E 、 (1,2,0)B 、 (0,2,0)C 、 1(0,0,1)D 则 (0,1,0)AE  ， ( 1,1,0)EC   ， 1 (0,2, 1)D C   ，设平面 1D EC 的法向量为 1 ( , , )n x y z  1 1 1 0 0 : : 1:1: 22 00 n EC x y x y zy zn D C                   ，记 1 (1,1,2)n   点 A 到面 ECD1 的距离 1 1 | | 1 6 6| | 6 AE nd n       （3）解：设 0(1, ,0)E y 则 0( 1,2 ,0)EC y   ，设平面 1D EC 的法向量为 1 ( , , )n x y z  1 0 0 1 1 0 (2 ) 0 : : (2 ) :1: 22 00 n EC x y y x y z yy zn D C                     ，记 1 0((2 ),1,2)n y  而平面 ECD 的法向量 2 (0,0,1)n  ，则二面角 D1—EC—D 的平面角 1 2, 4n n      1 2 02 2 2 1 2 0 2 2cos 2 32| | | | (2 ) 1 2 1 n n y n n y                 。  当 AE= 2 3 时，二面角 D1—EC—D 的大小为 4  . 15．解：（1） )442(3 1 3 1)44()( 2 aaxxeeaxxf xx   ],)44(2[3 1 2 xaxe x   令 1,022,2200)(  aaaxxxf 即当或解得 时，无极值。 （1）当 )(),(,1,022 xfxfaa  时即 的变化情况如下表（一） x （－  ,0） 0 （0，2－2a） 2－2a （2－2a,+  ） )(xf  － 0 + 0 － )(xf ↘ 极小 值 ↗ 极大值 ↘ 此时应有 10,0)(  axf 得 （2）当 )(),(,1,022 xfxfaa  时即 的变化情况如下表（二） x （－  ,2－ 2a） 2－2a （2－2a，0） 0 （0+  ） )(xf  － 0 + 0 － )(xf ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 此时应有 即,0)22(  af 03 1 )22(  ae .120]4)22(4)22(2[ 2  aaaaa 即 综上所述，当 a=0 或 a=2 时， )(xf 的极小值为 0。 （2）由表（一）（二）知 )(xf 取极大值有两种可能。 由表（一）应有 4)22(  af ， 即 4]4)22(4)22(2[3 1 2)22(  aaaae a ,)2()(,3)2( 2222   aa eaagae 设 则 ),23()2(2)( 222222 aeaeeag aaa   ,1a .0)(  ag 此时 g（a）为增函数， 3)2(.3)1()(,1 22   aegaga a即时 不能成立。 若 a>1，由表（二）知，应有 .3,4)0(  af 即 综上所述，当且仅当 a=3 时， )(xf 有极大值 4.