2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第二章2-3函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A
如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【知识拓展】
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( × )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.( √ )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.( √ )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( √ )
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( √ )
1.(教材改编)对于定义域是R的任意奇函数f(x)，下列结论正确的有________.(填序号)
①f(x)－f(－x)＞0； ②f(x)－f(－x)≤0；
③f(x)·f(－x)≤0; ④f(x)·f(－x)＞0.
答案 ③
解析 ①②显然不正确.对任意奇函数f(x)，有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故③正确，④不正确.
2.(教材改编)函数y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(|a|)＝3，则f(－a)＝________.
答案 3
解析 若a≥0，则f(－a)＝f(a)＝f(|a|)＝3；若a<0，则f(－a)＝f(|a|)＝3.故对a∈R，总有f(－a)＝3.
3.(教材改编)若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.
答案 1
解析 ∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴f(－x)＝f(x)对任意x∈R恒成立，
∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立，
∴1－a＝0，∴a＝1.
4.(教材改编)设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0，1]上的图象如图所示，则它在[－1，0]上的解析式为________.
答案 f(x)＝x＋2
解析 由题意知f(x)在[－1，0]上为一条线段，
且过(－1，1)、(0，2)，设f(x)＝kx＋b，
代入解得k＝1，b＝2.所以f(x)＝x＋2.
5.(2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0
0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x
＝－(－x2＋x)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，
∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x
＝－(x2＋x)＝－f(x).
∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x).
∴函数f(x)为奇函数.
思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤
(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.
(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是________.
①y＝； ②y＝lg|x|；
③y＝(x－1)2; ④y＝2x.
(2)函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则下列关于函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性的说法正确的是________.
①F(x)是奇函数，G(x)是奇函数；
②F(x)是偶函数，G(x)是奇函数；
③F(x)是偶函数，G(x)是偶函数；
④F(x)是奇函数，G(x)是偶函数.
答案 (1)② (2)②
解析 (1)②中，函数y＝lg|x|的定义域为{x|x≠0}且lg|－x|＝lg|x|，
∴函数y＝lg|x|是偶函数.
(2)F(x)，G(x)的定义域均为(－2，2)，
由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x)
＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－g(－x)
＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)，
∴F(x)是偶函数，G(x)是奇函数.
题型二 函数的周期性
例2 (1)(2016·淮安模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)＝________.
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.
答案 (1)0 (2)2.5
解析 (1)由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x－1)＝－f(x＋1)，
∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 017)＝f(1)，f(2 019)＝f(3)＝f(－1)，
又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，
∴f(2 017)＋f(2 019)＝0.
(2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝－＝－＝f(x).
故函数的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5).
∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
引申探究
例2(2)中，若将f(x＋2)＝－改为f(x＋2)＝－f(x)，其他条件不变，则f(105.5)的值为________．
答案 2.5
解析 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数的周期为4(下同例题)．
思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.
定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.
答案 339
解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.
∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，
f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)
＝1×＝336.
又f(2 017)＝f(1)＝1，f(2 018)＝f(2)＝2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.
题型三 函数性质的综合应用
命题点1 解不等式问题
例3 (1)(2016·南通模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)0且1＋x≠0，由奇函数的性质可得f(0)＝0.
所以lg(a＋2)＝0，即a＝－1，经检验a＝－1满足函数的定义域.
(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
所以f＝f且f(－1)＝f(1)，
故f＝f，
从而＝－a＋1，
即3a＋2b＝－2. ①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，
即b＝－2a. ②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.
(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|).②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系为________________.
答案 (1)－ (2)f(－25)0，f(x＋2)＝，对任意x∈R恒成立，则f(2 019)＝________.
解析 因为f(x)>0，f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝
＝＝f(x)，
即函数f(x)的周期是4，
所以f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1).
因为函数f(x)为偶函数，
所以f(2 019)＝f(－1)＝f(1).
当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝.
即f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(1)＝1.
答案 1
三、抽象函数的单调性与不等式
典例3 设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y).若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围.
规范解答
解 因为f(xy)＝f(x)＋f(y)且f(3)＝1，
所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9).
又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9).
再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f[9(a－1)]，
因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
从而有解得1f(－)，则a的取值范围是__________.
答案
解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)且f(x)在(0，＋∞)上单调递减.由f(2|a－1|)>f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|<，即|a－1|<，所以0时，f(x)＝则f(f(－16))＝________.
答案
解析 由题意f(－16)＝－f(16)＝－log216＝－4，
故f(f(－16))＝f(－4)＝－f(4)＝－cos ＝.
6.(2016·盐城模拟)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________.
答案
解析 依题意得f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，又a－1＝－2a，
∴a＝，∴a＋b＝.
7.(2017·苏北四市联考)已知函数f(x)＝若f(x)为奇函数，则g(－)＝________.
答案 2
解析 g(－)＝f(－)＝－f()
＝－log2＝－log22－2＝2.
8.(2016·常州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.
答案 0
解析 由f(x＋1)是偶函数得f(－x＋1)＝f(x＋1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x－1)，即－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，即f(x)＋f(x＋2)＝0，所以f(1)＋f(3)＝0，f(2)＋f(4)＝0，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.
9.函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
答案 －－1
解析 ∵f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f(－x)＝＋1＝－f(x)，
即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
10.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________.
答案 ①②
解析 在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，
则有f(t＋2)＝f(t)，
因此2是函数f(x)的周期，故①正确；
当x∈[0，1]时，f(x)＝2x是增函数，
根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；
由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.
11.(2016·江苏苏北四市二调)定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)＋(a－1)x＋b(a，b为常数)，若f(2)＝－1，则f(－6)的值为________.
答案 4
解析 由已知得f(0)＝0＝1＋b，∴b＝－1，又f(2)＝2＋2(a－1)－1＝－1，∴a＝0，∴f(x)＝log2(x＋2)－x－1(x≥0)，∴f(－6)＝－f(6)＝－3＋6＋1＝4.
12.(2016·江苏扬州中学开学考试)已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，如果∀x1∈[－2，2]，∃x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是____________.
答案 [－5，－2]
解析 ∵f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，
∴f(0)＝0，
当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1的值域为(0，3]，
∴当x∈[－2，2]时，f(x)的值域为[－3，3]，
若∀x1∈[－2，2]，∃x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，
则g(x)max≥3且g(x)min≤－3，
∵g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，
∴当x∈[－2，2]时，
g(x)max＝g(－2)＝8＋m，g(x)min＝g(1)＝m－1，
故8＋m≥3且m－1≤－3，
解得m≥－5且m≤－2，
故－5≤m≤－2.
13.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018).
(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解 ∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2
＝－x2＋6x－8，
又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4].
(3)解 ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)
＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.
