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文档介绍
2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-1蝗制与任意角的三角函数练习苏教版
4.1 弧度制与任意角的三角函数 考点一 象限角与终边相同的角 1.若角α是第二象限角,则是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 2.(2019·长春模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的取值集合是 ( ) A. B. C. D. 3.下列各角中,与角330°的终边相同的是 ( ) A.150° B.-390° C.510° D.-150° 4.与-2 010°终边相同的最小正角是________. 【解析】1.选C.因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以+ kπ<<+kπ,k∈Z.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.综上,是第一或第三象限角. - 9 - 2.选D.因为直线y=-x的倾斜角是,所以终边落在直线y=-x上的角的取值集合为αα=kπ-,k∈Z. 3.选B.与角330°的终边相同的角为α=k·360°+330°(k∈Z),令k=-2,可得α=-390°. 4.因为-2 010°=(-6)×360°+150°, 所以150°与-2 010°终边相同,又终边相同的两个角相差360°的整数倍,所以在0°~360°中只有150°与-2 010°终边相同,故与-2 010°终边相同的最小正角是150°. 答案:150° 1.表示区间角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界. (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间. (3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合. 2.象限角的两种判断方法 (1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. (2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角. 3.求或nθ(n∈N*)所在象限的方法 (1)将θ的范围用不等式(含有k)表示. (2)两边同除以n或乘以n. (3)对k进行讨论,得到或nθ(n∈N*)所在的象限. 提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角. 【秒杀绝招】 - 9 - 结论法解T1,若角α是第一(或二)象限角,则是第一或第三象限角;若角α是第三(或四)象限角,则是第二或第四象限角. 排除法解T2,终边在直线上,是kπ,终边在射线上是2kπ,排除A,B;直线y=-x的倾斜角是钝角,加钝角或减锐角,排除C,所以选D. 考点二 弧度制、扇形的弧长及面积公式 【典例】1.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l=________cm. 2.已知扇形的周长为20 cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为________. 【解题导思】 序号 联想解题 1 由扇形的圆心角想到弧长公式l=|α|·r 2 由扇形的周长想到扇形面积公式S=lr,周长=l+2r,转化为函数求最值 【解析】1.设扇形的半径为r cm,如图. 由sin 60°=得r=4cm, 所以l=|α|·r=×4=π(cm). 答案:π 2.因为扇形的周长为20,所以l+2r=20,即l=20-2r,所以扇形的面积S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α=2(rad). 答案:2 - 9 - 有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 1.已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角. 【解析】设圆心角是θ,半径是r,则 解得(舍去)或 所以扇形的圆心角为 rad. 2.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大? 【解析】设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=40. 又S=θr2=r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100,当且仅当r=10时,Smax=100,此时2×10+10θ=40,θ=2,所以当r=10,θ=2时,扇形的面积最大. 考点三 任意角三角函数的定义及应用 命 题 精 解 读 考什么:(1)三角函数符号判断,比较大小、解不等式,运用定义求值等等. (2)考查数学抽象,逻辑推理,数学运算等核心素养,以及数形结合的思想. 怎么考:与直线、诱导公式、三角恒等变换等结合考查判断符号、求三角函数值等等. 学 霸 好 1.三角函数值符号的判断方法 (1)先分别判断每个三角函数值的符号. (2)按照题中要求判断所求三角函数值的符号. - 9 - 方 法 2.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 (1)用边界值定出角的终边位置. (2)根据不等式组定出角的范围. (3)求交集,找单位圆中公共的部分. (4)写出角所满足的范围. 三角函数符号判断 【典例】(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0,>0,则角θ是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】选D.由>0,得>0,所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0, 所以sin θ<0,所以θ为第四象限角. 知道哪些三角函数符号,可确定角所在象限? 提示:知sin θ,cos θ,tan θ中两个的符号,可确定角所在象限. 比较大小、解不等式 【典例】1.设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则 ( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b 2.(2020·盐城模拟)已知α,β是第一象限角,且sin α>sin β,则 ( ) A.α>β B.α<β C.cos α>cos β D.tan α>tan β 【解析】1.选A.b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,c=tan 35°>sin 35°=b,所以c>b>a. 2.选D.因为α,β是第一象限角,所以sin α>0,sin β>0,又sin α>sin β,所以sin2α>sin2β>0,所以1-cos2α>1-cos2β,所以cos2α查看更多
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