福建省宁德市2020届高三5月质量检查数学（理）试题 Word版含解析

福建省宁德市2020届高三5月质量检查数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷(5.4)‎ 理 科 数 学 一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解对数不等式，再求集合交集和补集即可容易求得.‎ ‎【详解】因为集合，故，‎ 则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合混合运算，涉及对数不等式的求解，属综合基础题.‎ ‎2. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A. 36 B. 70 C. 72 D. 144‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列下标和性质，求得；再用等差数列前项和性质，即可容易求得.‎ ‎【详解】根据等差数列的下标和性质，即可求得，解得；‎ 又.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的性质，属综合基础题.‎ ‎3. 干支是天干(甲､乙､…､癸)和地支(子､丑､…､亥)的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元1988年，即输入 - 26 -‎ ‎，执行该程序框图，运行相应的程序，输出，从干支表中查出对应的干支为戊辰.我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元年，则该年所对应的干支为（ ）‎ ‎ ‎ A 己巳 B. 庚午 C. 壬戌 D. 癸亥 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图，即可求得输出结果，再结合表格，即可容易求得.‎ ‎【详解】模拟执行程序如下所示：‎ ‎，不满足，‎ ‎，不满足，‎ ‎，不满足，‎ ‎，不满足，‎ ‎，不满足，‎ ‎，不满足，‎ - 26 -‎ ‎，满足，输出.‎ 对照已知表格，故可得该年所对应的干支是己巳.‎ 故选：A.‎ 点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.‎ ‎4. 的展开式中，的系数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的产生，结合二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】对二项式，其通项公式，‎ 令，可得的系数为；令，可得的系数为.‎ 则的展开式中，的系数为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查通过二项式的通项公式求指定项的系数，属基础题.‎ ‎5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意还原几何体，根据圆锥的体积计算公式，即可容易求得.‎ ‎【详解】根据三视图可知，该几何体是底面半径为3，高为4的四分之一圆锥.‎ - 26 -‎ 故其体积.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆锥体积的求解，属综合基础题.‎ ‎6. 已知，且，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用倍角公式，化简求得 ‎【详解】因为，故可得，‎ 即，‎ 因为，故可得，或（舍）.‎ 故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦的二倍角公式，涉及三角函数在每个象限的正负，属综合基础题.‎ ‎7. 在复平面内为坐标原点，复数对应的点分别为，，则的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数运算，化简复数，再求得对应点的坐标，利用勾股定理即可判断.‎ ‎【详解】因为，故，；‎ 因为，故.‎ 容易知，‎ 满足勾股定理，故可得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查向量运算法则，复数模长的求解，复数对应点的坐标，属综合基础题.‎ ‎8. 函数恒成立的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究恒成立问题对应参数的范围，再根据充分性的要求，选取结果.‎ ‎【详解】若恒成立，等价于恒成立.‎ 令，故可得，‎ 故在区间单调递增，在区间单调递减；‎ 故.‎ 故要满足恒成立，只需即可.‎ 则恒成立的一个充分不必要条件是集合的非真子集.‎ 故选：C.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查命题的充分不必要条件的判断，涉及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.‎ ‎9. 已知为坐标原点，是的直径.若点满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得点的轨迹方程，利用向量运算，将问题转化为求圆外一定点到圆上一动点之间距离的最小值，则问题得解.‎ ‎【详解】因为点满足，故点是圆上的一个动点；‎ 故 ‎.‎ 又因为点坐标为是圆外一点，而为该圆上任意一点.‎ 故.‎ 故得最小值为，即的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求解，圆外一点到圆上任意一点距离的最值，向量的数量积运算，属综合中档题.‎ ‎10. 方程的曲线有下列说法： ‎ ‎①该曲线关于对称； ‎ ‎②该曲线关于点对称；‎ ‎③该曲线不经过第三象限；‎ ‎④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.‎ 其中正确的是（ ）‎ A. ②③ B. ①④ C. ②④ D. ①③‎ ‎【答案】D - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据曲线的表达式，结合选项，研究其对称性，函数图像，则容易进行判断.‎ ‎【详解】因为曲线方程为，而恒成立，‎ 故等价于.‎ ‎①因为，故该曲线关于对称；‎ ‎②要该曲线关于对称，则需满足，‎ 而由①中所求，显然不是常数，故该曲线不关于对称；‎ ‎③当时，，且，则恒成立，‎ 故该曲线不经过第三象限；‎ ‎④容易知，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点.‎ 事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：‎ ‎，‎ 则容易知该曲线的各种性质.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的对称性、函数图像的研究，属综合中档题 ‎11. 如图，四边形为正方形，四边形为矩形，且平面与平面互相垂直.若多面体 的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（ ）‎ - 26 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设出正方形边长和矩形的高，根据体积公式，求得等量关系；再找到球心，求得半径，利用导数求函数的最小值，则问题得解.‎ ‎【详解】根据题意，连接交于点，过作//交于点，交于，连接.‎ 因为四边形是正方形，故可得，‎ 又因为平面平面，且交线为，又平面，故平面，‎ 不妨设，‎ 故可得多面体的体积；‎ 则，解得；‎ 又容易知多面体外接球的球心在四边形外心的垂线上，且为的中点，‎ - 26 -‎ 设外接球半径为，则；‎ 将代入可得，不妨令，‎ 则，则，容易知是关于的单调增函数，‎ 且当时，，故可得在上单调递减，在单调递减.‎ 故.‎ 则外接球表面积的最小值.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查棱锥体积的计算、面面垂直的性质、外接球表面积的计算、利用导数求函数的最值，属压轴题.‎ ‎12. 双曲线的左､右焦点分别为，，为坐标原点.为曲线右支上的点，点在外角平分线上，且.若恰为顶角为的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长交的延长线于点，根据几何关系，求得点坐标，代入双曲线方程可得齐次式，则问题得解.‎ ‎【详解】延长交的延长线于点，连接，过作，如下所示：‎ - 26 -‎ 不妨设，‎ 因为，且为的角平分线，故可得，‎ 故可得，且为的中点；‎ 因为为顶角的等腰三角形，故可得，‎ 由余弦定理可得，‎ 在中，因为分别为的中点，故；‎ 根据双曲线定义可知：，即；‎ 又；‎ 联立可得；‎ 因为为顶角的等腰三角形 故在直角三角形中，‎ 则，由勾股定理可得 故可得点坐标为，即，代入双曲线方程可得：‎ ‎，‎ 整理得：，‎ 同除可得，‎ 分解因式可得，‎ 解得或（舍去负根），‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义，属综合困难题.‎ - 26 -‎ 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 若抛物线经过点，，则该抛物线的标准方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由所过两点坐标即可设出抛物线方程，待定系数即可求得结果.‎ ‎【详解】因为抛物线经过点，，即抛物线经过第一、二象限，‎ 故设抛物线方程为，代入点，可得，即，‎ 则抛物线方程为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由抛物线上一点求抛物线方程，属基础题.‎ ‎14. 记为正项数列的前项和，.若，，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的基本量，列出方程，求得首项和公比，则问题得解.‎ ‎【详解】因为，故可得数列是等比数列，‎ 设其公比为，则由，可得：‎ ‎，解得（舍）或；‎ 故可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等比中项的应用，等比数列基本量的计算，属基础题.‎ ‎15. 宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队 - 26 -‎ 场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染(分别用标注).目前得 知这组数据的平均值为，则方差最大时的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数求得之间的关系，利用线性规划，即可容易求得最值.‎ ‎【详解】由题可知，‎ 解得.‎ 故其方程，‎ 故要使得其最大，只需最大即可.‎ 又因为，‎ 故用线性规划的思路，求目标函数的最大值.‎ 而目标函数表示点到点距离的平方，‎ 数形结合可知，当且仅当目标函数过点时取得最大值.‎ 即当时，取得最大值.‎ - 26 -‎ 此时 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题平均数和方差的计算，涉及非线性目标函数最值的求解，属综合中档题.‎ ‎16. 已知函数 若关于的不等式的解集非空，且为有限集，则实数的取值集合为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数，研究的性质和图像；利用换元法，结合二次不等式的解集，结合的函数图像，即可分类讨论求得.‎ ‎【详解】当时，，则，令，解得，‎ 容易得在区间单调递减，在区间单调递增，‎ 且在时，取得极小值，即；且时，；‎ 当时，，则，令，解得，‎ 容易得在区间单调递增，在区间单调递减，‎ 且在时，取得极大值，即；且时，；‎ 故的模拟图像如下所示：‎ 综上所述：的值域为.‎ 令，则，其，对称轴为：‎ 当时，显然关于的二次不等式解集为空集，不满足题意；‎ - 26 -‎ 当，即或时，‎ 若，显然关于的二次不等式的解集为，又，‎ 数形结合可知，此时关于的原不等式解集为空集，不满足题意；‎ 若，关于的二次不等式的解集为，又，‎ 数形结合可知，此时关于的原不等式解集为，满足题意；‎ 当，即或时，‎ 令，解得，‎ 显然，故此时关于的不等式的解集为，‎ 数形结合可知，要满足题意，只需或.‎ 即，解得，满足或；‎ 或，解得，不满足或，舍去；‎ 综上所述，要满足题意，则或.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质和图像，涉及二次不等式的求解，属压轴题.‎ 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22､23题为选考题，考生根据要求做答.‎ ‎17. 如图，在平面四边形中，，，，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的长.‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，结合已知，即可容易求得；‎ ‎（2）在中，由正弦定理求得；再在，由余弦定理求解.‎ ‎【详解】（1）因为，，‎ 所以 ‎ 在中，，‎ 所以 ‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，‎ 即，解得 因为，，‎ 所以， ‎ 在中，，根据余弦定理，‎ 解得 ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理､余弦定理､三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想､函数与方程思想等.‎ ‎18. 如图，在棱柱中，底面为平行四边形， ‎ - 26 -‎ ‎，，且在底面上的投影恰为的中点.‎ ‎（1）过作与垂直的平面，交棱于点，试确定点的位置，并说明理由；‎ ‎（2）若点满足，试求的值，使二面角为.‎ ‎【答案】（1）点为棱的中点，理由见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，取中点为，只需即可，结合已知，即可容易说明；‎ ‎（2）以为原点，建立空间直角坐标系，用向量法求解二面角大小，从而求得的方程，解方程即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当点为棱中点时，符合题目要求， ‎ 下面给出证明. ‎ 分别连结，. ‎ 在中， ‎ 所以，因此，即， ‎ 因为在底面上的投影恰为的中点，‎ 所以平面，‎ 又平面，所以，‎ - 26 -‎ 又，，平面，‎ 所以平面，‎ 因此，点即为所求，平面即为 ‎（2）证明：由题（1）知可得，，，‎ 所以 ‎ 分别以为轴的正方向，以过点垂直于平面的方向为轴，‎ 建立空间直角坐标系， ，，，‎ ‎，，，， ‎ 所以 ‎ 易得平面的一个法向量为 ‎，‎ 设为平面的一个法向量，则：‎ ‎，即得，‎ 令，得， ‎ 因为二面角为，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ - 26 -‎ 又因为二面角的大小为钝角，故 ‎【点睛】本题主要考查空间直线与直线､直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力､推理论证能力､运算求解能力，考查化归与转化思想等.‎ ‎19. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上的一动点，面积的最大值为2.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆的另一个交点为，点，证明：直线与直线关于轴对称.‎ ‎【答案】（1）.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率和面积的最大值为2，即可列出方程，即可求得结果；‎ ‎（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，只需求证，则问题得证.‎ ‎【详解】（1）因为椭圆的离心率为，‎ 所以，即，又，所以， ‎ 因为面积的最大值为2，所以，即，‎ 又因为，所以，， ‎ 故椭圆的方程为 ‎ ‎（2）由（1）得，‎ 当直线的斜率为时，符合题意，‎ 当直线的斜率不为时，‎ - 26 -‎ 设直线的方程为，代入消去整理得： ‎ ‎，易得 ‎ 设，则， ‎ 记直线斜率分别为，则 所以，因此直线与直线关于轴对称.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线椭圆､直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力､推理论证能力，考查函数与方程思想､化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，‎ ‎20. 已知函数().‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）求证： .‎ ‎【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，对参数进行分类讨论，根据导数正负，即可判断函数单调性；‎ ‎（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可容易证明.‎ ‎【详解】（1）定义域为，‎ 当时，，‎ - 26 -‎ 所以函数的单调递增区间为，递减区间为； ‎ 当时，令，得或， ‎ 当时，恒成立，‎ 所以函数的单调递增区间为，无减区间；‎ 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ 当时，，‎ 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.‎ 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为，无减区间；‎ 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.‎ ‎（2）设，‎ ‎ ，‎ 由（1）可知，当时，，‎ 且的单调递增区间为，递减区间为，‎ 所以的单调递增区间为，递减区间为， ‎ 故，所以在上单调递增 又，‎ 所以当时，，时，；‎ - 26 -‎ 又当时，，时， ‎ 所以 ‎【点睛】本小题主要考查导数及其应用､不等式等基础知识，考查推理论证能力､运算求解能力､创新意识等，考查函数与方程思想､化归与转化思想､分类与整合思想､数形结合思想等.‎ ‎21. 某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如下频率分布直方图：‎ 由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布，其中近似为样本平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表).‎ ‎（1） 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；‎ ‎（2） 现依次抽取个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件表示“连续3人的旅游消费支出超出”.若表示的概率，为常数)，且.‎ ‎（ⅰ）求，及，；‎ ‎（ⅱ）判断并证明数列从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义.‎ 参考数据：，，‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）万.（2）（ⅰ），，，.（ⅱ）数列从第三项起单调递减，证明见解析，用概率统计知识解释其实际意义见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直方图求得的平均数，结合正态分布的概率计算，即可容易求得旅游费用支出不低于元的概率，再乘以即可；‎ ‎（2）（ⅰ）根据题意，即可容易求得，再列出方程，即可求得；‎ ‎（ⅱ）根据递推公式计算，即可判断数列的单调性；再结合实际问题，进行解释.‎ ‎【详解】（1）直方图可得 ‎ ‎ ‎∵，，‎ ‎∴旅游费用支出不低于元的概率为 ‎， ‎ ‎∴，‎ 估计年有万的游客在本市的年旅游费用支出不低于元.‎ ‎（2）（ⅰ），‎ ‎，‎ 所以 即 解得 ‎ - 26 -‎ ‎（ⅱ）数列从第三项起单调递减 ‎，‎ ‎ 故 ‎ ‎ 又，所以，‎ 即从第三项起数列单调递减.‎ 由此，可知随着抽查人数的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”‎ 的可能性会越来越小. （即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件)‎ ‎【点睛】本小题主要考查频率分布直方图､平均数､正态分布､随机事件的概率､数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力､数据处理能力､应用意识，考查分类与整合思想､统计思想､化归与转化思想.‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为.(为参数)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标和 l的直角坐标方程；‎ ‎（2）把曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线，为上动点，求中点到直线距离的最小值.‎ ‎【答案】（1）的直角坐标：，l的直角坐标方程：.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，即可容易求得结果；‎ ‎（2）设出点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题，即可求得.‎ - 26 -‎ ‎【详解】（1）因为点的极坐标为，‎ 直线的极坐标方程为，‎ 由， ‎ 得点的直角坐标为，‎ 直线的直角坐标方程为. ‎ ‎（2）设，则由条件知点在曲线上，所以 ‎，即，‎ 又因为为中点，所以， ‎ 则点到直线距离为， ‎ 当时，取得最小值，‎ 故中点到直线距离的最小值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化､参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力.‎ ‎23. 已知函数. 若存在实数使得成立.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值三角不等式求得的最小值，再解绝对值不等式即可求得；‎ - 26 -‎ ‎（2）利用的等量关系，结合均值不等式即可求得最小值.‎ ‎【详解】（1）存在实数使得成立等价于存在实数使得成立，‎ 而，当且仅当时取得.‎ 故存在实数使得成立等价于， ‎ 解得， ‎ 又因为，则 ‎（2）由（1）得，故， ‎ 所以，‎ 由，‎ 故，‎ 所以，‎ ‎，‎ 当且仅当时取最小值 ‎【点睛】本小题考查含绝对值､参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力､推理论证能力，考查化归与转化思想等.‎ - 26 -‎ - 26 -‎