福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

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宁德市2019-2020学年度第一学期期末高二质量检测 数 学 试 题 本试卷有第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟 ，满分150分.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。‎ ‎2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、单项选择题: 本题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1. 等差数列的前项和为，若 ‎ A．51   B．50   C．49   D．48‎ ‎2. “且”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为，则该双曲线的方程为 A． B．或 C． D．或 ‎4. 已知正方体 点是上底面的中心, 若,‎ 则等于 A. B. C. D. ‎ ‎5. 如果实数,满足条件 则的最大值为 A. B． C． D． ‎ ‎6. 设，若是与的等差中项，则的最小值为 A. B． C． D．‎ ‎7. 已知数列满足，, 则数列的前2019项和等于 ‎ A. B. C. D. ‎ 第8题图 ‎8. 如图，在直三棱柱中，，‎ ‎，，则异面直线与 所成角的大小为 ‎ A． ‎ B．或 ‎ C． ‎ D．或 ‎9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 ‎ A． B． C． D．‎ 第10题图 ‎10. “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物 单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.‎ 若这堆货物总价是万元，则n的值为 A．7 B．8 C．9 D．10‎ 二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分， 共10分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分 ‎11. 若，则下列不等式中正确的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是 ‎ A. 平面平面 B. 不是定值 ‎ C. 的体积为定值 D. ‎ 第II卷（非选择题共90分）‎ 三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置 ‎13. 命题“”的否定是：________________‎ ‎14. 已知直线与椭圆交于两点, 若的中点坐标为, 则直线的方程是________________‎ ‎15. 设不等式的解集为, 关于的不等式（为常数）的解集为， 若，则的取值范围是________________ ‎ ‎16. 顶点在坐标原点，焦点为的抛物线上有一动点，圆上有一动点，则的最小值等于__________ ， 此时等于__________‎ ‎ (本小题第一个空3分，第二个空2分)‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 已知命题: ，； 命题 : 函数在区间 上单调递减．‎ ‎（Ⅰ） 若命题为真命题， 求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题为假命题，求的取值范围．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列的前项和为, ，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎（背面还有试题）‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，‎ ‎∥，，，，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证:∥平面；‎ ‎（Ⅱ）若点在线段上, 满足，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 设抛物线：上一点到焦点的距离为5．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于两点, 过点作直线的垂线，‎ 垂足为 判断: 三点是否共线，并说明理由．‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条 地铁线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，平均每趟 地铁的载客人数（单位：人）与发车时间间隔近似地满足下列函数关系：，其中．‎ ‎（Ⅰ）若平均每趟地铁的载客人数不超过1000人，试求发车时间间隔t的值；‎ ‎（Ⅱ）若平均每趟地铁每分钟的净收益为 ‎（单位：元），问当发车时间间隔t为多少分钟时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？ 并求出最大净收益．‎ ‎22.（本小题满分12分） ‎ 已知椭圆：的焦距为，且椭圆过点，直线与 圆: 相切，且与椭圆相交于两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求三角形面积的取值范围．‎ 稿 纸 宁德市2019-2020学年度第一学期期末高二质量检测 数学试题参考答案及评分标准 说明:‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.‎ 一、单项选择题: 本题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1. C 2. A 3．B 4. C 5. C 6. B 7. A 8．C 9. D 10. B 二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分， 共10分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）‎ ‎11.CD 12. ACD 三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置)‎ ‎13. 14. 15. 16. 4; ‎ 备注：第15题答案写不扣分, 第16题答案第一个空做对得3分,第二个空做对得2分。‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）若为真命题，则 ‎ 2分 即 ‎ 的取值范围为 4分 ‎（Ⅱ）若为假，则假且假 5分 若为真命题，则 7分 ‎ 9分 ‎, 即的取值范围为 10分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）……………. ①‎ ‎……………….. ② 1分 ‎①- ②得 ，即 3分 又, …………………………………………………………4分 是以2为首项，2为公比的等比数列 ‎ 6分 ‎（备注：未说明或未检验首项是否满足的扣1分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎ 7分 ‎ 8分 ‎ 10分 ‎ 12分 ‎(备注：算对一个各得1分)‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎（Ⅰ）证法1：取中点，连接,.‎ 为中点，,且.…………………………………………1分 又,且,‎ ‎,且………………………………………………………………………2分 四边形为平行四边形. ‎ ‎, ………………………………………………………………………….3分 又,, ………………………………………………………4分 ‎.……………………………………………………………………………5分 证法2： 取中点，连接,.‎ 为中点，,‎ 又,,‎ ‎.……………………………………………………………………………1分 又,‎ 四边形为平行四边形.‎ ‎, ………………………………………………………………………………2分 又,,‎ ‎,……………………………………………………………………………3分 又,‎ ‎,……………………………….………………………………………4分 又,‎ ‎ 5分 备注：第（Ⅰ）题若用向量方法证明，同样酌情给分！‎ ‎（Ⅱ）取中点,连接、,易得.‎ ‎,.‎ 又,且,‎ ‎.…………………………………………………………………………6分 以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示……………………………………………………………………………7分 ‎,, ‎ ‎, ‎ ‎………………………………………………………8分 设平面的法向量，‎ 则 ‎ 得，取,则 ……………………………………………………………………………10分 设，‎ ‎ ，‎ ‎.…..………..………………………….12分 ‎20. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）解法1: 由已知得 2分 ‎ 3分 抛物线的方程为 4分 解法2: 由已知得 2分 解得 或 又 3分 抛物线的方程为 4分 ‎（Ⅱ）解法1: 易知直线的斜率为0时. 直线与抛物线交于一点,不合题意.‎ ‎ (1)当直线的斜率不存在时，则, ‎ ‎,.‎ ‎,‎ 三点共线 5分 ‎(2)当直线的斜率存在时，设：.‎ ‎,消整理得 6分 设,,则 ‎ 7分 ‎. 8分 ‎, 11分 三点共线.‎ 综上(1) (2)知三点共线 12分 ‎（备注：本题有判断三点共线得1分）‎ ‎（Ⅱ）解法2: 易知直线的斜率为0时. 直线与抛物线交于一点,不合题意.‎ 可设直线.‎ 由,得. …………………………………………………………6分 ‎ 设，则 则, 7分 又 8分 ‎ ‎ ‎, 11分 三点共线 12分 ‎（Ⅱ）解法3: 易知直线的斜率为0时. 直线与抛物线交于一点,不合题意.‎ 可设直线.‎ 由,得. …………………………………………………………6分 ‎ 设，则 则, 7分 ‎ ….…………….……………………………………………….8分 ‎ 11分 ‎ 又有公共点,‎ 三点共线 12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）由已知得，当时，，不合题意舍去…………………..1分 当时，‎ ‎，或 4分 或 又 6分 ‎（Ⅱ）由题意得 ‎ 7分 当时，（元），‎ 当且仅当取等； 9分 当时，（元） 10分 当 ，. 11分 答： (1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1000人，发车时间间隔为4min.‎ ‎(2)当发车时间间隔为7min时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为240元. 12分 ‎22.（本小题满分12分） ‎ 解：（Ⅰ）解法1: ， 1分 ‎ 2分 椭圆方程 4分 ‎（Ⅰ）解法2: 由已知得,则焦点坐标为 1分 ‎ 2分 ‎, ‎ 椭圆方程 4分 ‎（Ⅱ）解法1 ：(i) 当直线斜率不存在时， 5分 ‎(ii)当直线斜率存在时，设直线方程为，联立 得：‎ ‎ 6分 ‎， ‎ 又直线与圆相切，，即 7分 ‎ 8分 ‎ 9分 令，则，‎ ‎ 10分 令，则 ‎ 设,,则 ‎ ‎, 在递增，‎ ‎, 即 ‎； 11分 综上，由(i)和(ii)知，三角形面积的取值范围为. 12分 解法2：(i)当直线斜率不存在时， 5分 ‎(ii)当直线斜率存在时，设直线方程为，联立 得：‎ ‎ 6分 ‎， ‎ 又直线与圆相切，,即 7分 ‎ 8分 ‎ 9分 令，则，，‎ ‎ 11分 综上，由(i)和(ii)知，三角形面积的取值范围为. 12分 ‎(备注：若直接写出正确答案,没有详细解答步骤的给2分)‎ ‎ ‎