高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第5节-基础达标
第二章 第五节
一、选择题
1．(文)在同一坐标系中，函数 y＝2x 与 y＝(1
2)x 的图像之间的关系是( )
A．关于 y 轴对称 B．关于 x 轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线 y＝x 对称
[答案] A
[解析] ∵y＝(1
2)x＝2－x，
∴它与函数 y＝2x 的图像关于 y 轴对称．
(理)(2015·东营质检)函数 y＝3x 与 y＝－3－x 的图像的对称图形为( )
A．x 轴 B．y 轴
C．直线 y＝x D．原点
[答案] D
[解析] 由 y＝－3－x 得－y＝3－x，(x，y)→(－x，－y)，即关于原点中心对称．
2．函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则有( )
A．a＝1 或 a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0 且 a≠1
[答案] C
[解析] 由已知，得 a2－3a＋3＝1，
a>0 且 a≠1，
即 a2－3a＋2＝0
a>0 且 a≠1.
∴a＝2.
3．(文)设 y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝
1
2 －1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
[答案] D
[解析] y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，
∵y＝2x 在 R 上是单调递增函数，∴y1>y3>y2.
(理)设函数 f(x)＝a－|x|(a>0，且 a≠1)，f(2)＝4，则( )
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝a－|x|(a>0，且 a≠1)，f(2)＝4，
∴a－2＝4，∴a＝1
2
，∴f(x)＝(1
2)－|x|＝2|x|，
∴f(－2)>f(－1)，故选 A．
4．若函数 f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足 f(1)＝1
9
，则 f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
[答案] B
[解析] ∵f(1)＝1
9
，∴a2＝1
9
，
∵a>0 且 a≠1，∴a＝1
3
，
∴f(x)＝(1
3)|2x－4|，
∵t＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝(1
3)t 为减函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减．
5．已知 f(x)＝2x＋2－x，若 f(a)＝3，则 f(2a)＝( )
A．5 B．7
C．9 D．11
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3，f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a)2＋(2－a)2＝(2a
＋2－a)2－2＝9－2＝7.
6．(文)给出下列结论：
①当 a<0 时，(a2)
3
2 ＝a3；
②n an＝|a|(n>1，n∈N＋，n 为偶数)；
③函数 f(x)＝(x－2)
1
2 －(3x－7)0 的定义域是{x|x≥2 且 x≠7
3}；
④若 2x＝16,3y＝ 1
27
，则 x＋y＝7.
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
[答案] B
[解析] ∵a<0 时，(a2)
3
2 >0，a3<0，∴①错；
②显然正确；解 x－2≥0
3x－7≠0
，得 x≥2 且 x≠7
3
，∴③正确，
∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝ 1
27
＝3－3，∴y＝－3，
∴x＋y＝4＋(－3)＝1，∴④错．
(理)已知实数 a、b 满足等式
1
2 a＝
1
3 b，下列五个关系式：①0
0 时，
1
2 a＝
1
3 b，则有 00，a≠1}，如
果 P∩Q 有且只有一个元素，那么实数 m 的取值范围是________．
[答案] (1，＋∞)
[解析] 如果 P∩Q 有且只有一个元素，即函数 y＝m 与 y＝ax＋1(a>0，且 a≠1)图像只
有一个公共点．
∵y＝ax＋1>1，∴m>1.
∴m 的取值范围是(1，＋∞)．
9．若函数 f(x)＝ax－1(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则 a＝________.
[答案] 3
[解析] 当 a>1 时，f(x)为增函数，
则 f0＝0，
f2＝2，
即 a0－1＝0，
a2－1＝2，
∴a＝ 3.
当 00，得 2x1＋1>0,2x2＋1>0，
所以，f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)0，f(x)＝ex
a
＋a
ex
是 R 上的偶函数．
(1)求 a 的值；
(2)证明 f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解方程 f(x)＝2.
[解析] (1)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，即e－x
a
＋ a
e－x
＝ex
a
＋a
ex
恒成立．
整理，得(a2－1)(e2x－1)＝0 对任意实数 x 恒成立，
故 a2－1＝0.又∵a>0，∴a＝1.
(2)证明：在(0，＋∞)任意取 x1，x2，设 00，x2>0，x2－x1>0，
得 x1＋x2>0，ex2－x1－1>0,1－ex2＋x1<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由 f(x)＝2，得 ex＋1
ex
＝2，即 e2x－2ex＋1＝0.
∴ex＝1＝e0.∴x＝0.故方程 f(x)＝2 的根为 x＝0.
一、选择题
1．已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<－1 或 x>1
2}，则 f(10x)>0 的解集为( )
A．{x|x<－1 或 x>－lg2} B．{x|－1－lg2} D．{x|x<－lg2}
[答案] D
[解析] 由条件知 f(x)>0 的解集为{x|－10，∴－1<10x<1
2
，∴x<－lg2.
2．(2015·忻州联考)已知 a>0 且 a≠1，f(x)＝x2－ax，当 x∈(－1,1)时均有 f(x)<1
2
，则实
数 a 的取值范围是( )
A．(0，1
2)∪[2，＋∞) B．[1
4
，1)∪(1,4]
C．[1
2
，1)∪(1,2] D．(0，1
4)∪[4，＋∞)
[答案] C
[解析] 由 x2－ax<1
2
得 ax>x2－1
2
，设函数 y1＝ax，y2＝x2－1
2
，分别作出它们的图像，如
图，由图易知，当 0x2－1
2
，则 x＝1 时，a1≥12－1
2
＝1
2
，反
之亦成立，同理，a>1 时，可得 1f(n)，则 m，n 的大小关
系为________．
[答案] mf(n)得 mf(n)，则 m、
n 的大小关系为________．
[答案] m>n
[解析] ∵a2－2a－3＝0，∴a＝3 或 a＝－1(舍)．
函数 f(x)＝ax 在 R 上递增，由 f(m)>f(n)得 m>n.
4．(文)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
[答案] (1，＋∞)
[解析] 令 ax－x－a＝0 即 ax＝x＋a，若 01，y＝ax 与 y＝x＋a 的图像如图所示．
(理)若直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|(a>0 且 a≠1)的图像有两个公共点，则 a 的取值范围
是________．
[答案] 0，1
2
[解析] 数形结合．
由图可知 0<2a<1，∴0－2t2＋k.
即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k>0.
从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得 k<－1
3.
解法 2：由(1)知 f(x)＝－2x＋1
2x＋1＋2
，又由题设条件得
－2t2－2t＋1
2t2－2t＋1＋2
＋－22t2－k＋1
22t2－k＋1＋2
<0，
即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)·(－22t2－k＋1)<0.
整理得 23t2－2t－k>1，因底数 2>1，故 3t2－2t－k>0.
上式对一切 t∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得 k<－1
3.
6．已知 f(x)＝3x，并且 f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x 的定义域为[－1,1]．
(1)求函数 g(x)的解析式；
(2)判断 g(x)的单调性；
(3)若方程 g(x)＝m 有解，求 m 的取值范围．
[解析] (1)因为 f(a＋2)＝18，f(x)＝3x，
所以 3a＋2＝18⇒3a＝2，
所以 g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x，x∈[－1,1]．
(2)g(x)＝－(2x)2＋2x＝－ 2x－1
2 2＋1
4.
当 x∈[－1,1]时，2x∈
1
2
，2 ，
令 t＝2x，所以 y＝－t2＋t＝－ t－1
2 2＋1
4.
故当 t∈
1
2
，2 时，y＝－t2＋t＝－ t－1
2 2＋1
4
是减少的，
又 t＝2x 在[－1,1]上是增加的，
所以 g(x)在[－1,1]上是减少的．
(3)因为方程 g(x)＝m 有解，即 m＝2x－4x 在[－1,1]内有解．由(2)知 g(x)＝2x－4x 在[－1,1]
上是减少的，
所以－2≤m≤1
4
，
故 m 的取值范围是 －2，1
4 .
