【数学】浙江省丽水市2019-2020学年高二下学期期末教学质量监控试题

【数学】浙江省丽水市2019-2020学年高二下学期期末教学质量监控试题

浙江省丽水市 2019-2020 学年 高二下学期期末教学质量监控试题 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题部 分 3 至 4 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 第Ⅰ卷 选择题部分（共 40 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题 纸上。 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1． = A． B． C． D. 2．直线 的倾斜角是 A． B． C． D． 3．双曲线 的焦点坐标是 A． B． C． D． 4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等 于 2cos 3 π 1 2 3 2 1 2 − 3 2 − 3 +1y x= 6 π 4 π 3 π 4 3π 2 2 13 4 x y− = ±( 0, 1) ±( 1, 0) 7±( 0, ) 7±( , 0) A． B． C． D． 5．已知实数 满足不等式组 ，则 的最大值是 A． B． C． D． 6．函数 的图象不可能是 7．“ ”是“ 为圆方程”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．已知 是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交于 两点，且 ，则椭圆离心率的取值范围是 A . B． C. D． 9．在梯形 中， ， ， 为线段 上的动点（包括端点）， 且 （ ），则 的最小值为 310 cm 320 cm 330 cm 340 cm ,x y 1 1 x y x y  + ≤ − ≤ 2 +x y 1 2 3 4 2( ) ( R)xf x ax a = ∈+ 1 2m > 2 2 22 5 3 0x y mx m m+ − − − + = F 2 2 2 2+ 1( 0)x y a ba b = > > y kx= ,A B 60AFB∠ = ° 3( 1)2 ， 3(0 )2 ， 1(0 )2 ， 1( 1)2 ， ABCD 2AB DC=  1 3BE BC=  P DE AP AB BCλ µ= +   Rλ µ ∈， 2λ µ+ A． B． C. D． 10．已知数列 满足 （ ）， （ ），则下列说法中 错误的是 A．若 ，则数列 为递增数列 B．若数列 为递增数列，则 C．存在实数 ，使数列 为常数数列 D．存在实数 ，使 恒成立 第Ⅱ卷 非选择题部分（共 110 分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2．在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑。 二、填空题：本题共 7 小题，其中 11－14 题每小题 6 分，15－17 题每小题 4 分，共 36 分． 11．已知集合 ， ，则 ▲ , ▲ . 12．已知函数 ，则 ▲ ；若 ，则 的取值范围 是 ▲ . 13．已知直线 ， ，若 ，则 ▲；若 ，则 ▲ . 14. 定 义二 元 函 数 则 不等 式 的解 集 是 ▲ ； 若不 等 式 对任意实数 恒成立，则实数 的最大值是 ▲ . 15．在 中，角 所对的边分别为 ，若 成等差数列， 且 ，则 边上中线长的最小值是 ▲ . 16．在矩形 中， ， 是 的中点，将 沿 折起，则在翻折过 程中，异面直线 与 所成角的取值范围是 ▲ . 17．若对任意 ，当 时，不等式 恒成立，则实 数 的取值范围是 ▲ ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11 9 5 4 4 3 59 48 { }na 1a a= Ra∈ 2 1 2 2+n n na a a= + − *Nn∈ 1a > { }na { }na 1a > a { }na a 1 2na + ≤ { }2| 4 0A x x= − < { }| 1B x x= > A B = A B = 2log , 0 ( ) 2 , 0x x x f x x >=  ≤ 1( )=2f 1( )< 2f x x 1 : 2 3 0l x ay a+ + = 2 :( 1) 3 7 0l a x y a− + + − = //1 2l l =a 1 2l l⊥ =a ( , ) 2 ,f x y x y= − (1 ) 1f y ≤, ( ,1)+ ( , 2)f x f x m− ≥ x m ABC∆ , ,A B C , ,a b c cos , cos , cosa C b B c A 8a c+ = AC ABCD 2AB AD= E CD ADE∆ AE AD BE [ ]0 2b∈ ， 1 1x a  ∈  ， ( 1)a > 2 1 4ax bx x+ − ≤ a 18．（本题满分 14 分）已知函数 . （Ⅰ）求函数 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若角 ， ，求 的值. 19．（本题满分 15 分）在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）若 ，求 与平面 所成角的正弦值． 20．（本题满分 15 分）已知数列 的前 项和 ，正项等比数列 满足 ， 且 是 与 的等差中项． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 项和 . 21．（本题满分 15 分）如图，直线 与抛物线 相交于 两点，与 轴交于点 ，且 ， 于点 . （Ⅰ）当 时，求 的值； （Ⅱ）当 时，求 与 的面积之积 的取值范围. ( ) cos sin 3 cosf x x x x= +（ ） ( )f x (0, )α π∈ 3 3( ) +2 5 2 =αf 2sin( + )3 πα −P ABCD PA ⊥ ABCD //AD BC 2 4BC AD= = 10= =AB CD BD ⊥ PAC = 6AP BC PBD { }na n 2 nS n= { }nb 1 1b = 39b 2 2a b 3 1a b+ { } { }n na b， { }n na b n nT l xy 22 = BA， x Q OBOA ⊥ lOD ⊥ ( )D m n， 1=n m    ∈ 2 3,2 1m ODQ∆ OAB∆ ODQ OABS S∆ ∆⋅ 22．（本题满分 15 分）已知函数 ， ， . （Ⅰ）若函数 存在零点，求 的取值范围； （Ⅱ）已知函数 ，若 在区间 上既有最大值又有最小 值，求实数 的取值范围. 2( )f x x x = + 2( ) 2g x x ax= − + Ra∈ ( ( ))y g f x= a ( ) , ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( ) f x f x g xm x g x f x g x ≥=  < ( )m x (1,4) a 参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分． 1-10、CCDBB DAAAB 二、填空题：本题共 7 小题，其中 11－14 题每小题 6 分，15－17 题每小题 4 分，共 36 分． 11. ， 12. ， 13. ， 14. ， 15. 16. 17. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分 14 分） 解：（Ⅰ） 令 解得 所以函数 的单调递增区间为 （Ⅱ）因为 ，所以 故 ， 又 ， { }1 2x x< < { }2x x > − 1− ( 1) (0 2)−∞ − ， ， 3 2 5 { }1 3y y≤ ≤ 3 2 3 ( 4 2 π π  ， ](1 3， 1 3 3( ) sin 2 cos22 2 2f x x x= + + 3sin(2 )3 2x π= + + T π∴ = 2 2 22 3 2k x k k Z π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈， 5 12 12k x k k Z π ππ π− + ≤ ≤ + ∈， ( )f x 5 12 12k k k Z π ππ π − + + ∈  ， ， 3 3( ) +2 5 2 =αf 3 3 3sin( ) +3 2 5 2 πα + + = 3sin( )3 5 πα + = ( 0 )α π∈ ， 4( )3 3 3 π π πα + ∈ ， 3sin( )3 5 πα + = 4cos( )3 5 πα∴ + = − 即 . 19.（本题满分 15 分） （Ⅰ）证明：作 , 又 平面 ， 平面 （Ⅱ） 中， 中， 又 ， 点 到平面 的距离 与平面 所成角 的正弦为 20.（本题满分 15 分） 解：（Ⅰ）当 时， 当 时， 设数列 的公比为 ,由题意可得： 解得 ，或 （舍去） 2sin( + ) sin( )3 3 3 π π πα α∴ = + + sin( + )cos cos( )sin3 3 3 3 π π π πα α= + + 3 1 4 3 3 4 3 5 2 5 2 10 −= × − × = 2 3 4 3sin( + )3 10 πα −= DE BC⊥ AD=2,BC=4 CE=1, DE=BE=3∴ 45DBC ACB °∴ ∠ = ∠ = BD AC∴ ⊥ PA ⊥ ABCD A BDP∴ ⊥ BD∴ ⊥ PAC Rt PAB∆ 6, 10, 4PA AB PB= = ∴ = Rt PAD∆ 6, 2, 10PA AD PD= = ∴ = PBD CBD∴∆ ≅ ∆ C PBD P BCDV V− −= ∴ C PBD 6h PA= = BC∴ PBD α 6sin 4 h BC α = = 1n = 1 1 1a S= = 2n ≥ 2 2 1 ( 1) 2 1n n na S S n n n−= − = − − = − 2 1na n∴ = − 2 33 5a a∴ = =， { }nb q 218 3 6q q= + 2 3q = 1 2q = − 12 3 n nb − ∴ =    所以 ， （Ⅱ）由（Ⅰ）有 所以 两式相减有： 所以 21.（本题满分 15 分） 解：（Ⅰ）设直线 方程为 ，其中 由 得 设 ， ，则有 ， ，即 ，直线 为： ，点 ，即 而 解得 2 1na n= − 12 3 n nb − =    12(2 1) 3 n n na b n − = − ⋅   1 1 2 2 3 3n n nT a b a b a b a b= + + + + 2 3 12 2 2 21 1 3 5 ( ) 7 ( ) (2 1) ( )3 3 3 3 nn −= × + × + × + × + + − × 2 3 4 12 2 2 2 2 2 21 3 ( ) 5 ( ) 7 ( ) (2 3) ( ) (2 1) ( )3 3 3 3 3 3 3 n n nT n n−∴ = × + × + × + × + + − × + − × 2 3 11 2 2 2 2 21 2 ( ) ( ) ( ) (2 1) ( )3 3 3 3 3 3 n n nT n− = + × + + + + − − ×   12 21 4 4 ( ) (2 1) ( )3 3 n nn−= + − × − − × 110 4 25 ( )3 3 3 nn − = − + ×   ( ) 1215 10 4 ( )3 n nT n −= − + × x ty b= + 0b ≠ 2 2 x ty b y x = +  = 2 2 2 0y ty b− − = 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， 1 2 2y y b= − 2 2 1 2 1 2 1 ( )4x x y y b= = OA OB⊥ 1 2 1 2 0x x y y∴ + = 2 2 0b b− = 2b∴ = l 2x ty= + (2 0)Q ， OD DQ⊥ 12 n n m m ∴ × = −− 2 (2 )n m m= − 1n = 1m = （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， ， 的取值范围为 22.（本题满分 15 分） 解：（Ⅰ）令 有 ， 而 所以要使函数 存在零点，只需 或 即 或 （Ⅱ）要使 有最大值，则必有 ，即 解得 当 时， 所以 要存在最小值必须有 即 ，解得 1 2 2y y t+ = 1 2 4y y = − 2 2 1 1 2 1 22 ( ) 4 4( 4)y y y y y y t∴ − = + − = + OD l⊥ 2 (2 )n m m= − nt m ∴ = − 2 2 2 2 1nt m m ∴ = = − 1 (2 )2ODQS OQ n n m m∆ = ⋅ = = − 2 1 2 1 24( 4) 2 32OABS OQ y y t m∆ = ⋅ − = + = + 22 162 (2 )(2 3 ) 2 3( )3 3ODQ OABS S m m m∆ ∆∴ ⋅ = − + = − − + 1 3,2 2m  ∈   ODQ OABS S∆ ∆∴ ⋅ 813 33     ， ( ) 0g x = 1 0x = 2 2 ax = ( )( ) 2 2 2 2 +f x  ∈ −∞ − ∞ ， ， ( ( ))y g f x= 2 22 a ≤ − 2 22 a ≥ 4 2a ≤ − 4 2a ≥ ( )m x 1 44 ( ) (4)4 a ag f  < <  ≥ 4 16 6 6 a a a < <  ≤ − ≥ 或 6 16a≤ < 6 16a≤ < (1) 2 4 3 (1)g a f= − ≥ > = ( )m x (4) (4)g f< 94 32 2a − < 73 8a < 当 时， ， 令 ，有 ，此时 又由 得， 在 上存在 ，使 在 上递增， 上递减， 上递增 在 上单调递减， 在区间 有最大值 ，最小值 即当 时， 在区间 上既有最大值又有最小值. 736 8a≤ < 2 4( 1)2 2 2 a af a −− = + − ( 1) (1) 22 ag g a− = = − 2 2 a t − = 57(2 )16t ∈ ， 22 2( ) ( ) 0tg t f t t t t −− = − = > (4) (4)g f< [ ]( 1) ( 1) (4) (4) 02 2 a ag f g f − − − ⋅ − <   ∴ 1, 42 a −   0x 0 0( ) ( )g x f x= ( )m x∴ (1 )4 a， 0( )4 a x， 0( 4)x ， ( )g x∴ ( 4)4 a， ( 1) (1) ( 1)2 2 a ag g f− = > − ( )m x∴ (1 4)， ( )4 am 0( )m x 736 8a≤ < ( )m x (1 4)，