山西省晋中市2020届高三下学期一模考试（普通招生考试模拟）数学（文）试题 Word版含解析

山西省晋中市2020届高三下学期一模考试（普通招生考试模拟）数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年普通高等学校招生统一模拟考试 数学（文科）‎ ‎（本试卷考试时间120分钟，满分150分）‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置．‎ ‎2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．‎ ‎3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上．‎ ‎4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．‎ 参考公式：锥体的体积公式：（其中为锥体的底面积，为锥体的高）．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式，求得集合A.根据函数的定义域，求得集合B.即可求得交集.‎ ‎【详解】解：因为集合，‎ 集合，所以．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，函数定义域的求解，集合的交集运算.属于基础题.‎ ‎2.若复数（为虚数单位），则值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘法运算，求出复数，再由共轭复数的概念得.‎ ‎【详解】解析：，所以．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的乘法运算，共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎3.若，，且，则向量的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量垂直则数量积为零，求得，再根据夹角公式求得结果.‎ ‎【详解】根据题意，由于向量，，且，‎ ‎，，‎ 故，又向量夹角的范围为，‎ 故可知向量的夹角为.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的转化，以及由数量积求向量的夹角，属综合基础题.‎ ‎4.若，则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式性质，正切函数、幂函数、对数函数的性质，结合特值，进行判断即可.‎ - 25 -‎ ‎【详解】若，则，所以A错误；‎ 若，取，，，所以B错误；‎ 对于C选项，由于对数函数在上单调递增，‎ ‎，当时，，C选项中的不等式不恒成立，故错误；‎ 若，且幂函数在上单调递增，所以，所以D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查正切函数、对数函数、幂函数的单调性，以及不等式的性质，属综合基础题.‎ ‎5.给定下列四个命题，其中真命题是（ ）‎ A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行 B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行 D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，结合判定定理和性质定理，对选项进行逐一分析即可判断.‎ ‎【详解】正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误；‎ 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，‎ 两直线可以相交，也可以成异面直线，故B错误；‎ 正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C错误 对：利用反证法简单证明如下：‎ 若两个平面垂直，假设一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面垂直.‎ 因为，且平面的交线，‎ - 25 -‎ 故可得，‎ 这与题设与不垂直相互矛盾，故假设不成立，原命题成立.‎ 即选项正确.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，属综合基础题.‎ ‎6.已知抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点，且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则等于（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义，求得，再结合抛物线方程，求得点的坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为抛物线过点，故可得该抛物线开口向上，‎ 设其方程为，‎ 由抛物线定义知，，所以，‎ 则抛物线方程为，‎ 因为点在此抛物线上，所以，‎ 于是，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，以及抛物线上一点坐标的求解，属基础题.‎ ‎7.某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则该同学10次测评的平均成绩为（ ）‎ - 25 -‎ A. 12 B. 11.4 C. 11.3 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中位数求出，再代入平均数的公式，求得平均数.‎ ‎【详解】因为中位数为12，所以，，‎ 所以该组数据的平均数为：‎ ‎.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了已知茎叶图的中位数，求参数的问题，平均数的求解，属于基础题.‎ ‎8.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用降幂扩角公式化简，再根据其周期求得，结合图象的左右平移求得平移后的解析式，利用是函数的对称轴，求得关于的方程，即可求得的最小值.‎ ‎【详解】容易知 又其周期为，可得，故．‎ - 25 -‎ 将其图象向右平移个单位可得的图象，‎ 根据其图象关于对称，‎ 可得，，‎ 则，，又，‎ 故当时，取得最小正值为.‎ 所以实数的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查降幂扩角公式的应用，求函数图像平移后的解析式，以及余弦型三角函数的性质，属综合中档题.‎ ‎9.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（ ）‎ A. 2小时 B. 4小时 C. 6小时 D. 8小时 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出函数模型，根据题意，列出不等式，求解即可.‎ ‎【详解】因为，故喝酒后驾驶员血液中酒精含量为.‎ 不妨设喝酒后经过的时间为，小时后血液中酒精含量为，‎ 故可得.‎ 根据题意，若想安全驾驶，则，‎ 即可得，‎ - 25 -‎ 即，‎ 因为，又，，，‎ 根据选项可知，取整数，‎ 所以，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解决问题的关键是要建立正确的函数模型，属中档题.‎ ‎10.已知为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数；再利用辅助角公式化简，根据其最值，求得即可.‎ ‎【详解】由条件知，则由，‎ 得，‎ 即，‎ 解得或（舍去），‎ 则．‎ 因为，‎ 所以．‎ - 25 -‎ 则当，即时，‎ 函数取得最大值，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最值时自变量的求解，属综合中档题.‎ ‎11.已知双曲线，点是双曲线的左焦点，过原点的直线交双曲线于两点，且，，如图所示，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出右焦点，则可得平行四边形，则.由双曲线的定义可知，从而可求出.在两个直角三角形和中，利用勾股定理可求得，则可求出离心率.‎ ‎【详解】如图 设双曲线的右焦点为，根据对称性知是平行四边形，‎ 所以有，‎ - 25 -‎ 又点在双曲线上，所以，‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 在中，，则，‎ 在中，，‎ 所以，即，‎ 所以双曲线的离心率.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的定义及图象的对称性，双曲线离心率的求法，属于中档题.‎ ‎12.函数，若存在正实数，其中且，使得，则的最大值为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的值域为，由此得出，则由不等式的性质可知 ‎，.由 可将本题转化为，据此可得关于的不等式组，从而求出的取值范围，进而求出的最大值.‎ ‎【详解】，‎ 当时，，，‎ - 25 -‎ ‎，，‎ 即，所以，‎ ‎，‎ 由知，‎ 集合，‎ 因为且，所以，，‎ 所以，即，又，‎ 所以的最大值为8.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数值域的求解，不等式的性质，考查了转化的思想，计算能力，难度较大.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种900株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为_______．‎ ‎【答案】300‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型的逆用，即可解决本题.‎ ‎【详解】由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的，‎ 设阴影部分能栽种株，则有，解得．‎ ‎【点睛】本题考查了面积型的几何概型问题，属于基础题.‎ - 25 -‎ ‎14.已知函数是奇函数，当时，（且），且，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数奇偶性，结合已知函数值和函数解析式，利用对数运算，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，且为奇函数，‎ 故可得，‎ 则；‎ 又当时，‎ 故可得，‎ 即，故可得或(舍).‎ 即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，涉及对数运算，属综合基础题.‎ ‎15.在中，内角所对应的边分别为，且，若的面积，则面积的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦的倍角公式，结合正弦定理将边化角，即可求得，结合面积公式，求得等量关系；再由余弦定理，以及基本不等式求得的最小值，即可求得面积的最小值.‎ ‎【详解】由，得，‎ 由正弦定理得，‎ - 25 -‎ 所以，，‎ 则，‎ 所以，‎ 由余弦定理得，即，‎ 所以，当且仅当时等号成立，‎ 故，‎ 所以面积的最小值为．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦的倍角公式、利用正弦定理进行边角转化，涉及余弦定理，面积公式，以及基本不等式求最值，属综合压轴题.‎ ‎16.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，，则三棱锥的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为_______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）容易知中点为外接球球心，则为外接球直径，从而求得半径，利用表面积公式，即可求得结果；‎ ‎（2）体积最大时，即平面平面，求得点到平面 - 25 -‎ 距离，利用棱锥体积公式即可求得结果.‎ ‎【详解】（1）因为，，‎ 且，，‎ 所以，，．‎ 因为，‎ 所以三棱锥的外接球的直径为，‎ 所以球的半径，‎ 故球的表面积为．‎ ‎（2）当点到平面距离最大时三棱锥的体积最大，‎ 此时平面平面，‎ 过点作，‎ 因为平面，平面平面，且交于，‎ 故可得平面，‎ 则点到平面的距离为，‎ 又在中，，‎ 所以．‎ 故答案为：；.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解，以及棱锥体积的求解，涉及面面垂直推证线面垂直，属综合中档题.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17.已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，平面，且，且，为的中点．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求多面体的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见详解；（2）16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，为中位线，则且.又由题知且，易证故四边形是平行四边形，，从而直线平面得证；‎ ‎（2）该多面体就是四棱锥，取中点，连接，可证得平面，则可求得该四棱锥的体积.‎ ‎【详解】解：（1）设的中点为，连接，‎ 则，，‎ 又且，‎ - 25 -‎ 所以且，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）取中点，连接.‎ 因为，所以在同一平面上，‎ 所以多面体是四棱锥，‎ 因为平面，平面，所以，‎ 又为等腰直角三角形，，是的中点，‎ 所以，‎ 所以平面，即是四棱锥的高，‎ 已知，所以，，，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，四棱锥体积的求解，属于中档题.‎ ‎18.2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 ‎20‎ ‎50‎ - 25 -‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎100‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？‎ ‎（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，求选出的两人均为女生的概率．‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，．‎ ‎【答案】（1）列联表见详解，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论；‎ ‎（2）根据题意求出分层抽样随机抽取的6人中男生2人，女生4人，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值.‎ ‎【详解】解：（1）补充完整的列联表如下：‎ 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 女生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ - 25 -‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 计算得的观测值为 ‎，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系；‎ ‎（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，‎ 则每人被抽到概率均为，需抽取男生2人，女生4人，‎ 设抽取的男生为，女生为，‎ 选出的两人均为女生为事件，‎ 则基本事件空间 ‎，，‎ 事件，，‎ ‎，‎ 故选出的两人均为女生的概率为．‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验，分层抽样，以及列举法求古典概型的概率问题，属于基础题.‎ ‎19.已知等差数列前项和为，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和；‎ ‎（2）设，求前项和．‎ ‎【答案】（1），．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的性质，可求得，从而求出公差，由此可写出通项公式以及前 - 25 -‎ 项和；‎ ‎（2）写出数列的通项公式，利用并项求和的方法，求其前项和.‎ ‎【详解】解：（1）由得．‎ 又因为，所以，‎ 所以，．‎ ‎（2）．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，通项公式及前项和公式，考查了并项求和的数列求和方法，属于中档题.‎ ‎20.设椭圆长轴长为4，右焦点到左顶点的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过原点的直线交椭圆于两点（不在坐标轴上），连接并延长交椭圆于点，若，求四边形面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，列出的方程组，求解即可求得结果；‎ ‎（2）设出直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，用参数表示的面积；根据向量关系，求得 - 25 -‎ ‎，再利用对勾函数单调性求面积关于参数的函数的最大值即可.‎ ‎【详解】（1）由题意可得，‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 设直线的方程为，‎ 联立得．‎ 设，，‎ 则，．‎ 因为，‎ 故可得四边形为平行四边形，则，‎ 又，‎ 故．‎ 设，，‎ 则，‎ 令，故可得，‎ - 25 -‎ 当时，恒成立，故在单调递增，‎ 故在上单调递减，‎ 所以当，即时，‎ 四边形的面积取得最大值．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，椭圆中四边形面积的最值的求解，属综合中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：‎ ‎（i）；‎ ‎（ii）证明：．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，再令进行二次求导.讨论的取值范围，求出和的解集，也即求出的单调区间；‎ ‎（2）（i）将代入，得，利用作差法构造函数，根据导函数求出其最大值为0，则原不等式得证；‎ ‎（ii）由（i）知，即 由此得，则，即，再根据裂项相消法求和，即可证明该不等式.‎ - 25 -‎ ‎【详解】解：（1）,‎ 令，‎ ‎①当时，，在上单调递增；‎ ‎②当时，若，，单调递增，‎ 若，，单调递减；‎ ‎③当时，若，，单调递减，‎ 若，，单调递增．‎ 综上，当时，在上单调递增；‎ 当时，在上调递增，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）（i）当时，，所以，‎ 令，则，‎ 若，，单调递增；‎ 若，，单调递减．‎ ‎，‎ 即，即．‎ ‎（ii）当时，，．‎ 由（i）知，即，‎ 令得，即，‎ - 25 -‎ 所以 ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了导函数的应用，求解含参数的函数的单调性，证明不等式，以及数列不等式的证明，裂项相消法求数列的和.考查了分类讨论思想，逻辑推理的能力，属于难度较大的题.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎【选修4—4：坐标系与参数方程】‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且均异于极点，求的值．‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，消参即可求得的普通方程；利用，即可求得曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）联立以及极坐标方程，即可容易求得 - 25 -‎ 两点在极坐标系下的坐标，再求两点之间的距离即可.‎ ‎【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数）．‎ 转换为普通方程为．‎ 曲线的极坐标方程为．‎ 转换为直角坐标方程为：．‎ ‎（2）曲线的参数方程为（为参数）．‎ 转换为极坐标方程为：．‎ 联立与 解得：，．‎ 整理得．‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程之间的相互转化，以及利用极坐标求两点之间的距离，属综合基础题.‎ ‎【选修4—5：不等式选讲】‎ ‎23.已知关于的函数．‎ ‎（1）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值三角不等式求得的最小值，再解绝对值不等式即可；‎ - 25 -‎ ‎（2）当时，将问题转化为恒成立，即可容易求得参数的范围.‎ ‎【详解】（1）对，，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 故原条件等价于，‎ 即，解得，‎ 故实数的取值范围是．‎ ‎（2）当时，‎ ‎，‎ 所以，即，则，‎ 又的解集包含，‎ 所以在上恒成立，‎ 所以当时，，‎ 因为，，‎ 因此的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求函数的最值，绝对值不等式的求解，属综合中档题.‎ - 25 -‎ - 25 -‎