【数学】2020届一轮复习人教A版第十六章选修4第12课　特征值与特征向量作业（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第十六章选修4第12课　特征值与特征向量作业（江苏专用）

随堂巩固训练(12)‎ ‎ 1. 已知矩阵A＝，若矩阵A的属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝.求矩阵A的逆矩阵．‎ ‎ 2. 已知矩阵A＝，若点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．‎ ‎(1) 求实数a的值；‎ ‎(2) 求矩阵A的特征值．‎ ‎ 3. 若矩阵A有特征向量i＝和j＝，且它们对应的特征值分别为λ1＝2，λ2＝－1.‎ ‎(1) 求矩阵A及其逆矩阵A－1；‎ ‎(2) 求逆矩阵A－1的特征值及特征向量；‎ ‎(3) 对任意向量α＝，求A100α.‎ ‎ 4. 设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．‎ ‎(1) 求矩阵M的特征值及相应的特征向量；‎ ‎(2) 求逆矩阵M－1以及椭圆＋＝1在M－1的作用下得到的新曲线的方程．‎ 答案与解析随堂巩固训练(12)‎ ‎1. 解析：由矩阵A的属于特征值6的一个特征向量为α1＝，可得＝6×，即c＋d＝6；‎ 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得＝，即3c－2d＝－2，解得即A＝，‎ 所以矩阵A的逆矩阵是.‎ ‎2. 解析：(1) 由＝，得a＋1＝－8，‎ 所以a＝－9.‎ ‎(2) 由(1)知A＝，矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A的特征值为－2或4.‎ ‎3. 解析：(1) 设矩阵A＝，那么根据题意可得＝2×，即 ＝－1×，即 故矩阵A＝，逆矩阵A－1＝.‎ ‎(2) 逆矩阵的特征值有两个分别为λ′1＝－1，λ′2＝，属于特征值λ′1的一个特征向量可以取m＝，属于特征值λ′2的一个特征向量可以取n＝.‎ ‎(3) 由于α＝＝x＋y＝xi＋yj，‎ 则A100α＝xλi＋yλj＝2100x＋y＝.‎ ‎4. 解析：(1) 由题意可得 M＝，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝||＝(λ－2)(λ－3)，‎ 令f(λ)＝0，解得矩阵M的特征值λ1＝2，λ2＝3.‎ 将λ1＝2代入二元一次方程组 x为任意非零实数，y＝0，取x＝1，‎ 故λ1＝2对应的一个特征向量为，‎ 同理得λ2＝3对应的一个特征向量为.‎ ‎(2) M－1＝，设点(x′，y′)为椭圆上任意一点，(x，y)为经过M－1作用后的点．‎ 则＝＝，即 则代入椭圆方程得＋＝1，即为x2＋y2＝1，故在逆矩阵M－1作用下，椭圆＋＝1变换的新的曲线方程为x2＋y2＝1.‎