陕西省渭南市2020届高三上学期期末教学质量检测（Ⅰ）数学（理）
渭南市2020年高三教学质量检测(Ⅰ)
数学试题(理科) 2020-01-07
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.设全集U=R, 集合A={x|0
0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P, 若点P在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是
A. (1, ) B. (,+∞) C. (1,2) D. (2,+∞)
10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说:”白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个数学问题”将军饮马”, 即将军在观望烽为之后从脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为≤1,若将军从点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,假定将军只要达军营的在区域即回到军营,即”将军饮马”的最短总路程为
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A. 2－1 B. －1 C. 2 D.
11.设函数的图像为C, 下面结论正确的是
A. 函数f(x)的最小正周期是2π. B.函数f(x)在区间(,)上是递增的;
C.图像C关于点(,0)对称;
D. 图像C由函数的图像向左平移个单位得到
12.已知函数,若 (m为常数)有两个零点x1,x2,则x1·x2的取值范围是
A. (－∞, ) B. (,+∞) C. (－∞,4－2ln2] D. [4－2ln2,+∞)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列{an}的前n项和,其中n∈N*, 则an=
14.设D为△ABC所在平面内的一点, 若,,则=
15. 从的展开式各项中随机选两项,则这两项均是有理项的概率为
16.在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC, △ABC是边长为6的等边三角形,△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形,则该三棱锥外接球的体积为
三、解答题：共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(一)必考题: 共60分
17. (本题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,∠BCD=135°,
PA⊥平面ABCD,AB=AC=PA=2,E,F,M分别为线段BC,AD,PD的中点.
(1)求证: 直线EF⊥平面PAC;
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(2)求平面MEF与平面PBC所成二面角的正弦值.
18. (本题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B是A,C的等差中项.
(1)若b=,a=3, 求边c的值;
(2)设t=sinAsinC, 求t的取值范围.
19. (本题满分12分)
2019年某地区数学竞赛试行改革: 在高二年级一学年中举行5次全区竞赛,学生有2次成绩达全区前20名即可进入省队培训,不用参加剩余的竞赛,而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定: 若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名,则第5次不能参加竞赛,假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是,每次竞赛成绩达全区前 20名与否互相独立.
(1)求该学生进入省队的概率.
(2)如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束,记该学生参加竞赛的次数为X,求X的分布列及X的数学期望.
20. (本题满分12分)
已知函数, (b为常数)
(1)若b=1, 求函数H(x)=f(x)－g(x)图像在x=1处的切线方程;
(2)若b≥2, 对任意x1,x2∈[1,2], 且x1≠x2, 都有|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|成立,求实数b的值.
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21. (本题满分12分)
已知椭圆C: (a>b>0)的一个焦点与抛物线的焦点相同,F1,F2为C的左、右焦点,M为C上任意一点, 最大值为1.
(1) 求椭圆C的方程;
(2)不过点F2的直线l: y=kx+m (m≠0)交椭圆C于A,B两点.
①若,且,求m的值.
②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等,求证: 直线l过定点,并求出该定点的坐标.
(二)选考题: 共10分.考生在第22,23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答时用2B铅笔在答题卡上把目的题号涂黑.
22. (本题满分10分)
在直角坐标系中xoy中, 直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的参数方程为(θ为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(1)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)设直线l交曲线C1于O,A两点,交曲线C2于O,B两点,求|AB|的长.
23. (本题满分10分)
已知a>0,b>0,c>0, 函数f(x)=|a－x|+|x+b|+c.
(1)当a=b=c=2时, 求不等式f(x)<10的解集;
(2)若函数f(x)的最小值为1, 证明: a2+b2+c2≥.
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