2018-2019学年河北省定州市高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年河北省定州市高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省定州市高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】， ，故选C.‎ ‎2．下列选项中的两个函数表示同一函数的是（ ）‎ A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 ‎【答案】B ‎【解析】逐一分析所给的选项是否符合题意即可.‎ ‎【详解】‎ 逐一分析所给的选项：‎ A.与 ，函数的解析式不一致，不是同一个函数；‎ B.与的定义域和解析式一致，是同一个函数；‎ C.的定义域为，与的定义域为，函数的定义域不一致，不是同一个函数；‎ D.的定义域为，与的定义域为，函数的定义域不一致，不是同一个函数.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的定义及其应用，属于基础题.‎ ‎3．下表是某次测量中两个变量的一组数据,若将表示为关于的函数,则最可能的函数模型是( )‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎0.63‎ ‎1.01‎ ‎1.26‎ ‎1.46‎ ‎1.63‎ ‎1.77‎ ‎1.89‎ ‎1.99‎ A． 一次函数模型 B． 二次函数模型 C． 指数函数模型 D． 对数函数模型 ‎【答案】D ‎【解析】对于，由于均匀增加，而值不是均匀递增，不是一次函数模型；对于，由于该函数是单调递增，不是二次函数模型；对于，过不是指数函数模型，故选D.‎ ‎4．已知函数，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，故选D ‎【考点】分段函数求值 ‎5．已知函数（且）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题可知，函数的图像恒过点A（-2，-1），将A（-2，-1）代入到函数中，得到，因此 ‎，所以；‎ ‎【考点】对数的基本运算 ‎6．设，，，则的大小关系为（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意结合指数函数、对数函数的性质比较a,b,c的大小即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：，，，据此可得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．‎ ‎7．设奇函数在(0，＋∞)上为单调递减函数，且，则不等式的解集为 ( )‎ A． (－∞，－1]∪(0,1] B． [－1,0]∪[1，＋∞)‎ C． (－∞，－1]∪[1，＋∞) D． [－1,0)∪(0,1]‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合奇函数的性质求解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 由奇函数的定义可知不等式即，则，‎ 结合奇函数的性质绘制函数的大致图象如图所示，原不等式等价于：‎ 或，‎ 结合函数图象可得不等式的解集分别为：和，‎ 综上可得，不等式的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞).‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查奇函数的性质，函数图像的应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．函数（）的图象的大致形状是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的定义域为{x|x≠0}，所以y＝＝ 当x＞0时，函数是指数函数，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数图象与指数函数y＝ax(x＜0)的图象关于x轴对称，函数递增．‎ 故选:D.‎ 点睛：识图常用的方法 ‎(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；‎ ‎(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；‎ ‎(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．‎ ‎9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其命名的“高斯函数”为：设用[]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数，则函数的值域为（ ）‎ A． {0,1} B． {0} C． {-1,0} D． {-1,0,1}‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意首先确定函数的值域，然后求解函数的值域即可.‎ ‎【详解】‎ 函数的解析式，‎ 由于，故，‎ 结合函数的定义可得函数的值域为{-1,0}.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ ‎“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ ‎10．已知函数,满足,则的值为( )‎ A． B． 2 C． 7 D． 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意结合函数解析中中部分奇函数的性质计算的值即可.‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ 由题意可知，据此可得，‎ 由于函数是奇函数，故，‎ ‎.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查奇函数的性质及其应用，函数值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．已知函数当时，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵当x1≠x2时，＜0，∴f（x）是R上的单调减函数，‎ ‎∵f（x）=，∴，‎ ‎∴0＜a≤，故选：A．‎ ‎12．已知函数，若关于的方程有 个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 画出的图象，如图，设，原方程化为，①‎ 由图知，要使方程 个不等的实数根方程，只需在有上有两个不等的根，则，解得，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、方程的根与系数之间的关系，数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.‎ 二、填空题 ‎13．设函数，则关于的不等式解集为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，不等式即，不等式的解集为，据此可得；‎ 当时，不等式即，不等式的解集为，据此可得；‎ 综上可得，不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎14．已知幂函数为偶函数，则函数的单调递减区间是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意首先求得实数a的值，然后确定其单调区间即可.‎ ‎【详解】‎ 幂函数为偶函数，则：，且为偶数，据此可得：，‎ 函数的定义域满足：，解得：或，‎ 二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 对数函数单调递增，由复合函数同增异减的原则可知函数的单调递减区间是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的定义，函数的奇偶性，复合函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15．设是两个非空集合，定义运算．已知，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别确定集合A,B，然后求解即可.‎ ‎【详解】‎ 求解函数的定义域可得：,‎ 求解函数的值域可得，‎ 则，‎ 结合新定义的运算可知： ，‎ 表示为区间形式即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的表示及其应用，新定义知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．对于函数，设，若存在，使得，则称互为“零点相邻函数”.若与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先确定函数的零点，然后结合新定义的知识得到关于a的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 很明显函数是R上的单调递增函数，且，据此可知，‎ 结合“零点相邻函数”的定义可得，则，‎ 据此可知函数在区间上存在零点，‎ 即方程在区间上存在实数根，‎ 整理可得：，‎ 很明显函数在区间上单调递增，‎ 且，则函数的值域为，‎ 据此可知实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ ‎“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ 三、解答题 ‎17．已知不等式的解集为，函数的值域为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)首先求得集合A和集合B，然后进行集合的混合运算即可；‎ ‎（2）由题意可知，据此分类讨论和两种情况确定实数a的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意，‎ ‎ .‎ ‎（2）由得，‎ ‎（i）当时即时，解得符合题意，‎ ‎（ii）当则.‎ 综上所述.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的表示方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性并证明；‎ ‎（2）求关于的不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意考查与的关系即可确定函数的奇偶性；‎ ‎（2）首先确定函数的单调性，然后结合函数的奇偶性得到关于x的不等式组，求解不等式组即可求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）为奇函数.‎ 证明：所以为奇函数 ‎（2）由题在（-2,2）上为减函数 因为为奇函数，所以等价于 ‎ 所以原不等式等价于 所以原不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．‎ ‎19．已知函数的图象经过点，‎ ‎（1）试求的值；‎ ‎（2）若不等式在有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定a,b的值.‎ ‎（2）原问题等价于有解，设，利用换元法结合二次函数的性质求解的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）则，.‎ ‎（2）在有解等价于在 设由得则，‎ 令则，‎ 又在上为增函数，‎ 所以所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数解析式的求解，换元的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20．已知函数的定义域为，且对一切，都有，当时，有．‎ ‎(1) 判断的单调性并加以证明；‎ ‎(2) 若，求在上的值域．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）在上为单调递增函数.利用增函数的定义证明结论即可.‎ ‎（2）由题意结合函数的单调性和函数的定义域确定函数的值域即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在上为单调递增函数.‎ 证明如下：任取，‎ 则，‎ 又因为当时，有，而，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以在上为单调递增函数；‎ ‎（2）令代入得所以，‎ 令代入得所以，‎ 令代入得，‎ 又由（1）知在上为单调递增函数，所以在的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法.‎ ‎21．如图在长为10千米的河流的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段，设曲线段为函数（单位：千米）的图象，且图象的最高点为；观光带的后一部分为线段．‎ ‎（1）求函数为曲线段的函数的解析式；‎ ‎（2）若计划在河流和观光带之间新建一个如图所示的矩形绿化带，绿化带仅由线段构成，其中点在线段上．当长为多少时，绿化带的总长度最长？‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意首先求得a,b,c的值，然后分段确定函数的解析式即可；‎ ‎（2）设，由题意得到关于t的函数，结合二次函数的性质确定当长为多少时，绿化带的总长度最长即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为曲线段OAB过点O，且最高点为，‎ ‎，解得.‎ 所以，当时，，‎ 因为后一部分为线段BC，，‎ 当时，，‎ 综上，.‎ ‎（2）设，则，‎ 由，得，所以点，‎ 所以，绿化带的总长度：‎ ‎.‎ 所以当时.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.‎ ‎22．已知函数在区间上有最大值1和最小值．‎ ‎（1）求解析式；‎ ‎（2）对于定义在上的函数，若在其定义域内，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意结合函数的单调性得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；‎ ‎（2）首先确定自变量的范围，然后结合恒成立的条件利用换元法分离参数，最后结合函数的单调性确定实数m的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题知g（x）=a（x﹣2）2﹣4a+b，‎ ‎∵a＞0，∴g（x）在上是减函数，∴，解得；‎ 所以.‎ ‎（2）要使不等式有意义：则有，，‎ 据题有在（1,2]恒成立．‎ 设，，‎ 在（0,1]时恒成立，‎ 即：在[0,1]时恒成立，‎ 设单调递增时，有，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 对于恒成立问题，常用到以下两个结论：‎ ‎(1)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max；‎ ‎(2)m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.‎