2018-2019学年上海市华二附中高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年上海市华二附中高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2020年1月2日高中数学作业 一、单选题 ‎1．若直线不过点，则方程表示（ ）‎ A．与重合的直线 B．与平行的直线 C．与相交的直线 D．可能不表示直线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相互平行的直线斜率、截距之间的关系即可得出．‎ ‎【详解】‎ 直线不过点，‎ ‎，‎ 则方表示是与平行的直线.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的位置关系，属于基础题.‎ ‎2．设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：‎ ‎①给定向量，总存在向量，使；‎ ‎②给定向量和，总存在实数和，使；‎ ‎③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；‎ ‎④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；‎ 上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量 试卷第15页，总16页 有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题。综上，本题选B．‎ 考点：1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则．‎ ‎3．已知平面向量满足（），且，．‎ A．若，则， ‎ B．若，则，‎ C．若，则， ‎ D．若，则，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：若，设，，，则，，，由，有，解得，排除B；若，设，，，则，，，由，有，解得，排除C、D，故选A．‎ 考点：1、平面向量数量积的坐标运算；2、平面向量的基本定理．‎ ‎【思路点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和平面向量基本定理的运用，作为选择题运用排除法是解题的关键，运用排除法解决，分，两种情况，然后再分别对举例加以验证，即可得到答案．‎ ‎4．已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ 试卷第15页，总16页 ‎③；‎ ‎④；‎ 则点分别为的（ ）‎ A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心 C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先考虑直角，可令，，，可得，，，设，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰，底角为，设，，，，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心．‎ ‎【详解】‎ 先考虑直角，可令，，，‎ 可得，，，设，‎ ‎①，即为，‎ 即有，，解得，‎ 即有到，轴的距离为1，在的平分线上，且到的距离也为1，‎ 则为的内心；‎ ‎③，‎ 即为，‎ 可得，，解得，，‎ 试卷第15页，总16页 由，故为的外心；‎ ‎④，可得，‎ 即为，，解得，，‎ 由的中点为，，，即分中线比为，‎ 故为的重心；‎ 考虑等腰，底角为，‎ 设，，，，‎ ‎②，‎ 即为，‎ 可得，，解得，，‎ 即，由，，即有，‎ 故为的垂心．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建立坐标系的方法求解，属于常考题型．‎ 二、填空题 ‎5．方程组对应的增广矩阵为________‎ ‎【答案】‎ 试卷第15页，总16页 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将方程组化为，即可写出对应的增广矩阵．‎ ‎【详解】‎ 由题意，方程组为，故其增广矩阵为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方程组的增广矩阵，属于基础题.‎ ‎6．直线的倾斜角是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的直线，得到直线的斜率为，直线的斜率是倾斜角的正切值，得到，，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果．‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率是，‎ 因为直线的斜率是倾斜角的正切值，‎ 所以，，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查反三角函数的运用，考查直线的倾斜角，属于基础题.‎ ‎7．已知直线和的夹角为，那么的值为________‎ ‎【答案】‎ 试卷第15页，总16页 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用两直线夹角的正切公式，解方程即可得到所求值．‎ ‎【详解】‎ 由已知直线，得该直线斜率为，‎ 直线的斜率为，‎ 因为两直线的夹角为，‎ 所以：，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两直线的夹角与到角问题，属于常考题.‎ ‎8．行列式中的代数余子式的值为________‎ ‎【答案】-5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，行列式中﹣3的代数余子式为﹣＝﹣（3+2）＝﹣5‎ 故答案为﹣5‎ ‎【点睛】‎ 本题考查行列式的代数余子式，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎9．设向量，，则在上的投影为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 试卷第15页，总16页 根据一个向量在一个向量上的投影等于这个向量的模乘以两个向量的夹角的余弦，然后代入公式||cos进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 向量 （﹣3，0），（﹣2，6），‎ 向量在向量上的投影为||cos2‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的投影，解题的关键是看清是哪一个向量在哪一个向量上的投影，属于中档题．‎ ‎10．已知线段的端点坐标分别为、，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，画出图形，结合图形求出直线的斜率，从而求出直线的斜率的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，画出图形，如图所示：‎ 直线的斜率是，‎ 直线的斜率是，‎ 试卷第15页，总16页 直线的斜率应满足或，‎ 即或时，直线与线段相交，‎ 斜率的取值范围是或.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的斜率的取值范围，考查数形结合思想和逻辑思维能力，属于常考题.‎ ‎11．齐次线性方程组有非零解，则的值为________‎ ‎【答案】或或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系数矩阵行列式等于时，齐次线性方程组有非零解解答即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎，‎ 故，‎ 解之得：或或，‎ 故答案为：或或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查齐次线性方程组有非零解的问题，属于基础题.‎ ‎12．已知向量，是同一平面内的两个向量，其中，，与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 试卷第15页，总16页 可求出，根据与的夹角为锐角即可得出：，且与不平行，从而得出，解出λ的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎：；‎ ‎∵与的夹角为锐角；‎ ‎∴，且与不平行；‎ ‎∴；‎ 解得，且λ≠0；‎ ‎∴实数λ的取值范围是：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量数量积的计算公式，以及平行向量的坐标关系．‎ ‎13．Lester S.Hill在1929年运用矩阵的原理发明了一种加密方法，称为希尔密码，其中每个字母均用数字来代替（，，…，），一串字母就可当成维向量，具体加密过程如下：假设明文“”，对a应的向量就是，加密矩阵，加密过程就是，如果计算出的数字超过26，则对26取余，例如，那么，最终的密文就是“”，假设加密矩阵仍为，那么原文“”的密文是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试卷第15页，总16页 ‎【分析】‎ 根据题意,先找到对应的数字,再根据加密法则进行计算,最终得到密文即可.‎ ‎【详解】‎ 由题对应的向量,则加密后 故密文为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查矩阵的运算以及新定义的问题,根据题中所给信息列出对应的计算式求解即可.属于中等题型.‎ ‎14．已知为△的外心，若，，则的最大值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在的两边分别同时计算与和的数量积得到和 ‎，进一步得到，，所以，再运用基本不等式可以得到最值.‎ ‎【详解】‎ 设，，由，‎ 得：，‎ 所以，即①，‎ 同理可得，②，‎ 试卷第15页，总16页 由①②解得：，，‎ 所以，‎ 当且仅当时等号成立，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的线性表示、平面向量的数量积、基本不等式的应用、一元二次不等式的解法等，考查划归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎15．已知的顶点坐标分别为、、，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解法一：用行列式求解，面积公式为，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线的方程、点到直线的距离及，利用计算即可.‎ ‎【详解】‎ 解法一：行列式求解，‎ ‎；‎ 解法二：平面解析几何知识求解，‎ 直线的方程为：，即：，‎ 点到直线的距离，‎ 试卷第15页，总16页 ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.‎ ‎16．解关于、、的三元一次方程组，并对解的情况进行讨论.‎ ‎【答案】答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分别求出、、、关于的表达式，再由三元一次方程组解的公式对的取值进行讨论，即可得到原方程组解的各种情况.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，；‎ ‎① 当，，方程组有无穷多解；‎ ‎② 当，，且、、不为零，方程组无解；‎ ‎③ 当且时，方程组的解为，，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三元一次方程组的行列式解法，解题关键是要分类讨论，属于常考题.‎ ‎17．设二阶方矩阵，则矩阵所对应的矩阵变换为：，其意义是把点变换为点，矩阵叫做变换矩阵.‎ ‎（1）当变换矩阵时，点、经矩阵变换后得到点分别是、，求经过点、的直线的点方向式方程；‎ ‎（2）当变换矩阵时，若直线上的任意点经矩阵变换后得到的点 试卷第15页，总16页 仍在该直线上，求直线的方程；‎ ‎（3）若点经过矩阵变换后得到点，且与关于直线对称，求变换矩阵.‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由给出的变换矩阵定义求出、的坐标，进而求出直线的方向向量，求出点向式方程；‎ ‎（2）设直线方程为：：，求出其上点关于矩阵变换后的点也满足直线的方程，再根据两直线重合的条件：斜率相等，截距相同即可求出直线方程；‎ ‎（3）因为点经过矩阵变换后得到点，且与关于直线对称，所以有：‎ ‎ ，解之得： ，再根据，得出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：，即，解之得： ，所以；‎ ‎，即，解之得： ，所以，‎ 则，‎ 试卷第15页，总16页 所以方程为 ，即；‎ ‎（2），即 ，‎ 设：（不全为），‎ ‎：，即，‎ 由题知，与重合得，‎ 所以或，‎ ‎，得，‎ ‎，得或，即，；‎ ‎（3）因为与关于直线对称，所以有：‎ ‎ ，解之得： ，‎ 故，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查矩阵变换问题，考查矩阵的求法，考查运算能力与转化思想，属于中档题．‎ ‎18．已知、是非零向量，构造集合，记中模最小的向量为.‎ ‎（1）若，求的值（用、表示）；‎ ‎（2）证明：；‎ 试卷第15页，总16页 ‎（3）若，且、的夹角为，定义向量序列，，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于（1），，利用二次函数的性质，即可得出；‎ 对于（2），由（1）可得，，即可得证；‎ 对于（3），取，，，‎ 由，得出，，同理可得：，，，即可推出.‎ 即可完成解答.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对于，‎ ‎，‎ 当时，其模取最小值；‎ ‎（2）由（1）可得：，‎ ‎；‎ ‎（3）不妨取，，向量序列，，，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当时取等号，‎ 试卷第15页，总16页 ‎，，‎ 同理可得：，，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查平面向量的坐标运算，考查逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.‎ 试卷第15页，总16页