2014年北京市高考数学试卷（文科）

2014年北京市高考数学试卷（文科）

‎2014年北京市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ‎1．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（　　）‎ A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}‎ ‎2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（　　）‎ A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|‎ ‎3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（　　）‎ A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）‎ ‎4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．1 B．3 C．7 D．15‎ ‎5．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）‎ ‎7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎8．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）‎ A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 ‎　‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x=　　．‎ ‎10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为　　．‎ ‎11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为　　．‎ ‎12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=　　；sinA=　　．‎ ‎13．（5分）若x，y满足，则z=x+y的最小值为　　．‎ ‎14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：‎ 工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料A ‎9‎ ‎15‎ 原料B ‎6‎ ‎21‎ 则最短交货期为　　 个工作日．‎ ‎　‎ 三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（13分）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，等比数列{bn}满足b1=4，b4=20．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和．‎ ‎16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．‎ ‎17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．‎ ‎18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：‎ 排号 分组 频数 ‎1‎ ‎[0，2）‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎[2，4）‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎[4，6）‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎[6，8）‎ ‎22‎ ‎5‎ ‎[8，10）‎ ‎25‎ ‎6‎ ‎[10，12）‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎[12，14）‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎[14，16）‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎[16，18）‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；‎ ‎（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；‎ ‎（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）‎ ‎19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．‎ ‎20．（13分）已知函数f（x）=2x3﹣3x．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）‎ ‎　‎ ‎2014年北京市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ‎1．（5分）（2014•北京）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（　　）‎ A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}‎ ‎【分析】直接利用交集的运算得答案．‎ ‎【解答】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，‎ ‎∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•北京）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（　　）‎ A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|‎ ‎【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．‎ B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．‎ C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．‎ D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•北京）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（　　）‎ A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）‎ ‎【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．‎ ‎【解答】解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：‎ ‎2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．1 B．3 C．7 D．15‎ ‎【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，‎ ‎∵跳出循环的k值为3，‎ ‎∴输出S=1+2+4=7．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•北京）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．‎ ‎【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；‎ 反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．‎ 故选D ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）‎ ‎【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，‎ ‎∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，‎ 满足f（2）f（4）＜0，‎ ‎∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•北京）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，‎ ‎∵圆心C到O（0，0）的距离为5，‎ ‎∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．‎ 再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，‎ 可得PO=AB=m，故有m≤6，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）‎ A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 ‎【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．‎ ‎【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，‎ 解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，‎ ‎∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣=3.75．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．（5分）（2014•北京）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x=　2　．‎ ‎【分析】化简原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等的定义可得．‎ ‎【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i，‎ ‎∴﹣1+xi=﹣1+2i，‎ 由复数相等可得x=2‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•北京）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为　x2﹣y2=1　．‎ ‎【分析】利用双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），可得c=，a=1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），‎ ‎∴c=，a=1，‎ ‎∴b=1，‎ ‎∴C的方程为x2﹣y2=1．‎ 故答案为：x2﹣y2=1．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2014•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为　2　．‎ ‎【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长．‎ ‎【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；‎ 由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，‎ 在Rt△BCE中，BC=，‎ 在Rt△BCD中，BD=，‎ 在Rt△ACD中，AD=2．‎ 则三棱锥中最长棱的长为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=　2　；sinA=　　．‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，‎ ‎∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；‎ ‎∵cosC=，C为三角形内角，‎ ‎∴sinC==，‎ ‎∴由正弦定理=得：sinA===．‎ 故答案为：2；．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2014•北京）若x，y满足，则z=x+y的最小值为　1　．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 化目标函数z=x+y为，‎ 由图可知，当直线过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小．‎ 此时．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•北京）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：‎ 工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料A ‎9‎ ‎15‎ 原料B ‎6‎ ‎21‎ 则最短交货期为　42　 个工作日．‎ ‎【分析】先完成B的加工，再完成A的加工即可．‎ ‎【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．‎ 故答案为：42．‎ ‎　‎ 三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（13分）（2014•北京）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，等比数列{bn}满足b1=4，b4=20．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【分析】（1）由等差数列的通项公式求出公差，由此能求出数列{an}的通项公式；由等比数列{bn}通项公式求出公比q，由此能求出数列{bn}的通项公式．‎ ‎（2）由等比数列{bn}的首项和公比能求出数列{bn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（1）∵{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，‎ ‎∴3+3d=12，解得d=3，‎ ‎∴an=3+（n﹣1）×3=3n．‎ ‎∵等比数列{bn}满足b1=4，b4=20，‎ ‎∴4q3=20，解得q=，‎ ‎∴bn=4×（）n﹣1．‎ ‎（2）∵等比数列{bn}中，，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Sn==．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），‎ ‎∴f（x）的最小正周期T==π，‎ 可知y0为函数的最大值3，x0=；‎ ‎（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，‎ ‎∴2x+∈[﹣，0]，‎ ‎∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，‎ 当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2014•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；‎ ‎（Ⅲ）利用VE﹣ABC=，可求三棱锥E﹣ABC的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，‎ ‎∴BB1⊥AB，‎ ‎∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，‎ ‎∴AB⊥平面B1BCC1，‎ ‎∵AB⊂平面ABE，‎ ‎∴平面ABE⊥B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则，‎ ‎∵F是BC的中点，‎ ‎∴FG∥AC，FG=AC，‎ ‎∵E是A1C1的中点，‎ ‎∴FG∥EC1，FG=EC1，‎ ‎∴四边形FGEC1为平行四边形，‎ ‎∴C1F∥EG，‎ ‎∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，‎ ‎∴C1F∥平面ABE；‎ ‎（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，‎ ‎∴AB=，‎ ‎∴VE﹣ABC===．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2014•北京）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：‎ 排号 分组 频数 ‎1‎ ‎[0，2）‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎[2，4）‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎[4，6）‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎[6，8）‎ ‎22‎ ‎5‎ ‎[8，10）‎ ‎25‎ ‎6‎ ‎[10，12）‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎[12，14）‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎[14，16）‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎[16，18）‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；‎ ‎（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；‎ ‎（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；‎ ‎（Ⅱ）根据小矩形的高=求a、b的值；‎ ‎（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，‎ ‎∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为=0.9；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；‎ 数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；‎ ‎（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），‎ ‎∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2014•北京）已知椭圆C：x2+2y2=4．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，‎ ‎∴a=2，b=，c=，‎ ‎∴椭圆C的离心率e==；‎ ‎（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则 ‎∵OA⊥OB，‎ ‎∴=0，‎ ‎∴tx0+2y0=0，∴t=﹣，‎ ‎∵，‎ ‎∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=x02+y02++4=x02+++4=+4（0＜x02≤4），‎ 因为≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等号成立，所以|AB|2≥8．‎ ‎∴线段AB长度的最小值为2．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣），f（），f（1）的大小即得结论；‎ ‎（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，‎ 等价于“g（x）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；‎ ‎（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，‎ 令f′（x）=0得，x=﹣或x=，‎ ‎∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，‎ ‎∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．‎ ‎（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），‎ 则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3，‎ ‎∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），‎ ‎∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），‎ 即4﹣6+t+3=0，‎ 设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，‎ 则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．‎ ‎∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），‎ ‎∴g（x）与g′（x）变化情况如下：‎ ‎ x ‎（﹣∞，0）‎ ‎ 0‎ ‎ （0，1）‎ ‎ 1‎ ‎（1，+∞）‎ ‎ g′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ g（x）‎ ‎↗‎ ‎ t+3‎ ‎↘‎ ‎ t+1‎ ‎↗‎ ‎∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．‎ 当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．‎ 当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．‎ 当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，‎ ‎∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，‎ 故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．‎ 综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．‎ ‎（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；‎ 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；‎ 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；maths；清风慕竹；lincy；caoqz；刘长柏；sllwyn；zlzhan；liu老师（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日