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文档介绍
2016年四川省高考数学试卷(文科)
2016年四川省高考数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5分)设i为虚数单位,则复数(1+i)2=( ) A.0 B.2 C.2i D.2+2i 2.(5分)设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 3.(5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 4.(5分)为了得到函数y=sin(x+)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点( ) A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向上平行移动个单位长度 D.向下平行移动个单位长度 5.(5分)设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(5分)已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点,则a=( ) A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2 7.(5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 8.(5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( ) A.35 B.20 C.18 D.9 9.(5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是( ) A. B. C. D. 10.(5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(5分)sin750°= . 12.(5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 . 13.(5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 . 14.(5分)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f(﹣)+f(2)= . 15.(5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′(,),当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题: ①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A. ②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. ③若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称 ④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 三、解答题(共6小题,满分75分) 16.(12分)我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求直方图中a的值; (Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由; (Ⅲ)估计居民月均水量的中位数. 17.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD. (I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由; (II)证明:平面PAB⊥平面PBD. 18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=. (Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC; (Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc,求tanB. 19.(12分)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N+ (Ⅰ)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设双曲线x2﹣=1的离心率为en,且e2=2,求e12+e22+…+en2. 20.(13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(,)在椭圆E上. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳ 21.(14分)设函数f(x)=ax2﹣a﹣ln x,g(x)=﹣,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当x>1时,g(x)>0; (3)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立. 2016年四川省高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5分)设i为虚数单位,则复数(1+i)2=( ) A.0 B.2 C.2i D.2+2i 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:(1+i)2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i, 故选:C. 【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 2.(5分)设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【分析】利用交集的运算性质即可得出. 【解答】解:∵集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集, 则集合A∩Z={1,2,3,4,5}. ∴集合A∩Z中元素的个数是5. 故选:B. 【点评】本题考查了集合的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 3.(5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质,可得答案. 【解答】解:抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0), 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,难度不大,属于基础题. 4.(5分)为了得到函数y=sin(x+)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点( ) A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向上平行移动个单位长度 D.向下平行移动个单位长度 【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则,结合平移前后函数的解析式,可得答案. 【解答】解:由已知中平移前函数解析式为y=sinx, 平移后函数解析式为:y=sin(x+), 可得平移量为向左平行移动个单位长度, 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则,熟练掌握图象平移“左加右减“的原则,是解答的关键. 5.(5分)设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】由x>1且y>1,可得:x+y>2,反之不成立,例如取x=3,y=. 【解答】解:由x>1且y>1,可得:x+y>2,反之不成立:例如取x=3,y=. ∴p是q的充分不必要条件. 故选:A. 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 6.(5分)已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点,则a=( ) A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2 【分析】可求导数得到f′(x)=3x2﹣12,可通过判断导数符号从而得出f(x)的极小值点,从而得出a的值. 【解答】解:f′(x)=3x2﹣12; ∴x<﹣2时,f′(x)>0,﹣2<x<2时,f′(x)<0,x>2时,f′(x)>0; ∴x=2是f(x)的极小值点; 又a为f(x)的极小值点; ∴a=2. 故选:D. 【点评】考查函数极小值点的定义,以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程,要熟悉二次函数的图象. 7.(5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 【分析】设第n年开始超过200万元,可得130×(1+12%)n﹣2015>200,两边取对数即可得出. 【解答】解:设第n年开始超过200万元, 则130×(1+12%)n﹣2015>200, 化为:(n﹣2015)lg1.12>lg2﹣lg1.3, n﹣2015>=3.8. 取n=2019. 因此开始超过200万元的年份是2019年. 故选:B. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 8.(5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( ) A.35 B.20 C.18 D.9 【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值,模拟程序的运行过程,可得答案. 【解答】解:∵输入的x=2,n=3, 故v=1,i=2,满足进行循环的条件,v=4,i=1, 满足进行循环的条件,v=9,i=0, 满足进行循环的条件,v=18,i=﹣1 不满足进行循环的条件, 故输出的v值为: 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答. 9.(5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是( ) A. B. C. D. 【分析】如图所示,建立直角坐标系.B(0,0),C.A.点P的轨迹方程为:=1,令x=+cosθ,y=3+sinθ,θ∈[0,2π).又=,可得M,代入||2=+3sin,即可得出. 【解答】解:如图所示,建立直角坐标系. B(0,0),C. A. ∵M满足||=1, ∴点P的轨迹方程为:=1, 令x=+cosθ,y=3+sinθ,θ∈[0,2π). 又=,则M, ∴||2=+=+3sin≤. ∴||2的最大值是. 也可以以点A为坐标原点建立坐标系. 解法二:取AC中点N,MN=,从而M轨迹为以N为圆心, 为半径的圆,B,N,M三点共线时,BM为最大值.所以BM最大值为3+=. 故选:B. 【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 10.(5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【分析】设出点P1,P2的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线l1与l2的斜率,由两直线垂直求得P1,P2的横坐标的乘积为1,再分别写出两直线的点斜式方程,求得A,B两点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得P的横坐标,然后代入三角形面积公式,利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围. 【解答】解:设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(0<x1<1<x2), 当0<x<1时,f′(x)=,当x>1时,f′(x)=, ∴l1的斜率,l2的斜率, ∵l1与l2垂直,且x2>x1>0, ∴,即x1x2=1. 直线l1:,l2:. 取x=0分别得到A(0,1﹣lnx1),B(0,﹣1+lnx2), |AB|=|1﹣lnx1﹣(﹣1+lnx2)|=|2﹣(lnx1+lnx2)|=|2﹣lnx1x2|=2. 联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=, ∴|AB|•|xP|==. ∵函数y=x+在(0,1)上为减函数,且0<x1<1, ∴,则, ∴. ∴△PAB的面积的取值范围是(0,1). 故选:A. 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,训练了利用基本不等式求函数的最值,考查了数学转化思想方法,属中档题. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(5分)sin750°= . 【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案. 【解答】解:sin750°=sin(2×360°+30°)=sin30°=, 故答案为:. 【点评】本题考查运用诱导公式化简求值,着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值,属于基础题. 12.(5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 . 【分析】几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,棱锥的高为1,代入体积公式计算即可. 【解答】解:由三视图可知几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,底面积S==,棱锥的高为h=1, ∴棱锥的体积V=Sh==. 故答案为:. 【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算,是基础题. 13.(5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 . 【分析】由已知条件先求出基本事件总数,再利用列举法求出logab为整数满足的基本事件个数,由此能求出logab为整数的概率. 【解答】解:从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b, 基本事件总数n==12, logab为整数满足的基本事件个数为(2,8),(3,9),共2个, ∴logab为整数的概率p=. 故答案为:. 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用. 14.(5分)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0<x< 1时,f(x)=4x,则f(﹣)+f(2)= ﹣2 . 【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可. 【解答】解:∵函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x, ∴f(2)=f(0)=0, f(﹣)=f(﹣+2)=f(﹣)=﹣f()=﹣=﹣=﹣2, 则f(﹣)+f(2)=﹣2+0=﹣2, 故答案为:﹣2. 【点评】本题主要考查函数值的计算,根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键. 15.(5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′(,),当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题: ①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A. ②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. ③若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称 ④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 ②③ . 【分析】根据“伴随点”的定义,分别进行判断即可,对应不成立的命题,利用特殊值法进行排除即可. 【解答】解:①设A(0,1),则A的“伴随点”为A′(1,0), 而A′(1,0)的“伴随点”为(0,﹣1),不是A,故①错误, ②若点在单位圆上,则x2+y2=1, 即P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P(y,﹣x), 满足y2+(﹣x)2=1,即P′也在单位圆上,故②正确, ③若两点关于x轴对称,设P(x,y),对称点为Q(x,﹣y), 则Q(x,﹣y)的“伴随点”为Q′(﹣,), 则Q′(﹣,)与P′(,)关于y轴对称,故③正确, ④∵(﹣1,1),(0,1),(1,1)三点在直线y=1上, ∴(﹣1,1)的“伴随点”为(,),即(,), (0,1)的“伴随点”为(1,0),(1,1的“伴随点”为(,﹣),即(,﹣), 则(,),(1,0),(,﹣)三点不在同一直线上,故④错误, 故答案为:②③ 【点评】本题主要考查命题的真假判断,正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键.考查学生的推理能力. 三、解答题(共6小题,满分75分) 16.(12分)我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求直方图中a的值; (Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由; (Ⅲ)估计居民月均水量的中位数. 【分析】(I)先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率,再根据直方图的总频率为1求出a的值; (II)根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率,结合样本容量为30万,进而得解. (Ⅲ)根据频率分布直方图,求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值. 【解答】解:(I)∵1=(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5, 整理可得:2=1.4+2a, ∴解得:a=0.3. (II)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万,理由如下: 由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12, 又样本容量为30万, 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万. (Ⅲ)根据频率分布直方图,得; 0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48<0.5, 0.48+0.5×0.52=0.74>0.5, ∴中位数应在(2,2.5]组内,设出未知数x, 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5, 解得x=0.04; ∴中位数是2+0.04=2.04. 【点评】 本题用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.频率分布直方图中小长方形的面积=组距×,各个矩形面积之和等于1,能根据直方图求众数和中位数,属于常规题型. 17.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD. (I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由; (II)证明:平面PAB⊥平面PBD. 【分析】(I)M为PD的中点,直线CM∥平面PAB.取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则ME∥PA,证明平面CME∥平面PAB,即可证明直线CM∥平面PAB; (II)证明:BD⊥平面PAB,即可证明平面PAB⊥平面PBD. 【解答】证明:(I)M为PD的中点,直线CM∥平面PAB. 取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则ME∥PA, ∵ME⊄平面PAB,PA⊂平面PAB, ∴ME∥平面PAB. ∵AD∥BC,BC=AE, ∴ABCE是平行四边形, ∴CE∥AB. ∵CE⊄平面PAB,AB⊂平面PAB, ∴CE∥平面PAB. ∵ME∩CE=E, ∴平面CME∥平面PAB, ∵CM⊂平面CME, ∴CM∥平面PAB 若M为AD的中点,连接CM, 由四边形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD. 可得四边形ABCM为平行四边形,即有CM∥AB, CM⊄平面PAB,AB⊂平面PAB, ∴CM∥平面PAB; (II)∵PA⊥CD,∠PAB=90°,AB与CD相交, ∴PA⊥平面ABCD, ∵BD⊂平面ABCD, ∴PA⊥BD, 由(I)及BC=CD=AD,可得∠BAD=∠BDA=45°, ∴∠ABD=90°,∴BD⊥AB, ∵PA∩AB=A, ∴BD⊥平面PAB, ∵BD⊂平面PBD, ∴平面PAB⊥平面PBD. 【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题. 18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=. (Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC; (Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc,求tanB. 【分析】(Ⅰ)将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理,利用正弦定理,即可证明. (Ⅱ)由余弦定理求出A的余弦函数值,利用(Ⅰ)的条件,求解B的正切函数值即可. 【解答】(Ⅰ)证明:在△ABC中,∵+=, ∴由正弦定理得:, ∴=, ∵sin(A+B)=sinC. ∴整理可得:sinAsinB=sinC, (Ⅱ)解:b2+c2﹣a2=bc,由余弦定理可得cosA=. sinA=,= +==1,=, tanB=4. 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,三角形面积公式的应用,考查了转化思想,属于中档题. 19.(12分)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N+ (Ⅰ)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设双曲线x2﹣=1的离心率为en,且e2=2,求e12+e22+…+en2. 【分析】(Ⅰ)根据题意,由数列的递推公式可得a2与a3的值,又由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+(a2+a3),代入a2与a3的值可得q2=2q,解可得q的值,进而可得Sn+1=2Sn+1,进而可得Sn=2Sn﹣1+1,将两式相减可得an=2an﹣1,即可得数列{an}是以1为首项,公比为2的等比数列,由等比数列的通项公式计算可得答案; (Ⅱ)根据题意Sn+1=qSn+1,同理有Sn=qSn﹣1+1,将两式相减可得an=qan﹣1,分析可得an=qn﹣1;又由双曲线x2﹣=1的离心率为en,且e2=2,分析可得e2= =2, 解可得a2的值,由an=qn﹣1可得q的值,进而可得数列{an}的通项公式,再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n﹣1,运用分组求和法计算可得答案. 【解答】解:(Ⅰ)根据题意,数列{an}的首项为1,即a1=1, 又由Sn+1=qSn+1,则S2=qa1+1,则a2=q, 又有S3=qS2+1,则有a3=q2, 若a2,a3,a2+a3成等差数列,即2a3=a2+(a2+a3), 则可得q2=2q,(q>0), 解可得q=2, 则有Sn+1=2Sn+1,① 进而有Sn=2Sn﹣1+1,② ①﹣②可得an=2an﹣1, 则数列{an}是以1为首项,公比为2的等比数列, 则an=1×2n﹣1=2n﹣1; (Ⅱ)根据题意,有Sn+1=qSn+1,③ 同理可得Sn=qSn﹣1+1,④ ③﹣④可得:an=qan﹣1, 又由q>0, 则数列{an}是以1为首项,公比为q的等比数列,则an=1×qn﹣1=qn﹣1; 若e2=2,则e2==2, 解可得a2=, 则a2=q=,即q=, an=1×qn﹣1=qn﹣1=()n﹣1, 则en2=1+an2=1+3n﹣1, 故e12+e22+…+en2=n+(1+3+32+…+3n﹣1)=n+. 【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和,涉及双曲线的简单几何性质,注意题目中q>0这一条件. 20.(13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(,)在椭圆E上. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳ 【分析】(Ⅰ)由题意可得a=2b,再把已知点的坐标代入椭圆方程,结合隐含条件求得a,b得答案; (Ⅱ)设出直线方程,与椭圆方程联立,求出弦长及AB中点坐标,得到OM所在直线方程,再与椭圆方程联立,求出C,D的坐标,把︳MA︳•︳MB︳化为(|AB|)2,再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案. 【解答】(Ⅰ)解:如图, 由题意可得,解得a2=4,b2=1, ∴椭圆E的方程为; (Ⅱ)证明:设AB所在直线方程为y=, 联立,得x2+2mx+2m2﹣2=0. ∴△=4m2﹣4(2m2﹣2)=8﹣4m2>0,即. 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 则, |AB|==. ∴x0=﹣m,,即M(), 则OM所在直线方程为y=﹣, 联立,得或. ∴C(﹣,),D(,﹣). 则︳MC︳•︳MD︳= ==. 而︳MA︳•︳MB︳=(10﹣5m2)=. ∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳. 【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用,训练了弦长公式的应用,考查数学转化思想方法,训练了计算能力,是中档题. 21.(14分)设函数f(x)=ax2﹣a﹣ln x,g(x)=﹣,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当x>1时,g(x)>0; (3)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立. 【分析】(Ⅰ)求导数,分类讨论,即可讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)要证g(x)>0(x>1),即﹣>0,即证,也就是证; (Ⅲ)由f(x)>g(x),得,设t(x)=,由题意知,t(x)>0在(1,+∞)内恒成立,再构造函数,求导数,即可确定a的取值范围. 【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=ax2﹣a﹣lnx,得f′(x)=2ax﹣=(x>0), 当a≤0时,f′(x)<0在(0,+∞)成立,则f(x)为(0,+∞)上的减函数; 当a>0时,由f′(x)=0,得x==, ∴当x∈(0,)时,f′(x)<0,当x∈(,+∞)时,f′(x)>0, 则f(x)在(0,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数; 综上,当a≤0时,f(x)为(0,+∞)上的减函数,当a>0时,f(x)在(0,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数; (Ⅱ)证明:要证g(x)>0(x>1),即﹣>0, 即证,也就是证, 令h(x)=,则h′(x)=, ∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,则h(x)min=h(1)=e, 即当x>1时,h(x)>e,∴当x>1时,g(x)>0; (Ⅲ)解:由f(x)>g(x),得, 设t(x)=, 由题意知,t(x)>0在(1,+∞)内恒成立, ∵t(1)=0, ∴有t′(x)=2ax=≥0在(1,+∞)内恒成立, 令φ(x)=, 则φ′(x)=2a=, 当x≥2时,φ′(x)>0, 令h(x)=,h′(x)=,函数在[1,2)上单调递增, ∴h(x)min=h(1)=﹣1. e1﹣x>0,∴1<x<2,φ′(x)>0, 综上所述,x>1,φ′(x)>0,φ(x)在区间(1,+∞)单调递增, ∴t′(x)>t′(1)≥0,即t(x)在区间(1,+∞)单调递增, 由2a﹣1≥0, ∴a≥. 【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,不等式的证明,考查恒成立成立问题,正确构造函数,求导数是关键. 查看更多