2007年辽宁省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2007年辽宁省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 若集合A={1, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B=( )
A.{1} B.{2} C.{3} D.{1, 2, 3, 4}
2. 若函数y=f(x)的反函数图象过点(1, 5)，则函数y=f(x)的图象必过点（ ）
A.(1, 1) B.(1, 5) C.(5, 1) D.(5, 5)
3. 双曲线x216-y29=1的焦点坐标为（ ）
A.(-7，0)，(7，0) B.(0,-7)，(0,7)
C.(-5, 0)，(5, 0) D.(0, -5)，(0, 5)
4. 若向量a→与b→不共线，a→⋅b→≠0，且c→=a→-(a→⋅b→˙)b→，则向量a→与c→的夹角为（ ）
A.0 B.π6 C.π3 D.π2
5. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=( )
A.63 B.45 C.36 D.27
6. 若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B.若α∩γ=m，β∩γ=n，m // n，则α // β
C.若α⊥γ，α⊥β，则β // γ
D.若m⊥β，m // α，则α⊥β
7. 若函数y=f(x)的图象按向量a→平移后，得到函数y=f(x+1)-2的图象，则向量a→=( )
A.(-1, -2) B.(1, -2) C.(-1, 2) D.(1, 2)
8. 已知变量x，y满足约束条件x-y+2≤0x≥1x+y-7≤0 ，则yx的取值范围是（ ）
A.[95,6] B.(-∞,95]∪[6,+∞)
C.(-∞, 3]∪[6, +∞) D.[3, 6]
9. 函数y=log12(x2-5x+6)的单调增区间为（ ）
A.(52，+∞) B.(3, +∞) C.(-∞,52) D.(-∞, 2)
10. 一个坛子里有编号为1，2，⋯，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是( )
A.122 B.111 C.322 D.211
11. 设p，q是两个命题：p：log12(|x|-3)>0，q：x2-56x+16>0，则p是q的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
12. 将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai(i=1, 2,…,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1
0）
(Ⅰ)求函数f(x)的值域；
(Ⅱ)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝-1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y＝f(x)的单调增区间．
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20. 已知数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=1，且an=34an-1+14bn-1+1bn=14an-1+34bn-1+1(n≥2)
（1）令cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式；
（2）求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn．
21. 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）
（1）求圆C的方程；
（2）设圆M的方程为(x-4-7cosθ)2+(y-7sinθ)2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE→⋅CF→的最大值和最小值．
22. 已知函数f(x)=x3-9x2cosα+48xcosβ+18sin2α，g(x)=f'(x)，且对任意的实数t均有g(1+cost)≥0，g(3+sint)≤0．
(I)求函数f(x)的解析式；
(II)若对任意的m∈[-26, 6]，恒有f(x)≥x2-mx-11，求x的取值范围．
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参考答案与试题解析
2007年辽宁省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.C
2.C
3.C
4.D
5.B
6.D
7.A
8.A
9.D
10.D
11.A
12.B
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.1
14.72
15.43π
16.2
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：(I)
分组
[500, 900)
[900, 1100)
[1100, 1300)
[1300, 1500)
[1500, 1700)
[1700, 1900)
[1900, +∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
0.048
0.121
0.208
0.223
0.193
0.165
0.042
(II)由(I)可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，
所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6．
(III)由(II)知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率P1=0.6，
另一支灯管使用寿命超过1500小时的概率P2=1-P1=1-0.6=0.4，
则这两支灯管中恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是P1P2+P2P1=2×0.6×0.4=0.48．
所以有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.48．
18.解：（1）证明：连接CD，
三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴ CC1⊥平面ABC，∴ CD为C1D在平面ABC内的射影．∵ △ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴ AB⊥CD，∴ AB⊥C1D∵ A1B1 // AB，∴ A1B1⊥C1D
（2）解：过点A作CE的平行线，
交ED的延长线于F，连接MF∵ D，E分别为AB，BC的中点，∴ DE // AC
又∵ AF // CE，CE⊥AC∴ AF⊥DE∵ MA⊥平面ABC，∴ AF为MF在平面ABC内的射影∴ MF⊥DE∴ ∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA=30∘
在Rt△MAF中，AF=12BC=a2，∠MFA=30∘，∴ AM=36a
作AG⊥MF，垂足为G，∵ MF⊥DE，AF⊥DE，∴ DE⊥平面AMF，∵ 平面MDE⊥平面AMF，∴ AG⊥平面MDE
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在Rt△GAF中，∠GFA=30∘，AF=a2，∴ AG=a4，即A到平面MDE的距离为a4∵ CA // DE，∴ CA // 平面MDE，∴ C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为a4．
19.(I)f(x)=32sinωx+12cosωx+32sinωx-12cosωx-(cosωx+1)
=2(32sinωx-12cosωx)-1
=2sin(ωx-π6)-1．
由-1≤sin(ωx-π6)≤1，得-3≤2sin(ωx-π6)-1≤1，
可知函数f(x)的值域为[-3, 1]．
(II)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，
又由ω>0，得2πω=π，即得ω＝2．
于是有f(x)=2sin(2x-π6)-1，
再由2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)
所以y＝f(x)的单调增区间为[kπ-π6,kπ+π3](k∈Z)
20.解：（1）由题设得an+bn=(an-1+bn-1)+2(n≥2)，即cn=cn-1+2(n≥2)
易知{cn}是首项为a1+b1=3，公差为2的等差数列，通项公式为cn=2n+1
（2）解：由题设得an-bn=12(an-1-bn-1)(n≥2)，令dn=an-bn，则dn=12dn-1(n≥2)、
易知{dn}是首项为a1-b1=1，公比为12的等比数列，通项公式为dn=12n-1
由an+bn=2n+1an-bn=12n-1解得an=12n+n+12，
求和得Sn=-12n+n22+n+1
21.解：（1）解法一：设A，B两点坐标分别为(y122，y1)，(y222，y2)，
由题设知(y122)2+y22=(y122)2+y22=(y122-y222)2+(y1-y2)2
解得y12=y22=12，
所以A(6,23)，B(6,-23)或A(6,-23)，B(6,23)．
设圆心C的坐标为(r, 0)，则r=23×6=4，
所以圆C的方程为(x-4)2+y2=16．
解法二：设A，B两点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，由题设知x12+y12=x22+y22
又因为y12=2x1，y22=2x2，可得x12+2x1=x22+2x2．即(x1-x2)(x1+x2+2)=0
由x1>0，x2>0，可知x1=x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上
设C点的坐标为(r, 0)，则A点坐标为(34r，32r)，于是有(32r)2=2×32r，
解得r=4，
所以圆C的方程为(x-4)2+y2=16．
（2）解：设∠ECF=2α，则CE→⋅CF→=|CE→|⋅|CF→|⋅cos2α=16cos2α=32cos2α-16．
在Rt△PCE中，cosα=x|PC|=4|PC|，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6，
所以12≤cosα≤23，由此可得-8≤CE→⋅CF→≤-169．
则CE→⋅CF→的最大值为-169，最小值为-8．
22.解：(1)g(x)=f'(x)=3x2-18xcosα+48cosβ
对任意的实数t，1+cost∈[0, 2]，3+sint∈[2, 4]．
对任意的实数t有g(1+cost)≥0，g(3+sint)≤0
即对任意的实数x∈[0, 2]有g(x)≥0，x∈[2, 4]时有g(x)≤0
∴ g(0)>0g(2)=0g(4)≤0即3cosα-4cosβ=1cosβ>04-6cosα+4cosβ≤0，解得cosα=1cosβ=12
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所以f(x)=x3-9x2+24x
(2)令g(m)=f(x)-x2+mx+11=xm+x3-10x2+24x+11
由题意只要g(-26)≥0g(6)≥0即x3-10x2-2x+11≥0x3-10x2+30x+11≥0，解得-13≤x≤1或x≥9+552．
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