2006年辽宁省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2006年辽宁省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设集合A={1, 2}，则满足A∪B={1, 2, 3}的集合B的个数是（ ）
A.1 B.3 C.4 D.8
2. 设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数
3. 给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行．
②垂直于同一平面的两个平面互相平行．
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行．
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4. 双曲线x2-y2=4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）
A.x-y≥0x+y≥00≤x≤3 B.x-y≥0x+y≤00≤x≤3
C.x-y≤0x+y≤00≤x≤3 D.x-y≤0x+y≥00≤x≤3
5. 设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ）
A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集
6. △ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p→=(a+c,b)，q→=(b-a,c-a)，若p→ // q→，则角C的大小为( )
A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3
7. 与函数y=e2x-2ex+1(x≥0)的曲线关于直线y=x对称的曲线的方程为（ ）
A.y=ln(1+x) B.y=ln(1-x) C.y=-ln(1+x) D.y=-ln(1-x)
8. 曲线x210-m+y26-m=1(m<6)与曲线x25-m+y29-m=1(5
0，则g(g(12))=________．
14. limn→∞(45-67)+(452-672)+…+(45n-67n)(56-45)+(562-452)+…+(56n-45n)=________．
15. 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答）
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16. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cosα=________．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R，求：
（1）函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）函数f(x)的单调增区间．
18. 已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ(0<θ<π)．
(1)证明：BF // 平面ADE；
(2)若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角θ的正弦值．
19. 现有甲，乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为16，12，13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是p(00)上的两个动点，O是坐标原点，向量OA→，OB→满足|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，设圆C的方程为x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0．
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为255时，求p的值．
21. 已知函数f(x)=13ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c是以d为公差的等差数列，且a>0，d>0．设x0为f(x)的极小值点，在[1-2ba,0]上，f'(x)在x1处取得最大值，在x2处取得最小值，将点（x0, f(x0)），（x1, f'(x1)），(x2, f'（x2, f(x2)）依次记为A，B，C．
（1）求x0的值；
（2）若△ABC有一边平行于x轴，且面积为2+3，求a，d的值．
22. 已知f0(x)=xnfk(x)=f'k-1(x)fk-1(1)，其中k≤n(n, k∈N+)，设F(x)=Cn0f0(x2)+Cn1f1(x2)+...+Cnnfn(x2)，x∈[-1, 1]．
（1）写出fk(1)；
（2）证明：对任意的x1，x2∈[-1, 1]，恒有|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2)-n-1．
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参考答案与试题解析
2006年辽宁省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.C
2.D
3.D
4.A
5.C
6.B
7.A
8.A
9.C
10.D
11.C
12.B
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.12
14.-1
15.48
16.63
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：（1）解法一：∵ f(x)=1-cos2x2+sin2x+3(1+cos2x)2=2+sin2x+cos2x=2+2sin(2x+π4)
∴ 当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8(k∈Z)时，f(x)取得最大值2+2．
因此，f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+π8，k∈Z}．
解法二：∵ f(x)=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+2sin(2x+π4)
∴ 当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8(k∈Z)时，f(x)取得最大值2+2．
因此，f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+π8，k∈Z}
（2）解：f(x)=2+2sin(2x+π4)
由题意得2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，即kπ-38π≤x≤kπ+π8(k∈Z)．
因此，f(x)的单调增区间是[kπ-3π8，kπ+π8](k∈Z)．
18.(1)证明：E，F分别为正方形ABCD的边AB，CD的中点，
∵ EB // FD，且EB=FD，
∴ 四边形EBFD为平行四边形．
∴ BF // ED
∵ ED⊂平面AED，而BF⊄平面AED
∴ BF // 平面ADE．
(2)解：如图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD．
∵ △ACD为正三角形，
∴ AC=AD.
∴ CG=GD.
∵ G在CD的垂直平分线上，
∴ 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
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过G作GH垂直于ED于H，连接AH，则AH⊥DE，
所以∠AHG为二面角A-DE-C的平面角．
即∠AHG=θ.
设原正方体的边长为2a，连接AF.
在折后图的△AEF中，AF=3a，EF=2AE=2a，
即△AEF为直角三角形，AG⋅EF=AE⋅AF.
∴ AG=32a.
在Rt△ADE中，AH⋅DE=AE⋅AD.
∴ AH=25a.
∴ GH=a25.
cosθ=GHAH=14．
即sinθ=154.
19.解：(1)由题意知ξ1概率分布为
ξ1
1.2
1.18
1.17
P
16
12
13
Eξ1=1.2×16+1.18×12+1.17×13=1.18．
由题设得ξ2∼B(2, p)，则ξ2的概率分布为
ξ2
0
1
2
P
(1-p)2
2p(1-p)
p2
∴ ξ2的数学期望为
Eξ2=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2×p2=-p2-0.1p+1.3.
(2)由Eξ11.18
∴ (p+0.4)(p-0.3)<0，
∴ -0.40)，
∴ x1x2=y12y224p2
又∵ x1x2+y1y2=0
∴ x1x2=-y1y2
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∴ -y1y2=y12y224p2
∴ y1y2=-4p2
∴ x=x1+x22=14p(y12+y22)
=14p(y12+y22+2y1y2)-y1y22p
=1p(y2+2p2)
∴ 圆心的轨迹方程为：y2=px-2p2
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，则
d=|x-2y|5
=|1p(y2+2p2)-2y|5
=|(y-p)2+p2|5p
当y=p时，d有最小值p5，
由题设得p5=255
∴ p=2
21.解：（1）解：∵ 2b=a+c
∴ f'(x)=ax2+2bx+x=ax2+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c)
令f'(x)=0，得x=-1或x=-ca
∵ a>0，d>0
∴ 01，-ca<-1
当-ca-1时，时，f‘(x)>0，
所以f(x)在x=-1处取得最小值即x0=-1
（2）∵ f'(x)=ax2+2bx+x(a>0)
∴ 函数f'(x)的图象的开口向上，对称轴方程为x=-ba
由-ba>1知|(1-2ba)-(-ba)|<|0-(-ba)|
∴ f'(x)在[1-2ba, 0]上的最大值为f'(0)=c，即x1=0．
又由ba>1，知-ba∈[1-2ba, 0]
∴ 当x=-ba时，
f‘(x)取得最小值为f‘(-ba)=-d2a，即x2=-ba
∵ f(x0)=f(-1)=-a3
∴ A(-1, -a3)，B(0, c)，C(-ba, -d2a)
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴，
所以-a3=-d2a，即a2=3d①
又由三角形ABC的面积为2+3得12(-1+ba)⋅(c+a3)=2+3
利用b=a+d，c=a+2d，得23d+d2a=2+3②
联立①②可得d=3，a=33．
22.解：（1）由已知推得fk(x)=(n-k+1)xn-k，从而有fk(1)=n-k+1
（2）证法1：当-1≤x≤1 时，F(x)=x2n+ncn1x2（n-1）+(n-1)cn2x2（n-2）+...+(n-k+1)cnkx2（n-k）+...+2cnn-1x2+1
当x>0时，F'(x)>0
所以F(x)在[0, 1]上为增函数
因函数F(x)为偶函数，所以F(x)在[-1, 0]上为减函数
所以对任意的x1，x2∈[-1, 1]，|F(x1)-F(x2)|≤F(1)-F(0)
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F(1)-F(0)=Cn0+ncn1+(n-1)cn2+...+(n-k+1)cnk+...+2cnn-1=ncnn-1+(n-1)cnn-2+...+(n-k+1)cnn-k+...+2cn1+cn0
∵ (n-k+1)cnn-k=(n-k)cnn-k+cnk=ncn-1k+cnk(k=1, 2, 3,…,n-1)
F(!)-F(0)=n(cn-11+cn-12+...+cn-1k-1)+(cn1+cn2+...+cnn-1)+cn0
=n(2n-1-1)+2n-1=2n-1(n+2)-n-1
因此结论成立．
证法2：当-1≤x≤1 时，F(x)=x2n+ncn1x2（n-1）+(n-1)cn2x2（n-2）+...+(n-k+1)cnkx2（n-k）+...+2cnn-1x2+1
当x>0时，F'(x)>0
所以F(x)在[0, 1]上为增函数
因函数F(x)为偶函数
所以F(x)在[-1, 0]上为减函数
所以对任意的x1，x2∈[-1, 1]，|F(x1)-F(x2)|≤F(!)-F(0)
F(!)-F(0)=cn0+ncn1+(n-1)cn2+...+(n-k+1)cnk+...+2cnn-1
又因F(1)-F(0)=2cn1+3cn2+...+kcnk-1+...+ncnn-1+cn0
所以2[F(1)-F(0)]=(n+2)[cn1+cn2+...+cnk-1+...+cnn-1]+2cn0
F(1)-F(0)=n+22[cn1+cn2+...+cnk-1+...+cnn-1]+cn0=n+22(2n-2)+1=2n-1(n+2)-n-1
因此结论成立．
证法3：当-1≤x≤1时，F(x)=x2n+ncn1x2（n-1）+(n-1)cn2x2（n-2）+...+(n-k+1)cnkx2（n-k）+...+2cnn-1x2+1
当x>0时，F'(x)>0
所以F(x)在[0, 1]上为增函数
因函数F(x)为偶函数
所以F(x)在[-1, 0]上为减函数
所以对任意的x1，x2∈[-1, 1]，|F(x1)-F(x2)|≤F(!)-F(0)
F(!)-F(0)=cn0+ncn1+(n-1)cn2+...+(n-k+1)cnk+...+2cnn-1
由x[(1+x)n-xn]=x[cn1xn-1+cn2xn-2+...+cnkxn-k+...+cnn-1+1]=cn1xn+cn2xn-1+...+cnkxn-k+1+...+cnn-1x2+x
对上式两边求导得(1+x)n-xn+nx(1+x)n-1-nxn=ncn1xn-1+(n-1)cn2xn-2+...+(n-k+1)cnkxn-k+...+2cnn-1x+1
F(x)=(1+x2)n+nx2(1+x2)n-1-nx2n
∴ F(1)-F(0)=2n+n2n-1-n-1=(n+2)2n-1-n-1．
因此结论成立．
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