【数学】2020届一轮复习（文理合用）第10章第3讲几何概型作业
对应学生用书[练案75理][练案67文]
第三讲 几何概型(文)
第六讲 几何概型(理)
A组基础巩固
一、选择题
1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达此路口时，不需要等待就可以过马路的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 红灯、黄灯、绿灯总的时间为30＋5＋40＝75(秒)，绿灯的时间为40秒，所以当到达此路口时，不需要等待就可以过马路的概率P＝＝，故选C．
2．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解的概率为( D )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[解析] 由已知得2＋a－a2<0，解得a>2或a<－1.故当a∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解．故所求概率为P＝＝＝0.7.
3．已知M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|y≥－x＋2}，在区域M上随机取一点A，点A落在区域N上的概率为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意可知，集合M表示以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，集合N表示y＝－x＋2的上部，所以满足条件的区域为圆中的阴影部分，且S阴影＝π×22－×2×2＝π－2，故所求概率为＝.
4．(2019·绵阳诊断)在区间[0,2π]上随机取一个数x，则事件“cos x≥”发生的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由cos x≥，x∈[0,2π]，得x∈[0，]∪[，2π]，故所求概率为＝.
5．(2019·铁岭模拟)已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.
6．(2019·益阳、湘潭两市调研)若正方形ABCD的边长为4，E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于( D )
A． B．
C． D．
[解析] 设M，N分别为BC，CD上靠近点C的四等分点，则当E在线段CM，CN(不包括M，N)上时，AE的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM＋CN＝2，所以AE的长度大于5的概率等于＝，故选D．
7．(2019·武汉武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 设这两个数分别为x，y，则由条件知0
＝1，即|CP|>1时，以点P为中点的弦的弦长小于2，由几何概型的概率公式可得，所求概率为＝.
9．(2017·江苏高考)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是.
[解析] 由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为＝.
10．有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别是这个圆柱上底面和下底面的圆心，在该圆柱内随机取一点P，则点P到O1，O2的距离都大于1的概率是_____.
[解析] 由题意，所求概率为1－＝1－＝.
11．七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形．现从这个大正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是_____.
[解析] 设大正方形的面积为4S，则5号板与7号板的面积之和为S，所以从这个大正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是＝.
12．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝，若在菱形内任取一点，
则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为__1－___.
[解析] 如图，分别以A，B，C，D为圆心，1为半径作圆，∴到菱形的四个顶点的距离大于1的点构成的区域为阴影部分，易知菱形内的四个扇形的面积之和为一个整圆的面积，为π×12＝π，∵∠ABC＝，∴∠BAD＝，∴菱形的面积为×4×4×sin×2＝8，则阴影部分的面积为8－π，故所求的概率P＝＝1－.
三、解答题
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M.
(1)求四棱锥M－ABCD的体积小于的概率；
(2)求M落在三棱柱ABC－A1B1C1内的概率；
[解析] (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M－ABCD的高为h，令×S四边形ABCD×h＝，∵S四边形ABCD＝1，∴h＝.
若体积小于，则h<，即点M在正方体的下半部分，
∴P＝＝.
(2)∵V三棱柱＝×12×1＝，
∴所求概率P1＝＝.
14．(2019·济南调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；
(2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
[解析] (1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.
基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；
其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．
则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.
(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.基本事件空间为
Ω＝{(x，y)|}，B＝{(x，y)|}，
则由图可知，P(B)＝＝＝，
即向量a，b的夹角是钝角的概率是.
B组能力提升
1．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则＋＝，因为＋＋2＝0，所以＝－2，由此可得P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于点A到BC距离的，所以S△PBC＝S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为＝.故选D．
2．(2019·郑州模拟)分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 设AB＝2，则S阴影＝2π－4，∴＝，故选B项．
3．在区间[1,5]和[2,4]上各取一个数，分别记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上，且离心率小于的椭圆的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 要使方程＋＝1表示焦点在x轴上，
且离心率小于的椭圆，则需
即又a∈[1,5]，b∈[2,4]，所以得
画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得阴影部分的面积为4×2－×(1＋3)×2－×1×＝，故所求的概率P＝＝.故选B．
4．(2019·南京模拟)已知平面区域D1＝{(x，y)||x|<2，|y|<2}，D2＝{(x，y)|kx－y＋2<0}．在区域D1内随机选取一点M，若点M恰好取自区域D2的概率为p，且00时，k∈(0,1]；当k<0时，k∈[－1,0)．从而k的取值范围为[－1,0)∪(0,1]．
5．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．
(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；
(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
[解析] (1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－x
<－4.
作出区域
设“两船无需等待码头空出”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2或y－x>4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域
P(B)＝＝＝.
