2013-2014学年山东省济南市山师附中高二（上）期中数学试卷
2013-2014学年山东省济南市山师附中高二（上）期中数学试卷
一、选择题（共13小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合题意）
1. 在△ABC中，若C=90∘，a=6，B=30∘，则c−b等于（ ）
A.1 B.−1 C.23 D.−23
2. 已知数列{an}的首项a1=1，且an=2an−1+1(n≥2)，则a5为（ ）
A.7 B.15 C.30 D.31
3. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=λ，b=3λ(λ>0)，A=45∘，则满足此条件的三角形个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.无数个
4. 已知0
0的解集是(−12，13)，则a+b的值是（ ）
A.10 B.−10 C.14 D.−14
6. 在△ABC中，若b=2asinB，则A等于( )
A.30∘或60∘ B.45∘或60∘ C.120∘或60∘ D.30∘或150∘
7. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2−b2=3ac，则角B的值为（ ）
A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3
8. 等差数列an中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（ ）
A.452 B.12 C.454 D.6
9. 在△ABC中，AB=3，AC=1，B=30∘，则△ABC的面积等于（ ）
A.32 B.34 C.32或3 D.32或34
10. 设各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40等于（ ）
A.150 B.−200 C.150或−200 D.400或−50
11. 若不等式组x−y+5≥0y≥a0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ）
A.a<5 B.a≥7 C.5≤a<7 D.a<5或a≥7
12. 在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
13. 若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,12)成立，则a的最小值为( )
A.0 B.−2 C.−52 D.−3
二．解答题（共5小题，每小题4分，共16分．）
若x，y满足约束条件y≤xx+y≤−1y≥−1，则z=2x+y的最大值是________．
在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1=1，a2+a3=6，则数列{an}的通项公式为________．
在等差数列{an}中，an=3n−28，则Sn取得最小值时的n=________．
若lgx+lgy＝2，则1x+1y的最小值为________．
已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于________．
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三．解答题（共六个小题．共56分）
已知集合A={x|x2+3x+2<0}若B={x|x2−4ax+3a2<0}，A⊆B，求实数a的取值范围．
（1）设x，y为正数，求(x+y)(1x+4y)的最小值，并写出取得最小值的条件．
（2）设a>b>c，若1a−b+1b−c≥na−c恒成立，求n的最大值．
在△ABC中，cosA=−513，cosB=35．
(1)求sinC的值；
(2)设BC=5，求△ABC的面积．
已知：等差数列{an}中，a4=14，a7=23．
（1）求an；
（2）将{an}中的第2项，第4项，…，第2n项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n项和Gn．
如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，BD交AC于E，AB=2．
（1）求cos∠CBE的值；
（2）求AE．
设数列{an}的前项和为Sn，已知a1=1，2Snn=an+1−13n2−n−23，n∈N*．
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an<74．
（文）数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an−1．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn．
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参考答案与试题解析
2013-2014学年山东省济南市山师附中高二（上）期中数学试卷
一、选择题（共13小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合题意）
1.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
利用c=acos30∘，b=atan30∘分别求得c和b，则答案可得．
【解答】
解：c=acos30∘=43，
b=atan30∘=23
∴ c−b=43−23=23
故选C
2.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
【解析】
（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解
（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2(a3+1)+1=…进行求解
（法三）构造可得an+1=2(an−1+1)，从而可得数列{an+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求an+1，进而可求an，把n=5代入可求
【解答】
解：（法一）∵ an=2an−1+1，a1=1
a2=2a1+1=3
a3=2a2+1=7
a4=2a3+1=15
a5=2a4+1=31
（法二）∵ an=2an−1+1
∴ a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31
（法三）∴ an+1=2(an−1+1)
∵ a1+1=2
∴ {an+1}是以2为首项，以2为等比数列
∴ an+1=2⋅2n−1=2n
∴ an=2n−1
∴ a5=25−1=31
故选：D
3.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由正弦定理求得sinB=62>1，可得角B不存在，故满足此条件的三角形不存在．
【解答】
解：在△ABC中，由正弦定理可得asinA=bsinB，即λsin45∘=3λsinB，求得sinB=62>1，故B不存在，故满足此条件的三角形不存在，
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
根据y=12x(1−2x)构造成y=14⋅2x⋅(1−2x)，利用基本不等式即可求得最大值，从而根据基本不等式取等号的条件，确定出x的值．
【解答】
解：∵ 00恒成立，
故a≥0，
若0≤−a2≤12，即−1≤a≤0，
则应有f(−a2)=a24−a22+1=1−a24≥0恒成立，
故−1≤a≤0，
综上，有−52≤a．
故选C.
二．解答题（共5小题，每小题4分，共16分．）
【答案】
−1
【考点】
简单线性规划
【解析】
画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，分别代入目标函数，比照后可得最优解．
【解答】
解：满足约束条件y≤xx+y≤−1y≥−1的可行域如下图所示：
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∵ z=2x+y
故当x=0，y=−1时，z=2x+y的最大值是−1
故答案为：−1
【答案】
an=2n−1
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
先设等比数列的公比为q；根据a1=1，a2+a3=6求出公比即可求出数列{an}的通项公式．（注意题中的限制条件“各项均为正数'）
【解答】
解：设等比数列的公比为q．
则由a1=1，a2+a3=6，得：a1(q+q2)=6⇒q2+q−6=0
解得q=2或q=−3．
又因为数列各项均为正数
∴ q=2．
∴ an=a1⋅qn−1=2n−1．
故答案为：an=2n−1．
【答案】
9
【考点】
等差数列的前n项和
数列的函数特性
【解析】
令an=3n−28≤0，解得n即可．
【解答】
解：令an=3n−28≤0，解得n≤283=9+13，
故当n=9时，Sn取得最小值．
故答案为9．
【答案】
15
【考点】
基本不等式及其应用
对数的运算性质
【解析】
根据对数的运算性质计算已知的等式，得到xy的值，且由对数函数的定义域得到x与y都大于0，然后把所求的式子通分后，利用分子利用基本不等式变形，将xy的值代入即可求出所求式子的最小值．
【解答】
由lgx+lgy＝lgxy＝2，得到xy＝102＝100，且x>0，y>0，
∴ 1x+1y=x+yxy≥2xyxy=2100100=15，当且仅当x＝y时取等号，
则1x+1y的最小值为15．
【答案】
5
【考点】
等比数列的性质
【解析】
由{an}是等比数列，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，利用等比数列的通项公式知a32+2a3a5+a52＝25，再由完全平方和公式知(a3+a5)2＝25，再由an>0，能求出a3+a5的值．
【解答】
∵ {an}是等比数列，且an>0，
a2a4+2a3a5+a4a6＝25，
∴ a32+2a3a5+a52＝25，
∴ (a3+a5)2＝25，
∵ an>0，
∴ a3+a5＝5．
三．解答题（共六个小题．共56分）
【答案】
解：A={x|x2+3x+2<0}={x|−2a，即a>0时，则B={x|aa，即a>0时，则B={x|a0，y>0
∴ (x+y)(1x+4y)=1+yx+4xy+4≥5+24=9，
当且仅当yx=4xy，即y=2x时取得最小值；
（2）∵ a>b>c
∴ a−b>0，a−c>0，b−c>0，
∴ 1a−b+1b−c≥na−c可化为n≤(1a−b+1b−c)(a−c)
令t=(1a−b+1b−c)(a−c)
=(1a−b+1b−c)[(a−b)+(b−c)]
=1+b−ca−b+a−bb−c+1≥2+2=4．
当且仅当b−ca−b=a−bb−c，即2b=a+c时等号成立．
∴ n≤4，
∴ n的最大值是4．
【考点】
函数恒成立问题
函数的最值及其几何意义
【解析】
（1）展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值，并得到使代数式取得最小值的条件；
（2）由已知得到a−b，a−c，b−c的符号，两边同时乘以a−c后变式，然后利用基本不等式求最值，从而得到n的最大值．
【解答】
解：（1）∵ x>0，y>0
∴ (x+y)(1x+4y)=1+yx+4xy+4≥5+24=9，
当且仅当yx=4xy，即y=2x时取得最小值；
（2）∵ a>b>c
∴ a−b>0，a−c>0，b−c>0，
∴ 1a−b+1b−c≥na−c可化为n≤(1a−b+1b−c)(a−c)
令t=(1a−b+1b−c)(a−c)
=(1a−b+1b−c)[(a−b)+(b−c)]
=1+b−ca−b+a−bb−c+1≥2+2=4．
当且仅当b−ca−b=a−bb−c，即2b=a+c时等号成立．
∴ n≤4，
∴ n的最大值是4．
【答案】
解：（1）由cosA=−513，得sinA=1213，
由cosB=35，得sinB=45．
所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=1665．
（2）由正弦定理得AC=BC×sinBsinA=5×451213=133．
所以△ABC的面积S=12×BC×AC×sinC=12×5×133×1665=83．
【考点】
求两角和与差的正弦
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）先利用同角三角函数的基本关系求得sinA和sinB的值，进而根据sinC=sin(A+B)利用正弦的两角和公式求得答案．
（2）先利用正弦定理求得AC，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积．
【解答】
解：（1）由cosA=−513，得sinA=1213，
由cosB=35，得sinB=45．
所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=1665．
（2）由正弦定理得AC=BC×sinBsinA=5×451213=133．
所以△ABC的面积S=12×BC×AC×sinC=12×5×133×1665=83．
【答案】
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解：（1）设数列公差为d，
由a4=14，a7=23，
∴ d=13(a7−a4)=3，
∴ an=a4+(n−4)d=3n+2；
（2）Gn=a2+a4+a8+...+a2n
=(3×2+2)+(3×4+2)+(3×8+2)+...+(3×2n+2)
=3×(2+4+8+...+2n)+2n
=3×2×(1−2n)1−2+2n
=6×(2n−1)+2n．
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）设数列公差为d，易求d=3，于是可得an；
（2）利用分组求和的方法即可求得此数列的前n项和Gn．
【解答】
解：（1）设数列公差为d，
由a4=14，a7=23，
∴ d=13(a7−a4)=3，
∴ an=a4+(n−4)d=3n+2；
（2）Gn=a2+a4+a8+...+a2n
=(3×2+2)+(3×4+2)+(3×8+2)+...+(3×2n+2)
=3×(2+4+8+...+2n)+2n
=3×2×(1−2n)1−2+2n
=6×(2n−1)+2n．
【答案】
解：．（1）∵ ∠BCD=90∘+60∘=150∘，CB=AC=CD
∴ ∠CBE=15∘，∴ cos∠CBE=cos(45∘−30∘)=6+24．
（2）在△ABE中，AB=2，由正弦定理得AEsin(45∘−15∘)=2sin(90∘+15∘)，
故AE=2sin30∘cos15∘=2×126+24=6−2．
【考点】
正弦定理的应用
【解析】
（1）根据图中各角和边的关系可得∠CBE的值，再由两角差的余弦公式可得答案．
（2）根据正弦定理可直接得到答案．
【解答】
解：．（1）∵ ∠BCD=90∘+60∘=150∘，CB=AC=CD
∴ ∠CBE=15∘，∴ cos∠CBE=cos(45∘−30∘)=6+24．
（2）在△ABE中，AB=2，由正弦定理得AEsin(45∘−15∘)=2sin(90∘+15∘)，
故AE=2sin30∘cos15∘=2×126+24=6−2．
【答案】
(1)解：当n=1时，2S11=2a1=a2−13−1−23，
解得a2=4.
(2)解：2Sn=nan+1−13n3−n2−23n①
当n≥2时，2Sn−1=(n−1)an−13(n−1)3−(n−1)2−23(n−1)②
①-②得2an=nan+1−(n−1)an−n2−n
整理得nan+1=(n+1)an+n(n+1)，
即an+1n+1=ann+1，an+1n+1−ann=1
当n=1时，a22−a11=2−1=1
所以数列{ann}是以1为首项，1为公差的等差数列
所以ann=n，即an=n2
所以数列{an}的通项公式为an=n2，n∈N*
(3)证明：因为1an=1n2<1(n−1)n=1n−1−1n(n≥2)，
所以1a1+1a2+…+1an=112+122+132+…+1n2
<1+14+(12−13)+(13−14)+…+(1n−1−1n)
=1+14+12−1n=74−1n<74．
则对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an<74．
【考点】
不等式恒成立问题
数列与不等式的综合
数列递推式
等差数列的通项公式
【解析】
（1）利用已知a1=1，2Snn=an+1−13n2−n−23，n∈N*．令n=1即可求出；
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（2）利用an=Sn−Sn−1(n≥2)即可得到nan+1=(n+1)an+n(n+1)，可化为an+1n+1=ann+1，an+1n+1−ann=1．再利用等差数列的通项公式即可得出；
（3）利用（2），通过放缩法1an=1n2<1(n−1)n=1n−1−1n(n≥2)即可证明．
【解答】
(1)解：当n=1时，2S11=2a1=a2−13−1−23，
解得a2=4.
(2)解：2Sn=nan+1−13n3−n2−23n①
当n≥2时，2Sn−1=(n−1)an−13(n−1)3−(n−1)2−23(n−1)②
①-②得2an=nan+1−(n−1)an−n2−n
整理得nan+1=(n+1)an+n(n+1)，
即an+1n+1=ann+1，an+1n+1−ann=1
当n=1时，a22−a11=2−1=1
所以数列{ann}是以1为首项，1为公差的等差数列
所以ann=n，即an=n2
所以数列{an}的通项公式为an=n2，n∈N*
(3)证明：因为1an=1n2<1(n−1)n=1n−1−1n(n≥2)，
所以1a1+1a2+…+1an=112+122+132+…+1n2
<1+14+(12−13)+(13−14)+…+(1n−1−1n)
=1+14+12−1n=74−1n<74．
则对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an<74．
【答案】
解：（1）∵ Sn=2an−1，
∴ Sn+1=2an+1−1，
∴ an+1=2an+1−2an
即an+1=2an，
∵ a1=1，
∴ {an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴ an=2n−1；
（2）Tn=1×20+2×21+3×22+...+n×2n−1①，
2Tn=1×21+2×22+...+(n−1)×2n−1+n×2n②，
①-②得：−Tn=(20+21+22+...+2n−1)−n×2n
=2n−1−n×2n
=−(n−1)2n−1，
∴ Tn=(n−1)×2n+1．
【考点】
数列的求和
【解析】
（1）由Sn=2an−1⇒Sn+1=2an+1−1，从而可得an+1=2an，而a1=1，从而知{an}是首项为1，公比为2的等比数列，于是可得数列{an}的通项an；
（2）利用错位相减法即可求得数列{nan}的前n项和Tn．
【解答】
解：（1）∵ Sn=2an−1，
∴ Sn+1=2an+1−1，
∴ an+1=2an+1−2an
即an+1=2an，
∵ a1=1，
∴ {an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴ an=2n−1；
（2）Tn=1×20+2×21+3×22+...+n×2n−1①，
2Tn=1×21+2×22+...+(n−1)×2n−1+n×2n②，
①-②得：−Tn=(20+21+22+...+2n−1)−n×2n
=2n−1−n×2n
=−(n−1)2n−1，
∴ Tn=(n−1)×2n+1．
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