2014年高考数学(文科)真题分类汇编D单元 数列

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文档介绍

2014年高考数学(文科)真题分类汇编D单元 数列

‎ 数 学 D单元 数列 ‎ D1 数列的概念与简单表示法 ‎17.D1、D3、D5[2014·江西卷] 已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ ‎17.解:(1)由Sn=,得a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,a1也符合上式,所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.‎ ‎(2)证明:要使得a1,an,am成等比数列,只需要a=a1·am,即(3n-2)2=1·(‎3m-2),即m=3n2-4n+2.而此时m∈N*,且m>n,‎ 所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ ‎18.B11、B12[2014·江西卷] 已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.‎ ‎(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.‎ ‎18.解:(1)当a=-4时,由f′(x)==0得x=或x=2,由f′(x)>0得x∈或x∈(2,+∞).‎ 故函数f(x)的单调递增区间为和(2,+∞).‎ ‎(2)因为f′(x)=,a<0,‎ 所以由f′(x)=0得x=-或x=-.‎ 当x∈时,f(x)单调递增;当x∈时,f(x)单调递减;当x∈时,f(x)单调递增.‎ 易知f(x)=(2x+a)2≥0,且f=0.‎ ‎①当-≤1,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+‎4a+a2=8,得a=±2-2,均不符合题意.‎ ‎②当1<-≤4时,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]时的最小值为f=0,不符合题意.‎ ‎③当->4时,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4时取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+‎16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去).‎ 当a=-10时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意.‎ 综上有,a=-10.‎ ‎16.D1[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=________.‎ ‎16. [解析] 由题易知a8==2,得a7=;a7==,得a6=-1;a6==-1,得a ‎5=2,于是可知数列{an}具有周期性,且周期为3,所以a1=a7=.‎ D2 等差数列及等差数列前n项和 ‎2.D2[2014·重庆卷] 在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=(  )‎ A.5 B.‎8 C.10 D.14‎ ‎2.B [解析] 由题意,得a1+2d+a1+4d=‎2a1+6d=4+6d=10,解得d=1,所以a7=a1+6d=2+6=8.‎ ‎5.D2[2014·天津卷] 设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=(  )‎ A.2 B.-2‎ C. D.- ‎5.D [解析] ∵S2=‎2a1-1,S4=‎4a1+×(-1)=‎4a1-6,且S1,S2,S4成等比数列,∴(‎2a1-1)2=a1(‎4a1-6),解得a1=-.‎ ‎15.D2、D4[2014·北京卷] 已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和.‎ ‎15.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得 d===3.‎ 所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).‎ 设等比数列{bn-an}的公比为q,由题意得 q3===8,解得q=2.‎ 所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.‎ 从而bn=3n+2n-1(n=1,2,…).‎ ‎(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,…).‎ 数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为1×=2n-1,‎ 所以,数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n-1.‎ ‎17.D2,D3[2014·福建卷] 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.‎ ‎(1)求an;‎ ‎(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎17.解:(1)设{an}的公比为q,依题意得 解得 因此,an=3n-1.‎ ‎(2)因为bn=log3an=n-1,‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn==.‎ ‎19.D2、D3、D5[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎19.解:(1)设数列{an}的公差为d,‎ 依题意知,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),‎ 化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4,‎ 当d=0时,an=2;‎ 当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,‎ 从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.‎ ‎(2)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,‎ 此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.‎ 当an=4n-2时,Sn==2n2.‎ 令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,‎ 解得n>40或n<-10(舍去),‎ 此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.‎ 综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n;‎ 当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.‎ ‎16.D2、D4[2014·湖南卷] 已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.‎ ‎ 16.解:(1)当n=1时,a1=S1=1;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.‎ 故数列{an}的通项公式为an=n.‎ ‎(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).‎ 记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,‎ 则A==22n+1-2,‎ B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.‎ 故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.‎ ‎13.D2[2014·江西卷] 在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.‎ ‎13. [解析] 由题可知a8>0且a9<0,即7+7d>0且7+8d<0,所以-10,所以d=2.‎ 从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(‎2m+k-1)(k+1),‎ 所以(‎2m+k-1)(k+1)=65.‎ 由m,k∈N*知‎2m+k-1≥k+1>1,‎ 故所以 ‎16.D2、D3[2014·重庆卷] 已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.‎ ‎(1)求an及Sn;‎ ‎(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ ‎16.解:(1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以 an=a1+(n-1)d=2n-1.‎ 故Sn=1+3+…+(2n-1)===n2.‎ ‎(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,‎ 所以(q-4)2=0,从而q=4.‎ 又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,‎ 所以bn=b1qn-1=2×4n-1=22n-1.‎ 从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1).‎ D3 等比数列及等比数列前n项和 ‎12.D3[2014·安徽卷] 如图13,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A‎1C的垂线,垂足为 A3;….依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A‎1A2=a3,…,A‎5A6=a7,则a7=________.‎ 图13‎ ‎12. [解析] 在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2 ,所以AB=AC=a1=2,由题易知A‎1A2=a3=AB=1,…,A‎6A7=a7=·AB=2×=.‎ ‎17.D2,D3[2014·福建卷] 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.‎ ‎(1)求an;‎ ‎(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎17.解:(1)设{an}的公比为q,依题意得 解得 因此,an=3n-1.‎ ‎(2)因为bn=log3an=n-1,‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn==.‎ ‎13.D3、B7[2014·广东卷] 等比数列{an}的各项均为正数,且a‎1a5=4,则log‎2a1+log‎2a2+log‎2a3+log‎2a4+log‎2a5=________.‎ ‎13.5 [解析] 在等比数列中,a‎1a5=a‎2a4=a=4.因为an>0,所以a3=2,所以a‎1a2a3a4a5=(a‎1a5)(a‎2a4)a3=a=25,‎ 所以log‎2a1+log‎2a2+log‎2a3+log‎2a4+log‎2a5=log2(a‎1a2a3a4a5)=log225=5.‎ ‎19.D2、D3、D5[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎19.解:(1)设数列{an}的公差为d,‎ 依题意知,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),‎ 化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4,‎ 当d=0时,an=2;‎ 当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,‎ 从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.‎ ‎(2)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,‎ 此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.‎ 当an=4n-2时,Sn==2n2.‎ 令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,‎ 解得n>40或n<-10(舍去),‎ 此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.‎ 综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n;‎ 当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.‎ ‎7.D3[2014·江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+‎2a4,则a6的值是________.‎ ‎7.4 [解析] 由等比数列的定义可得,a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,即a2q6=a2q4+‎2a2q2.又an>0,所以q4-q2-2=0,解得q2=2,故a6=a2q4=1×22=4.‎ ‎17.D1、D3、D5[2014·江西卷] 已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ ‎17.解:(1)由Sn=,得a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,a1也符合上式,所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.‎ ‎(2)证明:要使得a1,an,am成等比数列,只需要a=a1·am,即(3n-2)2=1·(‎3m-2),即m=3n2-4n+2.而此时m∈N*,且m>n,‎ 所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ ‎18.B11、B12[2014·江西卷] 已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.‎ ‎(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.‎ ‎18.解:(1)当a=-4时,由f′(x)==0得x=或x=2,由f′(x)>0得x∈或x∈(2,+∞).‎ 故函数f(x)的单调递增区间为和(2,+∞).‎ ‎(2)因为f′(x)=,a<0,‎ 所以由f′(x)=0得x=-或x=-.‎ 当x∈时,f(x)单调递增;当x∈时,f(x)单调递减;当x∈时,f(x)单调递增.‎ 易知f(x)=(2x+a)2≥0,且f=0.‎ ‎①当-≤1,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+‎4a+a2=8,得a=±2-2,均不符合题意.‎ ‎②当1<-≤4时,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]时的最小值为f=0,不符合题意.‎ ‎③当->4时,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4时取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+‎16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去).‎ 当a=-10时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意.‎ 综上有,a=-10.‎ ‎8.D3[2014·全国卷] 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=(  )‎ A.31 B.32‎ C.63 D.64‎ ‎8.C [解析] 设等比数列{an}的首项为a,公比为q,易知q≠1,根据题意可得 解得q2=4,=-1,所以S6==(-1)(1-43)=63.‎ ‎5.D2 D3[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(  )‎ A.n(n+1) B.n(n-1)‎ C. D. ‎5.A [解析] 由题意,得a2,a2+4,a2+12成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解得a2=4,即a1=2,所以Sn=2n+×2=n(n+1).‎ ‎19.D2,D3,D4[2014·山东卷] 在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=a,记Tm=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn.‎ ‎19.解:(1)由题意知,(a1+d)2=a1(a1+3d),‎ 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2.‎ 故数列{an}的通项公式为an=2n.‎ ‎(2)由题意知,bn=a=n(n+1),‎ 所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn×(n+1).‎ 因为bn+1-bn=2(n+1),‎ 所以当n为偶数时,‎ Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)‎ ‎=4+8+12+…+2n ‎= ‎=,‎ 当n为奇数时,‎ Tn=Tn-1+(-bn)‎ ‎=-n(n+1)‎ ‎=-.‎ 所以Tn= ‎16.D2、D3、C8[2014·陕西卷] △ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.‎ ‎(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);‎ ‎(2)若a,b,c成等比数列,且c=‎2a,求cos B的值.‎ ‎16.解: (1)∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.‎ ‎∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),‎ ‎∴sin A+sin C=2sin(A+C).‎ ‎(2)由题设有b2=ac,c=‎2a,‎ ‎∴b=a.‎ 由余弦定理得cos B===.‎ ‎20.A1、D3、E7[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.‎ ‎(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.‎ ‎(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.‎ ‎20.解:(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.‎ ‎(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an60n+800成立.‎ 当an=4n-2时,Sn==2n2.‎ 令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,‎ 解得n>40或n<-10(舍去),‎ 此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.‎ 综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n;‎ 当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.‎ ‎20.D5[2014·江苏卷] 设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.‎ ‎(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”.‎ ‎(2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值.‎ ‎(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.‎ ‎20.解: (1)证明:由已知,当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am,‎ 所以{an}是“H数列”.‎ ‎(2)由已知得,S2=‎2a1+d=2+d.因为{an}是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1,从而d=-1.‎ 当d=-1时,an=2-n,Sn=是小于2的整数,n∈N*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以{an}是“H数列”,因此 d的值为-1.‎ ‎(3)证明:设等差数列{an}的公差为d,则an =a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*).‎ 令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则an=bn+cn(n∈N*).‎ 下证{bn}是“H数列”.‎ 设{bn}的前n项和为Tn,则Tn=a1(n∈N*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=,使得Tn=bm,所以{bn}是“H数列”.‎ 同理可证{cn}也是“H数列”.‎ 所以对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.‎ ‎17.D1、D3、D5[2014·江西卷] 已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ ‎17.解:(1)由Sn=,得a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,a1也符合上式,所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.‎ ‎(2)证明:要使得a1,an,am成等比数列,只需要a=a1·am,即(3n-2)2=1·(‎3m-2),即m=3n2-4n+2.而此时m∈N*,且m>n,‎ 所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ ‎18.B11、B12[2014·江西卷] 已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.‎ ‎(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.‎ ‎18.解:(1)当a=-4时,由f′(x)==0得x=或x=2,由f′(x)>0得x∈或x∈(2,+∞).‎ 故函数f(x)的单调递增区间为和(2,+∞).‎ ‎(2)因为f′(x)=,a<0,‎ 所以由f′(x)=0得x=-或x=-.‎ 当x∈时,f(x)单调递增;当x∈时,f(x)单调递减;当x∈时,f(x)单调递增.‎ 易知f(x)=(2x+a)2≥0,且f=0.‎ ‎①当-≤1,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+‎4a+a2=8,得a=±2-2,均不符合题意.‎ ‎②当1<-≤4时,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]时的最小值为f=0,不符合题意.‎ ‎③当->4时,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4时取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+‎16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去).‎ 当a=-10时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意.‎ 综上有,a=-10.‎ ‎19.D2、D5、B11[2014·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图像上(n∈N*).‎ ‎(1)证明:数列{bn}为等比数列;‎ ‎(2)若a1=1,函数f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列{anb}的前n项和Sn.‎ ‎19.解:(1)证明:由已知得,bn=2an>0,‎ 当n≥1时,=2an+1-an=2d.‎ 故数列{bn}是首项为‎2a1,公比为2d的等比数列.‎ ‎(2)函数f(x)=2x在点(a2,b2)处的切线方程为y-‎2a2=(‎2a2ln 2)(x-a2),‎ 其在x轴上的截距为a2-.‎ 由题意知,a2-=2-,‎ 解得a2=2,‎ 所以d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,anb=n·4n.‎ 于是,Sn=1×4+2×42+3×43+…+(n-1)×4n-1+n×4n,‎ ‎4Sn=1×42+2×43+…+(n-1)×4n+n×4n+1,‎ 因此,Sn-4Sn=4+42+…+4n-n·4n+1=-n·4n+1=,‎ 所以,Sn=.‎ ‎1.[2014·黄冈中学月考] 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为(  )‎ A.an=2n-3 B.an=2n+3‎ C.an= D.an= ‎1.C [解析] 当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3.又当n=1时,a1的值不适合n≥2时的通项公式,故选C.‎ ‎6.[2014·杭州检测] 设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使Sn>0成立的最小正整数n为(  )‎ A.6 B.7‎ C.8 D.9‎ ‎6.C [解析] 由题意知,S7=‎7a4<0,a4+a5>0,∴S8==>0,故选C.‎ ‎7.[2014·成都七中模拟] 已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7=a6+‎2a5,若存在两项am,an,使得=‎4a1,则+的最小值为(  )‎ A. B. C. D. ‎7.A [解析] 设等比数列{an}的公比为q(q>0).由a7=a6+‎2a5,得a5q2=a5q+‎2a5‎ ‎,解得q=2.由=‎4a1,得a12=‎4a1,所以m+n=6.故+=+·=+++≥+2 =,当且仅当n=‎3m时,等号成立.‎ ‎2.[2014·合肥检测] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2=2an+1-an,a5=4-a3,则S7=(  )‎ A.7 B.12‎ C.14 D.21‎ ‎2.C [解析] 由an+2=2an+1-an得,数列{an}为等差数列.由a5=4-a3,得a5+a3=4=a1+a7,所以S7==14.‎ ‎1.[2014·常德期末] 在1和2之间依次插入n(n∈N*)个正数a1,a2,a3,…,an,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作Tn,令bn=2log2Tn.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)令cn=2n,设Sn=++…+,求Sn.‎ ‎1.解:(1)方法一:设等比数列1,a1,a2,a3,…,an,2的公比为q,‎ 则2=1·qn+1,∴qn+1=2,‎ ‎∴Tn=1·a1·a2·…·an·2=1·q·q2·…·qn·qn+1=‎ q1+2+3+…+(n+1)=q=2,‎ ‎∴bn=2log2Tn=2log22=n+2.‎ 故数列{bn}的通项公式为bn=n+2.‎ 方法二:设等比数列1,a1,a2,a3,…,an,2的公比为q,‎ 则2=1·qn+1,∴q=2,∴am=1·qm=(2)m=2,‎ ‎∴Tn=1·a1·a2·…·an·2=1×2×2×…×2×2=21+++…+=2,‎ ‎∴bn=2log2Tn=2log22=n+2.‎ 故数列{an}的通项公式为bn=n+2.‎ 方法三:由Tn=1·a1·a2·…·an·2,Tn=2·an·an-1·…·a1·1,得T=(1×2)(a1×an)(a2×an-1)…(2×1),‎ 由等比数列的性质得T=2n+2,∴Tn=2,‎ ‎∴bn=2log2Tn=2log22=n+2.‎ 故数列{an}的通项公式为bn=n+2.‎ ‎(2)由cn=2n,得Sn=+++…+,‎ ‎∴Sn=+++…+.‎ 由错位相减法求得Sn=++++…+-,∴Sn=4-.‎ ‎2.[2014·湖南师大附中月考] 对于数列{xn},若对任意n∈N*,都有<xn+1成立,则称数列{xn}为“减差数列”.设数列{an}是各项都为正数的等比数列,其前n项和为S n,且a1=1,S3=.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式,并判断数列{Sn}是否为“减差数列”;‎ ‎(2)设bn=(2-nan)t+an,若数列b3,b4,b5,…是“减差数列”,求实数t的取值范围.‎ ‎2.解:(1)设数列{an}的公比为q,则1+q+q2=,‎ 即4q2+4q-3=0,所以(2q-1)(2q+3)=0.‎ 因为q>0,所以q=,所以an=,‎ Sn==2-,‎ 所以=2--<2-=Sn+1,‎ 所以数列{Sn}是“减差数列”.‎ ‎(2)由题设知,bn=2-t+=2t-.‎ 由,化简得t(n-2)>1.‎ 又当n≥3时,t(n-2)>1恒成立,即t>恒成立,‎ 所以t>max=1.‎ 故t的取值范围是(1,+∞).‎ ‎4.[2014·青岛一模] 已知n∈N*,数列{dn}满足dn=,数列{an}满足an=d1+d2+d3+…+d2n.数列{bn}为公比大于1的等比数列,且b2,b4为方程x2-20x+64=0的两个不相等的实根.‎ ‎(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)将数列{bn}中的第a1项、第a2项、第a3项、…、第an项删去后,将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn},求数列{cn}的前2013项的和.‎ ‎4.解:(1)∵dn=,‎ ‎∴an=d1+d2+d3+…+d2n==3n.‎ ‎∵b2,b4为方程x2-20x+64=0的两个不相等的实数根,‎ ‎∴b2+b4=20,b2·b4=64,又b4>b2,‎ ‎∴b2=4,b4=16,∴bn=2n.‎ ‎(2)由题意知将数列{bn}中的第3项、第6项、第9项、……删去后构成的新数列{cn}中,奇数项与偶数项分别成等比数列,首项分别是b1=2,b2=4,公比均是8,‎ T2013=(c1+c3+c5+…+c2013)+(c2+c4+c6+…+c2012)‎ ‎=+ ‎=.‎
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