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文档介绍
【数学】2018届一轮复习北师大版第五章数列第二节等差数列教案
第二节 等差数列 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 真题举例 命题角度 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系。 2016，全国卷Ⅰ，3,5分(等差数列基本量的计算) 2016，全国卷Ⅱ，17,12分(等差数列通项公式、求和) 2016，北京卷，12,5分(等差数列的基本量计算) 2016，浙江卷，6,5分(等差数列的创新应用) 1.以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点； 2.题型主要以选择题、填空题的形式考查等差数列的基本运算与简单性质。解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查。 微知识 小题练 自|主|排|查 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)。 (2)等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝。 2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d。 (2)等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋d或Sn＝。 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)。 (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an。 (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d。 (4)若{an}，{bn}是等差数列，公差为d，则{pan＋qbn}也是等差数列。 (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列。 (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列。 (7)S2n－1＝(2n－1)an。 (8)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)。 微点提醒 1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。 2．等差数列的前n项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。 3．等差数列与函数的关系： (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d。若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列。 (2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0。 小|题|快|练 一 、走进教材 1．(必修5P38例1改编)已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________。 【解析】 依题意得，该等差数列的首项为－5，公差为3，所以a20＝－5＋19×3＝52，故第20项为52。 【答案】 52 2．(必修5P46B组T2改编)若某等差数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别是A，B，C，则A、B、C之间的关系是________。 【解析】 在等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，即A，B－A，C－B也成等差数列，即2(B－A)＝A＋(C－B)，所以C＝3(B－A)。 【答案】 C＝3(B－A) 二、双基查验 1．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ) A．100 B．99 C．98 D．97 【解析】 设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3。又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98。故选C。 【答案】 C 2．在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin＝( ) A. B. C．－ D．－ 【解析】 ∵a2＋a6＝，∴2a4＝。 ∴sin＝sin＝－cos＝－。 故选D。 【答案】 D 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是( ) A. B．1 C．2 D．3 【解析】 由－＝1，得－＝(a1＋d)－＝＝1，所以d＝2。故选C。 【答案】 C 4．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝________。 【解析】 由an＋1＝an＋2知{an}为等差数列其公差为2。 故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1。 【答案】 2n－1 5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大。 【解析】 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0。又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0。故当n＝8时，其前n项和最大。 【答案】 8 微考点 大课堂 考点一 等差数列的基本运算 【典例1】 (2016·广州联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表达式。 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知，解得，故an＝2n－7(n∈N*)。 (2)由an＝2n－7<0，得n<，即n≤3， 所以当n≤3时，an＝2n－7<0，当n≥4时，an＝2n－7>0。 易知Sn＝n2－6n，S3＝－9，S5＝－5， 所以T5＝－(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＝－S3＋(S5－S3)＝S5－2S3＝13。 当n≤3时，Tn＝－Sn＝6n－n2； 当n≥4时，Tn＝－S3＋(Sn－S3)＝Sn－2S3＝n2－6n＋18。 故Tn＝ 【答案】 (1)an＝2n－7(n∈N*) (2)T5＝13 Tn＝ 反思归纳 1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。 2．等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，已知其中三个就能求出另外两个，体现了用方程组解决问题的思想。 【变式训练】 (1)(2016·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和。若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________。 (2)(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和。若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________。 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得所以S6＝6a1＋×6×5d＝36＋15×(－2)＝6。 (2)设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a＝a1＋(a1＋d)2＝－3，S5＝5a1＋10d＝10，解得a1＝－4，d＝3，则a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20。 【答案】 (1)6 (2)20 考点二 等差数列的判定与证明 【典例2】 (2017·兰州模拟)已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)。 (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的通项公式an。 【解析】 (1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)， bn＝。 所以n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1。 又b1＝＝－， 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列。 (2)由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋。 【答案】 (1)数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列 (2)an＝1＋ 反思归纳 等差数列的四种判断方法： (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列。 (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列。 (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列。 (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列。 【变式训练】 已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N*)。 (1)求证：数列{an}是等差数列； (2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn。 【解析】 (1)证明：Sn＝(n∈N*)，① Sn－1＝(n≥2)。② ①－②得an＝(n≥2)， 整理得(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1(n≥2)。 ∵数列{an}的各项均为正数， ∴an＋an－1≠0，∴an－an－1＝1(n≥2)。 当n＝1时，a1＝1，∴数列{an}是首项为1、公差为1的等差数列。 (2)由(1)得Sn＝， ∴bn＝＝＝2， ∴Tn＝2＋＋＋…＋＝2＝。 【答案】 (1)见解析 (2)Tn＝ 考点三 等差数列的性质及应用 【典例3】 (1)(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( ) A．5 B．7 C．9 D．11 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________。 (3)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________。 【解析】 (1)解法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5。故选A。 解法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3， ∴a1＋2d＝1， ∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5。故选A。 (2)因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3；又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114。 (3)因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21。 【答案】 (1)A (2)114 (3)21 反思归纳 在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；也是等差数列。等差数列的性质是解题的重要工具。 【变式训练】 (1)(2016·银川模拟)已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为( ) A．－4 B. C．4 D．－ (2)已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A．10 B．20 C．30 D．40 【解析】 (1)∵S5＝5a3＝55，∴a3＝11，∴k＝＝＝4。故选C。 (2)设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10。故选A。 【答案】 (1)C (2)A 考点四 等差数列前n项和的最值问题…………母题发散 【典例4】 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值。 【解析】 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋d＝15×20＋d， ∴d＝－。 解法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋。 得a13＝0。 即当n≤12时，an>0，当n≥14时，an<0。 ∴当n＝12或13时，Sn取得最大值， 且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130。 解法二：Sn＝20n＋· ＝－n2＋n ＝－2＋。 ∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝130。 解法三：由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0。 ∴5a13＝0，即a13＝0。 ∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝130。 【答案】 当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝130 【母题变式】 若将本典例条件“a1＝20”改为“a1＝－20”，其他条件不变，求当n取何值时，Sn取得最小值，并求出最小值。 【解析】 由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0， ∴a13＝0。又a1＝－20，∴a12<0，a14>0， ∴当n＝12或13时，Sn取得最小值， 最小值S12＝S13＝＝－130。 【答案】 当n＝12或13时，Sn取得最小值， 最小值S12＝S13＝－130。 【拓展变式】 设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn查看更多
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