2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（浙江卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（浙江卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） ‎ 数学（理科） ‎ 一．选择题 ‎1．已知是虚数单位，则 A． B. C. D.‎ ‎2．设集合，则 A． B. C. D.‎ ‎3．已知为正实数，则 A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎4．已知函数，则“是奇函数”是的 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则 A. B. C. D.‎ 开始 S=1，k=1‎ k>a?‎ S=S+ k=k+1‎ 输出S ‎ 结束 是 否 ‎（第5题图）‎ ‎6．已知，则 A. B. C. D.‎ 10‎ ‎7．设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。则 A. B. C. D.‎ ‎8．已知为自然对数的底数，设函数，则 A．当时，在处取得极小值 B．当时，在处取得极大值 ‎ C．当时，在处取得极小值 D．当时，在处取得极大值 ‎ ‎9．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点。若四边形为矩形，则的离心率是 O x y A B F1‎ F2‎ ‎（第9题图）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记。设是两个不同的平面，对空间任意一点，,恒有，则 A．平面与平面垂直 B. 平面与平面所成的（锐）二面角为 ‎ C. 平面与平面平行 D.平面与平面所成的（锐）二面角为 ‎ 二、填空题 ‎11．设二项式的展开式中常数项为，则________。‎ ‎12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于________。‎ 10‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎（第12题图）‎ ‎13．设，其中实数满足，若的最大值为12，则实数________。‎ ‎14．将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）‎ ‎15．设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段的中点，若，则直线的斜率等于________。‎ ‎16．中，,是的中点，若，则________。‎ ‎17．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________。‎ 三、 解答题 18． 在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列。‎ ‎（1）求； （2）若，求 ‎19．设袋子中装有个红球，个黄球，个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分。‎ ‎（1）当时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，.求分布列；‎ ‎（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数.若，求 10‎ ‎20．如图，在四面体中，平面,.是的中点， 是的中点，点在线段上，且.‎ ‎（1）证明：平面；（2）若二面角的大小为，求的大小.‎ A B C D P Q M ‎（第20题图）‎ ‎21．如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点 ‎（1）求椭圆的方程； （2）求面积取最大值时直线的方程.‎ x O y B l1‎ l2‎ P D A ‎（第21题图）‎ ‎22．已知，函数 ‎（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的最大值。‎ 10‎ ‎ ‎ 10‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．B ‎2．C ‎3．D ‎4．B ‎5．A ‎6．C ‎7．D ‎8．C ‎9．D ‎10．A ‎11． ‎ ‎12．24 ‎ ‎13．2 ‎ ‎14．480 ‎ ‎15． ‎ ‎16． ‎ ‎17．2 ‎ ‎18．解：（Ⅰ）由已知得到：‎ ‎ ；‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，当时，，‎ ‎①当时，‎ ‎②当时，‎ 所以，综上所述：；‎ ‎19．解：（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时，此时 10‎ ‎；当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时，此时；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时，此时；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时，此时；当两次摸到的球分别是蓝蓝时，此时；所以的分布列是：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎（Ⅱ）由已知得到：有三种取值即1,2,3，所以的分布列是：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以：，所以。‎ ‎20．解：证明（Ⅰ）方法一：如图6，取的中点，且是中点，所以。因为是中点，所以；又因为（Ⅰ）且，所以，所以面面，且面，所以面；‎ 方法二：如图7所示，取中点，且是中点，所以；取的三等分点，使，且，所以，所以，且，所以面；‎ ‎（Ⅱ）如图8所示，由已知得到面面，过作于，所以，过作于，连接，所以就是的二面角；由已知得到 10‎ ‎，设，所以 ‎，‎ 在中，，所以在中， ，所以在中 ‎；‎ ‎21．解：（Ⅰ）由已知得到，且，所以椭圆的方程是；‎ ‎（Ⅱ）因为直线，且都过点，所以设直线，直线，所以圆心到直线的距离为，所以直线被圆所截的弦； ‎ 由，所以 ‎，所以 10‎ ‎，‎ 当时等号成立，此时直线 ‎22．解：（Ⅰ）由已知得：，且，所以所求切线方程为： ，即为：；‎ ‎（Ⅱ）由已知得到：，其中，当时，，‎ ‎（1）当时，，所以在上递减，所以，因为；‎ ‎（2）当，即时，恒成立，所以在上递增，所以，因为 ‎；‎ ‎（3）当，即时，‎ ‎ ，且，即 ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以，且 所以，‎ 所以；‎ 由，所以 10‎ ‎（ⅰ）当时，，所以时，递增，时，递减，所以，因为 ‎，又因为，所以，所以，所以 ‎（ⅱ）当时，，所以，因为，此时，当时，是大于零还是小于零不确定，所以 ① 当时，，所以，所以此时；‎ ② 当时，，所以，所以此时 综上所述：。 。‎ ‎ ‎ 10‎