2020高中数学 第三章复数代数形式的加、减运算及其几何意义

2020高中数学 第三章复数代数形式的加、减运算及其几何意义

‎3.2.1　‎复数代数形式的加、减运算及其几何意义 学习目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．复数加法与减法的运算法则 ‎(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 ‎①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.‎ ‎(2)对任意z1，z2，z3∈C，有 ‎①z1＋z2＝z2＋z1；‎ ‎②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎2．复数加减法的几何意义 如图321，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．‎ 图321‎ 思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？‎ ‎[提示]　|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．(　　)‎ ‎(2)复数与复数相加减后结果为复数．(　　)‎ ‎(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．(　　)‎ ‎[答案]　(1) √　(2)√　(3) √　‎ ‎2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝ (　　)‎ ‎ 【导学号：31062210】‎ A．8i　　 B．6‎ C．6＋8i D．6－8i B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]‎ 6‎ ‎3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)‎ A．－1＋i B．1－i C．i D．－i A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.]‎ ‎4．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(　　)‎ A．0 B．6i C．6 D．6－6i D　[∵z＋3i－3＝3－3i，‎ ‎∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.]‎ ‎5．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．‎ ‎[解析]　＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.‎ ‎[答案]　1－i ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 复数加减法的运算 ‎　(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.‎ ‎(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.‎ ‎[解析]　(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.‎ ‎(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，‎ 所以 解得x＝1，y＝0，‎ 所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，‎ 所以|z1＋z2|＝.‎ ‎[答案]　(1)－2－i　(2) ‎[规律方法]　复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减).‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．计算：‎ ‎(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________.‎ ‎(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________.‎ ‎(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________. 【导学号：31062211】‎ 6‎ ‎[解析]　(1)(3＋5i)＋(3－4i)‎ ‎＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.‎ ‎(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i＝－7＋7i.‎ ‎(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.‎ ‎[答案]　(1)6＋i　(2)－7＋7i　(3)－11i 复数加减运算的几何意义 ‎　(1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝.则|z1－z2|＝________.‎ ‎(2)如图322，平行四边形OABC的顶点O、A、C对应复数分别为0、3＋2i、－2＋4i，试求 图322‎ ‎①所表示的复数，所表示的复数；‎ ‎②对角线所表示的复数；‎ ‎③对角线所表示的复数及的长度．‎ ‎ [解析]　(1)由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝.‎ ‎ (2)①＝－，∴所表示的复数为－3－2i.‎ ‎∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.‎ ‎②∵＝－.‎ ‎∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.‎ ‎③对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝.‎ ‎[规律方法]　1.用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. 6‎ (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中. ‎2.常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. ‎ ‎【导学号：31062212】‎ ‎[解]　设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．‎ 则＝－＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)．‎ ＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．‎ ‎∵＝，∴，解得，故点D对应的复数为2－i.‎ 复数模的最值问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．满足|z|＝1的所有复数z对应的点组成什么图形？‎ 提示：满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．‎ ‎2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点组成什么图形？‎ 提示：∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．‎ ‎3．复数|z1－z2|的几何意义是什么？‎ 提示：复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．‎ ‎　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)‎ A．1　　　　　　　　 B． C．2 D． ‎(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．‎ ‎(1)A　[设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2, |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. ‎ 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3‎ 6‎ ‎|的最小值，因为|Z1Z3|＝1. ‎ 所以|z＋i＋1|min＝1.]‎ ‎(2)如图所示， ||＝＝2.‎ 所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.‎ 母题探究：1.(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝‎1”‎，求|z|的最大值．‎ ‎[解]　因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应的点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.‎ ‎2．(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．‎ ‎[解]　因为|z|＝1且z∈C，作图如图：‎ 所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.‎ ‎[规律方法]　|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.‎ ‎ [当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1. a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为 ‎(　　) 【导学号：31062213】‎ A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i D　[∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i]‎ ‎2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．]‎ ‎3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.‎ ‎[解析]　|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.‎ ‎[答案]　5‎ ‎4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则 6‎ a＝________.‎ ‎[解析]　z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴ 解得a＝－1.‎ ‎[答案]　－1‎ ‎5．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点间的距离. ‎ ‎【导学号：31062214】‎ ‎[解]　向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.‎ ‎∵＝－，∴向量对应的复数为 ‎(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.‎ ‎∴A，B两点间的距离为 ‎|－8－2i|＝＝2.‎ 6‎