数学文（A）卷·2018届福建省莆田第六中学高三上学期期中考试（2017

数学文（A）卷·2018届福建省莆田第六中学高三上学期期中考试（2017

‎2017-2018学年高三上期中联考数学试卷（文A）‎ ‎ 莆田四中高三数学文科备课组 2017.11.18‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知：函数在上单调递增；：，则是的 （　　）‎ A．充要条件 B．既不充分也不要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 ‎ ‎3．命题“”的否定是 （ ） ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎4．已知函数为偶函数，其图像与直线相邻的两个交点的 横坐标分别为且，则 （　　）‎ A． B． C． D. ‎ ‎5．若，，，则，，大小关系为 （ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知一组数据的线性回归方程为，则的值为（ ）‎ A． B. C． D．‎ ‎7．已知为锐角，且，则 （ ）‎ ‎ A． B. C． D．‎ ‎8．若是定义在上周期为的奇函数，当时，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在区间上任取两实数、，则的概率是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点 在圆内，且满足，则的最小值为 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，并且满足条件： ‎ ‎，，下列结论中正确的是 （ ）‎ ‎ A． B．是数列中的最大项 C． D．‎ ‎12．函数）所有零点之和 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．如果实数满足：，则目标函数的最大值为 ； ‎ ‎14．已知数列满足，且，若，则整数 ；‎ ‎15．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：‎ ‎“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：‎ 如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两 个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系 中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数 取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的线段长始 终相等，则图1的面积为 ；‎ ‎16．某同学对函数进行研究后，得出以下结论：【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎①函数的图像是轴对称图形； ②对任意实数，均成立；‎ ‎③函数的图像与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；‎ ‎④当常数满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点．‎ 其中所有正确结论的序号是 ．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．(本小题满分12分) 已知函数，．‎ ‎(1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎18．(本小题满分12分) 若数列的前项和满足．‎ ‎(1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和．‎ ‎19． （本题满分12分）在中，分别是角的对边，．‎ ‎（1）求角的大小； （2）若，求的面积的最大值．‎ ‎20．（本小题满分12分）为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了名 市民进行调查，他们月收人（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：‎ 月收入 频数 赞成人数 将月收入不低于的人群称为“高收人族”，月收入低于的人群称为“非高收入族”．‎ ‎（I）根据已知条件完成下面的列联表，问能否在犯错误的概率不超过的前提下认为 是否高收入族与是否赞成楼市限购令有关？ ‎ 非高收入族 高收入族 总计 赞成 不赞成 总计 附表：‎ ‎ ‎ ‎（II）现从月收入在的人群中随机 抽取两人，求所抽取的两人都赞成 楼市限购令的概率．‎ ‎21．（本小题满分12分） 已知函数． ‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为？若存在，求出的值；‎ 若不存在，请说明理由．‎ 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线经过点，倾斜角，在以原点 为极点，‎ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线的参数方程，并把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设与曲线相交于两点，求的值．‎ ‎23．（本小题满分 10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若正数满足：，求的最小值．‎ ‎ 2017-2018学年高三上学期期中数学联考试卷（文A）答案 ‎ 莆田四中高三数学文科备课组 2017.11.18‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则 （　D　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知：函数在上单调递增；：，则是的 （　D　）‎ A．充要条件 B．既不充分也不要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 ‎ ‎3．命题“”的否定是 （ C ） ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎4．已知函数为偶函数，其图像与直线相邻的两个交点的 横坐标分别为且，则 （　A　）‎ A． B． C． D. ‎ ‎5．若，，，则，，大小关系为 （ D　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知一组数据的线性回归方程为，则的值为（ D ）‎ A． B. C． D．‎ ‎7．已知为锐角，且，则 （ C ）‎ ‎ A． B. C． D．‎ ‎8．若是定义在上周期为的奇函数，当时，，则 （ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在区间上任取两实数、，则的概率是 （ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点 在圆内，且满足，则的最小值为 （ A ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，并且满足条件： ‎ ‎，，下列结论中正确的是 （ B ）‎ ‎ A． B．是数列中的最大项 C． D．‎ ‎12．函数）所有零点之和 （ B ）‎ A． B． C． D．‎ 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．如果实数满足：，则目标函数的最大值为 ； ‎ ‎14．已知数列满足，且，若，则整数 ；‎ ‎15．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：‎ ‎“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：‎ 如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两 个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系 中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数 取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的线段长始 终相等，则图1的面积为 ；‎ ‎16．某同学对函数进行研究后，得出以下结论：【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎①函数的图像是轴对称图形； ②对任意实数，均成立；‎ ‎③函数的图像与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；‎ ‎④当常数满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点．‎ 其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．(本小题满分12分) 已知函数，．‎ ‎(1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值和最小值．‎ 解：(1)∵ --3分 ‎．—5分 ∴的最小正周期； --6分 ‎(2)∵，∴，∴当即时，有最小值，‎ ‎，--9分，∴当即时，有最大值，，‎ ‎—11分，故函数在区间上的最大值为，最小值为． —12分 ‎18．(本小题满分12分) 若数列的前项和满足．‎ ‎(1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和．‎ 解：(1) ∵，∴当时，，解得 ……1分，‎ 当时，，∴，‎ 即……3分，∴，又，∴，∴， ‎ ‎∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列；……6分 ‎(2)由（1）得，，∴；……8分，∴，‎ ‎∴，∴…10分，‎ ‎∴……12分 ‎19． （本题满分12分）在中，分别是角的对边，．‎ ‎（1）求角的大小； （2）若，求的面积的最大值．‎ 解：（Ⅰ）∵，∴，则由正弦定理得：‎ ‎，....2分，即，‎ 又，∴，∴，...4分，又在中，‎ ‎，∴，又，∴．……6分 ‎（Ⅱ）又，则由余弦定理得： （当且仅当时，‎ 等号成立），...9分，∴，∴的面积的最大值为．…12分 ‎20．（本小题满分12分）为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了名 市民进行调查，他们月收人（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：‎ 月收入 频数 赞成人数 非高收入族 高收入族 总计 赞成 不赞成 总计 将月收入不低于的人群称为“高收人族”，‎ 月收入低于的人群称为“非高收入族”．‎ ‎（I）根据已知条件完成下面的列联表，问能 ‎ 否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否 高收入族与是否赞成楼市限购令有关？‎ ‎（II）现从月收入在的人群中随机 抽取两人，求所抽取的两人都赞成 楼市限购令的概率．‎ 附表：‎ ‎ ‎ 解：（I）由题意，可得如下列联表，‎ 非高收入族 高收入族 总计 赞成 不赞成 总计 提出假设：是否高收入族与是否赞成楼市限购令无关，‎ 则 ‎∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令；......6分 ‎（Ⅱ）由题意得：月收入在中，有人赞成楼市限购令，分别记为，，，，‎ 人不赞成楼市限购令，记为，现从中随机抽取两人，所有的基本事件有：，，‎ ‎，，，，，，，，共个，‎ 它们是等可能性发生的，记事件“所抽取的两人都赞成楼市限购令”，则事件包含的 基本事件有：，，，，，，，共个，‎ ‎∴，∴所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率为．.....12分 ‎21．（本小题满分12分） 已知函数． ‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为？若存在，求出的值；‎ 若不存在，请说明理由．‎ 解：∵，，∴． ...1分 ‎（Ⅰ）当时，，， ...2分，∴当时，，当时，‎ ‎，∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是； ...4分 ‎∴当时，函数有极小值，极小值为，无极大值； ...5分 ‎（Ⅱ）①当时，∵，∴，∴函数在上为增函数，‎ ‎∴函数在上的最小值为，显然满足条件； ....7分 ‎②当时，则当时，，则函数在上为减函数，当时，‎ ‎，则函数在上为增函数，故当时，函数在上取得唯一的极小值也就是最小值，∴，但，故不满足题意，应舍去； ....9分 ‎③当时，函数在为减函数，故函数在上的最小值为，‎ 不满足题意，应舍去． ....11分；‎ 综上所述，存在实数，使得函数在上的最小值为． ...12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线经过点，倾斜角，在以原点为极点，‎ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线的参数方程，并把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设与曲线相交于两点，求的值．‎ 解：（Ⅰ）∵直线经过点，倾斜角，∴直线的参数方程为：‎ ‎（为参数），.....3分，又∵曲线的极坐标方程为，∴，‎ ‎∴，又，，∴，∴，‎ ‎∴，即，∴曲线的直角坐标方程为：； ...5分 ‎（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的方程中，得：‎ ‎，即，....8分，‎ 设点所对应的参数分别为，，则，，又由韦达定理得：，‎ ‎∴． ...10分 ‎23．（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若正数满足：，求的最小值．‎ 解：（1）∵，，∴，∴，又不等式 的解集为，∴，解得； ---5分 ‎（2）∵，，∴，∴，又∵，‎ ‎∴（当且仅当取等号）‎ ‎∴的最小值是． .....10分