2020高中数学第三章指数函数和对数函数3.5.3 对数函数的图像和性质

2020高中数学第三章指数函数和对数函数3.5.3 对数函数的图像和性质

‎3.5.3‎‎ 对数函数的图像和性质 ‎[A　基础达标]‎ ‎1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，7]　　　　　　　 B．(2，7]‎ C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)‎ 解析：选B.因为lg(2x－4)≤1，所以0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，所以x的取值范围是(2，7]，故选B.‎ ‎2．设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，则(　　)‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 解析：选B.因为0＜lg e＜1，所以(lg e)2＜lg e，故a＞b.因为lg ＝lg e＝lg ·lg e＞lg e·lg e＝(lg e)2，所以c＞b，故a＞c＞b.‎ ‎3．已知函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为(　　)‎ A．0 B．10‎ C．1 D. 解析：选C.由已知，得a－lg x≥0的解集为(0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.‎ ‎4．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(　　)‎ A. B. C．2 D．4‎ 解析：选B.当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，loga2＝－1，a＝.‎ ‎5．已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图像不经过(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.因为a＞1，所以函数y＝loga(x－b)(b＜－1)的图像就是把函数y＝logax的图像向左平移|b|个单位长度，如图．由图可知函数y＝loga(x－b)不经过第四象限，所以选D.‎ 5‎ ‎6．已知在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝x3＋lg x，则其解析式为f(x)＝________．‎ 解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋lg(－x)＝－x3＋lg(－x)，又因为f(x)为奇函数，所以当x＜0时，f(x)＝x3－lg(－x)．因为在R上f(x)为奇函数，所以可得f(0)＝0，故f(x)＝ 答案： ‎7．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增加的，若f(1)＜f(lg x)，则x的取值范围是________．‎ 解析：因为f(x)是R上的偶函数且在[0，＋∞)上是递增的，‎ 所以f(x)在(－∞，0]上是递减的，‎ 又因为f(1)＜f(lg x)，所以|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜－1，可得x＞10或0＜x＜，所以x∈∪(10，＋∞)．‎ 答案：∪(10，＋∞)‎ ‎8．已知函数f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，则函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)的最大值为________，最小值为________．‎ 解析：由题意可得：可得x∈[1，3]，故g(x)的定义域为[1，3]．‎ g(x)＝f2(x)＋f(x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6，‎ 令t＝log3x，t∈[0，1]，得g(t)＝t2＋6t＋6，故当t＝0时，g(t)取最小值g(0)＝6，当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝13.‎ 答案：13　6‎ ‎9．判断函数f(x)＝lg(－x)的奇偶性．‎ 解：法一：由－x>0，得x∈R，‎ 故f(x)的定义域为R，关于原点对称．‎ 因为f(－x)＝lg(＋x)，‎ f(x)＝lg(－x)，‎ 所以f(－x)＋f(x)‎ 5‎ ‎＝lg(＋x)＋lg(－x)‎ ‎＝lg[(＋x)(－x)]‎ ‎＝lg[(x2＋1)－x2]＝lg 1＝0.‎ 所以f(－x)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．‎ 法二：由－x>0，得x∈R.‎ 故f(x)的定义域为R，关于原点对称．‎ 因为f(－x)＝lg(＋x)‎ ‎＝lg＝lg ‎＝lg(－x)－1＝－lg(－x)‎ ‎＝－f(x)，‎ 所以f(x)是奇函数．‎ ‎10．已知f(x)＝loga(a－ax)(a＞1)．‎ ‎(1)求f(x)的定义域、值域；‎ ‎(2)判断f(x)的单调性并证明．‎ 解：(1)要使函数有意义，须满足a－ax＞0，即ax＜a.‎ 因为a＞1，所以x＜1，从而定义域为(－∞，1)．‎ 又因为ax＞0，且当x＜1时，ax＜a，所以0＜ax＜a，‎ 所以0＜a－ax＜a，‎ 所以loga(a－ax)＜logaa＝1，‎ 所以函数的值域为(－∞，1)．‎ ‎(2)设x1＜x2＜1，‎ 因为a＞1，所以ax1＜ax2＜a，－ax1＞－ax2＞－a.‎ 所以a－ax1＞a－ax2＞0，所以0＜＜1.‎ 所以f(x2)－f(x1)＝loga(a－ax2)－loga(a－ax1)‎ ‎＝loga＜loga1＝0.‎ 所以f(x2)＜f(x1)．‎ 所以函数f(x)＝loga(a－ax)在(－∞，1)上是减函数．‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎1．若定义运算ab＝则函数f(x)＝log2xlogx的值域是(　　)‎ A．[0，＋∞) B．(0，1]‎ C．[1，＋∞) D．R 5‎ 解析：选A.当log2x≥logx，即x≥1时，f(x)＝log2x，此时f(x)≥0.‎ 当log2x＜logx，即0＜x＜1时，‎ f(x)＝logx，此时f(x)＞0.‎ 综上：f(x)≥0，即值域为[0，＋∞)．‎ ‎2．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则a的值是________．‎ 解析：因为函数f(x)在区间[0，1]上单调，所以只需将区间端点值代入，‎ 依题意得f(0)＝loga1＝0，f(1)＝loga2，‎ 因为函数f(x)的值域为[0，1]，‎ 必有loga2＝1，所以a＝2.‎ 答案：2‎ ‎3．已知f(x)＝log4(4x－1)．‎ ‎(1)求f(x)的定义域；‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(3)求f(x)在区间上的值域．‎ 解：(1)由4x－1＞0，解得x＞0，‎ 因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ ‎(2)设0＜x1＜x2，则0＜4x1－1＜4x2－1，‎ 因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1)，‎ 即f(x1)＜f(x2)，‎ 故f(x)在(0，＋∞)上是递增的．‎ ‎(3)因为f(x)在区间上是递增的，‎ 又f＝0，f(2)＝log415，‎ 因此f(x)在上的值域为[0，log415]．‎ ‎4．(选做题)设a＞0，且a≠1，函数f(x)＝loga|ax2－x|在[3，4]上是增函数，求a的取值范围．‎ 解：‎ 5‎ 令u(x)＝|ax2－x|，则y＝logau，所以u(x)的图像如图所示．‎ 当a＞1时，由复合函数的单调性可知，区间[3，4]落在或上，所以4≤或＜3，故有a＞1.‎ 当0＜a＜1时，由复合函数的单调性可知[3，4]⊆，‎ 所以≤3且＞4，解得≤a＜，综上所述a＞1或≤a＜.‎ 5‎